初探基于學(xué)科素養(yǎng)下的三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)

李東槐

摘要：三角函數(shù)的圖像是常考的知識(shí)點(diǎn)，主要考查已知函數(shù)圖像求解析式，函數(shù)的圖像變換及對(duì)稱問(wèn)題，利用圖像解應(yīng)用題等，三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等在考試中出現(xiàn)的頻率較高。解決函數(shù)問(wèn)題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);圖像;性質(zhì);教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)內(nèi)容

把“問(wèn)題情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題中的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再化歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解。

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：

三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型，函數(shù)的圖象是周期現(xiàn)象的直觀體現(xiàn)，函數(shù)的性質(zhì)是周期變化規(guī)律的代數(shù)表現(xiàn)，所以模型思想、數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)中的重要思想方法. 同時(shí)，由局部的正弦曲線得到完整的正弦曲線、由正弦曲線得到余弦曲線的過(guò)程中也蘊(yùn)涵了換元轉(zhuǎn)換的思想方法。

學(xué)情分析

高中階段的學(xué)生已經(jīng)相對(duì)成熟，在逐步獲取知識(shí)的過(guò)程中其思維能力也在穩(wěn)步地成長(zhǎng)，數(shù)學(xué)知識(shí)也逐漸豐盈。在面對(duì)這一類較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)學(xué)生經(jīng)常面臨的就是不知道從何下手、不知道該通過(guò)哪種思路進(jìn)行解題，這些經(jīng)驗(yàn)上的不足難以通過(guò)常規(guī)的教學(xué)進(jìn)行解決，因此需要以原有題型作為基礎(chǔ)選擇不同的分析方案。

教學(xué)設(shè)計(jì)：

首先，我不覺得在課堂上應(yīng)該更多的發(fā)揮學(xué)生的主體作用。例如，本節(jié)課我處理熱身題時(shí)，讓學(xué)生到前面寫了變化的過(guò)程，但沒(méi)有讓她講解，學(xué)生寫完我直接給予表?yè)P(yáng)就讓她回去了。課后我反思這部分教學(xué)時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生用投影把她在學(xué)案上寫的過(guò)程展示給大家，并講講自己的想法，互相評(píng)判一下對(duì)錯(cuò)，說(shuō)的好的要及時(shí)表?yè)P(yáng)鼓勵(lì)，說(shuō)的錯(cuò)了可以讓學(xué)生之間討論為什么錯(cuò)了，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)她的想法和變換過(guò)程，這樣處理即節(jié)省了黑板上書寫的時(shí)間，又能互相討論，加深學(xué)生對(duì)這部分學(xué)習(xí)的印象。

其次，學(xué)生對(duì)所學(xué)過(guò)的知識(shí)有印象，但是深究知識(shí)點(diǎn)還是有漏洞，重點(diǎn)要重復(fù)，強(qiáng)調(diào)要到位。課堂上，有一個(gè)男同學(xué)提出了可以用畫圖的方法解決，但是當(dāng)時(shí)由于時(shí)間的原因，沒(méi)采取這個(gè)方式。我當(dāng)時(shí)說(shuō)：“直接畫圖的方法也很好，大家可以課下體會(huì)一下”。但是現(xiàn)在反思，是我當(dāng)時(shí)有些著急完成教學(xué)任務(wù)，趕時(shí)間，其實(shí)這個(gè)題可能學(xué)生已經(jīng)把圖像畫出來(lái)了，我可以叫這名同學(xué)到展臺(tái)上，把他畫的圖展示給大家看看。用圖像變換的過(guò)程比用誘導(dǎo)公式可能更節(jié)省時(shí)間，而且這個(gè)方法對(duì)其他同學(xué)完成題目也是一個(gè)很好的提示。

本節(jié)課我的教學(xué)目標(biāo)基本完成，通過(guò)學(xué)生做的例題，可以看出來(lái)多數(shù)學(xué)生有了正確的思路并得出正確的答案。由于是借班級(jí)上課，課堂的氣氛沒(méi)有平時(shí)活躍，掌控課堂的進(jìn)度還是有些著急，以后再上課，還是以學(xué)生為主體，老師起到一個(gè)引導(dǎo)的作用，分析一個(gè)題就要分析透徹，既然學(xué)生提出了不同的思路或者方法，就讓他說(shuō)完，或者讓他給大家講講想法，互相評(píng)判一下，老師再做一個(gè)提升。

教學(xué)反思：

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的本質(zhì)是周期現(xiàn)象的直觀表示與代數(shù)表示，也是函數(shù)圖象與性質(zhì)研究的延續(xù).

