含參數線性方程組解的判別方法注記

邢永麗， 王 迪

(1.中國地質大學(北京) >數理學院，北京100083； 2.上海汽車集團公司 >技術研究部，上海201804)

1 引 言

討論含有未知參數的線性方程組解的情況是線性代數中一種常見的題型.這類題通常的解法是將非齊次線性方程組的增廣矩陣經過行初等變換化為階梯形矩陣，然后再由解的判定定理討論未知參數取何值時方程組有唯一解、無解還是有無窮多組解[1-3].特別地，當線性方程組的系數矩陣為方陣且包含所討論的未知參數時，還可以用系數行列式進行討論[4].本文給出一種新的討論方法，在系數行列式D(λ)=0的情況下，可以直接判定參數λ取何值時方程組有無窮多組解、取何值時方程組無解.

設有n元線性方程組A(λ)X=b，其中λ為未知參數，A(λ)為n階λ-矩陣[3，5]，D(λ)=|A(λ)|，b為n維非零列向量(可含參數).Dj(λ)是將D(λ)中第j列的元素換為b后得到的行列式，簡記為Dj(j=1，2，…，n)；Aj(λ)是將A(λ)中第j列的元素換為b后得到的矩陣.若D(λ)在實數范圍內可分解為

D(λ)=a(λ-λ1)k1…(λ-λs)ks(λ2+p1λ+q1)l1…(λ2+ptλ+qt)lt，

其中a為常數，k1，…，ks，l1，…，lt為正整數，λ2+piλ+qi(i=1，2，…，t)為二次質因式.則當D(λ)≠0時，即λ≠λ1且λ≠λ2，…，且λ≠λs時，方程組有唯一解；當D(λ)=0時，即λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組要么有無窮多組解，要么無解.下面給出D(λ)=0時，根據參數λ判斷方程組解的情況的判定定理.

2 主要結果及證明

定義[6]設P(λ)為n階λ-矩陣，若λ=λ0時矩陣P(λ0)的秩為n-k(記為R(P(λ0))=n-k)，則稱λ0對應于P(λ)的幾何重數為k(記為g[P(λ)]λ0=k).

定理1設有n個方程的n元線性方程組A(λ)X=b，已知D(λ)=0.如果λ=λi(i=1，2，…，s)時g[A(λ)]λi=1，且每個非零的Dj(λ)(1≤j≤n)中皆含有因式(λ-λi)，則λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組有無窮多組解；否則λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組無解.

證已知D(λ)=0時，λ=λ1，或λ=λ2，…，或λ=λs.

因為g[A(λ)]λi=1，故R(A(λi))=n-1.又因每個非零的Dj(λ) (1≤j≤n)皆含有因式(λ-λi)，所以λ=λi時有D1=D2=…=Dn=0，則此時必有

R(A(λi)，b)=R(A(λi))=n-1

成立.(否則，若R(A(λi)，b)=n，由于D(λ)=0，那么就一定存在某個j使得Dj≠0，與已知矛盾).所以，當λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組一定有無窮多組解；否則λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組無解.

將定理1的結論推廣到更一般的情形，可證明如下定理.

定理2設有n個方程的n元線性方程組A(λ)X=b，已知D(λ)=0.如果λ=λi(i=1，2，…，s)時g[A(λ)]λi=k(k≥1)，且對任意的j(1≤j≤n)皆有g[Aj(λ)]λi≥k，則λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組有無窮多組解；否則λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組無解.

證已知D(λ)=0時，λ=λ1，或λ=λ2，…，或λ=λs.

因為g[A(λ)]λi=k(k≥1)，故R(A(λi))=n-k

R(Aj(λi))≤n-k(1≤j≤n)，

則此時必有

R(A(λi)，b)=R(A(λi))=n-k.

(否則，若R(A(λi)，b)≠R(A(λi))，那么就有R(A(λi)，b)=n-k+1[7-8]，則一定存在某個j，使得R(Aj(λi))=n-k+1，與已知矛盾).所以，當λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組有無窮多組解；否則λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組無解.