三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型，函數(shù)的圖象是周期現(xiàn)象的直觀體現(xiàn)，函數(shù)的性質(zhì)是周期變化規(guī)律的代數(shù)表現(xiàn)，所以模型思想、數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)中的重要思想方法. 同時(shí)，由局部的正弦曲線得到完整的正弦曲線、由正弦曲線得到余弦曲線的過(guò)程中也蘊(yùn)涵了換元轉(zhuǎn)換的思想方法.

三角函數(shù)是特殊的函數(shù)，是研究度量幾何的基礎(chǔ)，作為函數(shù)的主要知識(shí)，基本遵從函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究路徑：現(xiàn)實(shí)背景—函數(shù)概念—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用. 由于三角函數(shù)自身的特殊性，要充分借助單位圓及圓周運(yùn)動(dòng)的特性去研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì). 因此，研究正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是根據(jù)定義借助單位圓直接畫出函數(shù)的圖象，再利用圖象直觀研究函數(shù)的性質(zhì);而研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)是以定義為岀發(fā)點(diǎn)，先研究函數(shù)的部分性質(zhì)，再結(jié)合定義和這些性質(zhì)研究函數(shù)的圖象，然后借助觀察圖象進(jìn)一步獲得函數(shù)的其他性質(zhì).

用三角函數(shù)來(lái)刻畫圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)角度與點(diǎn)的“位置”間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種思想方法幫助人們?cè)谟^察客觀事物的運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，能建立起不同要素之間的聯(lián)系，并用這種聯(lián)系去研究、發(fā)現(xiàn)事物的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，對(duì)提升人們的認(rèn)識(shí)水平有重要意義和價(jià)值. 因此，學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)很有必要. 一方面，幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究路徑;另一方面，引導(dǎo)學(xué)生感受周而復(fù)始運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的變化規(guī)律及相應(yīng)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)之美：

聯(lián)系之美. 事物的發(fā)展總是相互聯(lián)系的，數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究也不例外. 在三角函數(shù)圖象的研究過(guò)程中，既聯(lián)系以往指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)圖象的研究路徑，也聯(lián)系三角函數(shù)的定義、單位圓、三角函數(shù)的基本性質(zhì)（即誘導(dǎo)公式）. 三角函數(shù)圖象的研究堪稱范例，完美詮釋了函數(shù)圖象的研究過(guò)程，也為其他復(fù)雜函數(shù)圖象的研究提供范式，即結(jié)合基本性質(zhì)，由定義（解析式）先畫出某區(qū)間上的圖象，再通過(guò)擴(kuò)展畫出完整的函數(shù)圖象.

變換之美. 三角函數(shù)圖象的另一種研究方法是圖象變換. 這也給出了復(fù)雜函數(shù)圖象的研究范式，即利用圖象變換由簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象得到復(fù)雜函數(shù)的圖象.

任意之美. 要求準(zhǔn)確描繪函數(shù)[y=sinx，x∈0，2π]的圖象上的任意一點(diǎn). 這是數(shù)學(xué)的普適性和一般性的表現(xiàn).

幾何之美. 將圓周12等分，這些點(diǎn)在單位圓上是對(duì)稱的，從0到[2π]進(jìn)行12等分，這些值的分布是均勻的，這就是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)——對(duì)稱美、均勻美.

參考文獻(xiàn)：

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[2]徐阿根. 探討如何整體把握高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)[J]. 數(shù)理化學(xué)習(xí)（教研版），2016（12）.