對下面給出的例題用兩種方法求解，一方面驗證本文結論的正確性，另一方面與常見的初等變換法作比較.

例[9]設線性方程組

問當λ取何值時，此方程組(i)有唯一解；(ii)無解；(iii)有無窮多解？

解1首先用矩陣的初等行變換對方程組的增廣矩陣化簡，則

根據方程組有解的判定定理，可見

(i) 當λ2-1≠0時，即λ≠±1時，R(A)=R(A，b)=3，此時方程組有唯一解；

(ii) 當λ2-1=0但3λ-3λ2≠0時，可得λ=-1，此時2=R(A)

(iii) 當λ2-1=0且3λ-3λ2=0時，可得λ=1，此時R(A)=R(A，b)=2，方程組有無窮多組解.

解2方程組的系數行列式D(λ)=(λ-1)2(λ+1).

(i) 當D(λ)≠0時，即λ≠±1時，方程組有唯一解.且可由

D1=(λ-1)(4λ+1)，D2=λ(λ-1)(2λ-7)，D3=-3λ(λ-1)2

得唯一組解.

當D(λ)=0時，即有λ=1或λ=-1，此時方程組或無解，或有無窮多解；

(ii) 當λ=-1時，因為Dj(1≤j≤3)中至少存在D1不含因式(λ+1)，故由定理1知，λ=-1時方程組無解；

(iii) 當λ=1時，由于R(A(1))=2，所以g[A(λ)]1=1.又因每個Dj(1≤j≤3)中皆含因式(λ-1)，故由定理1知，λ=1時方程組有無窮多組解.

注 (i)兩種方法比較可見，本文的方法對系數矩陣為方陣且含未知參數的方程組的討論求解更加簡單、便捷.

(ii)此題解的判定也可用定理2.

3 應用舉例

解方程組的系數行列式D(λ)=(λ-1)2λ2.

(i) 當D(λ)≠0時，即λ≠0且λ≠1時，方程組有唯一組解.

(ii) 當D(λ)=0時，即有λ=0或λ=1，此時方程組或無解，或有無窮多組解.

因λ=0時R(A(0))=3，故g[A(λ)]0=1.同理，由

R(Aj(0))=3(j=1，3，4)， R(A2(0))=2，

得

g[Aj(λ)]0=1 (j=1，3，4)，g[A2(λ)]0=2，

所以有g[Aj(λ)]0≥1(1≤j≤4) .由定理2可知，λ=0時方程組有無窮多組解.

又因λ=1時R(A(1))=3，故g[A(λ)]1=1.同理，由

R(A1(1))=R(A2(1))=3， R(A3(1))=R(A4(1))=2，

得

g[A1(λ)]1=g[A2(λ)]1=1，g[A3(λ)]1=g[A4(λ)]1=2，

所以有g[Aj(λ)]1≥1(1≤j≤4).由定理2可知，λ=1時方程組也有無窮多組解.

可見，此方程組沒有無解的情況.

注 從例題可以看出，當方程組中所含參數個數較多或參數出現的頻數較高時，用初等變換方法討論其解的情況計算量往往較大，而在系數行列式計算較為方便的前提下，本文的方法具有一定的優越性.在D(λ)=0時，它不需要將參數再代入到原方程組中去對增廣矩陣進行化簡，只要計算方陣A(λ)及Aj(λ)的秩就可以直接判定方程組解的情況.

4 結 論

由以上的主要結果及分析可見，本文給出的定理在討論某些含參數線性方程組A(λ)X=b的解時更方便、更直接，它免去了用初等變換將其增廣矩陣(A(λ)，b)化成階梯形的繁瑣過程，同時也為求解線性方程組的討論題提供了新的思路和方法.本文不足之處在于僅討論了有n個方程、n個未知量且系數矩陣中含有參數的方程組的情形，對于其他情形可考慮對此結果作進一步的研究和推廣，此外該方法也受制于系數行列式的難易程度.

致謝作者對相關參考文獻給予的啟示及審稿人的建議表示由衷的感謝！