如何不用復數講解常系數線性微分方程

嚴質彬， 包益欣

(哈爾濱工業大學(深圳) >理學院， 廣東 >深圳518055)

1 引 言

關于常系數線性微分方程的教學， 文獻中有很多有趣的研究[1-5]. 本文討論高等數學課程的教學實踐中， 關于常系數線性微分方程的一個與復數有關的問題.

考慮二階常系數齊次線性微分方程

y″+py′+qy=0.

(1)

這里y=y(x)是待求的未知函數(x是實的自變量)，p和q是已知實數. 關于未知數r的實系數二次代數方程

r2+pr+q=0

(2)

稱為(1)的特征方程. 為了得到(1)的解， 通常用含有待定未知數r的指數函數y=erx來試解. 由于對一般的系數p和q， 特征方程(2)可能無實數根， 為了得到完整的理論， 要允許r是復數. 當r=a+bi為復數時(b≠0)， 關于實自變量x的復值函數y=e(a+bi)x的定義， 導數公式(erx)′=rerx，復指數的性質ez1+z2=ez1ez2(z1，z2為復數)及歐拉公式

e(a+bi)x=eax(cosbx+isinbx)

的確切含義及證明， 要等到后面講函數項級數(冪級數的乘法、逐項求導等)時才能學到. 目前的教學實踐中， 留給函數項級數的教學課時往往不多， 復指數函數的知識經常不講解或者一帶而過. 所以說高等數學課程中， 常系數線性微分方程的教學在邏輯上有些不足. 本文探討不用復數， 且用比復指數講解更少的課時， 如何自然地講解常系數線性微分方程.

2 復值函數解導出實值函數解的分析

在現有高等數學課程的教學中， 用復指數函數來講解常系數線性微分方程， 其不足之處并不僅限于要用到后面很晚才學到的知識. 還有另外一點微妙的困難.

設a±bi(b≠0)是(2)的一對共軛復數根， 于是

y1=e(a+bi)x=eax(cosbx+isinbx)，y2=e(a-bi)x=eax(cosbx-isinbx)

是(1)的兩個(線性無關的)解. 這里的微妙之處在于：它們是實自變量x的復值(復因變量)函數解. 學習者在自覺不自覺中， 自然是期待實值函數解. 方程的物理意義(電感電容電阻電路， 或者彈簧質量阻尼振動)也是要求實值函數解. 教學中都是通過y1和y2的復系數線性組合

(3)

(4)

根據疊加原理[6]來得到實值函數解. 整個過程形象地說， 是從實數領地的問題出發， 漫游到復數的王國， 最后又回到實數的領地. 在教學實踐中， 學生對這個過程經常感到莫名其妙. 對于這種推導， 除了指出疊加原理的作用外， 認為還有其他值得講解的重要細節.

問題本身是要在實自變量的實值函數的范圍內尋找(1)的解， 這樣的解的集合是實數域上的線性空間. 先在實自變量的復值函數的范圍內尋找(1)的解，這樣的解的集合是復數域上線性空間. 把實值函數看作復值函數的特例， 則上述前一個集合是后一個集合的嚴格子集合. 但前者作為實數域上的線性空間和后者作為復數域上的線性空間有相同的維數， 都是2， 這和它們之間有嚴格子集關系并不矛盾. 復值函數e(a+bi)x和e(a-bi)x是復值函數解集合作為復線性空間的基底(基礎解系)， 它們不是實值函數解. 但這不妨礙它們的復值線性組合(當然是解)有可能組合出實值函數解來: (3)和(4)就是這樣的特殊復值線性組合.

先在擴大的范圍內尋找“廣義解”， 再研究如何從“廣義解”返回“狹義解”. 這種思想的重要性在數學及其應用中十分重要， 只要有機會就應該盡可能傳授給學生. 這并不是什么現代數學的深奧思想， 在中學數學中就有這種思想的種子: 例如整系數多項式分解因式， 可以在復系數多項式范圍內分解， 可以在實系數范圍內分解， 可以在有理系數范圍內分解， 可以在整系數范圍內分解. 先在大的范圍內求解， 再根據問題的需要， 回到小范圍， 是中學生就懂得的道理.

3 不用復數推導出實值函數解的方法

這里給出不用復指數函數， 甚至完全不用復數的推導方法.

首先， 引導學生觀察下面的事實: 對任意給定的實數c和d， 實自變量x的實值函數

ecxcosdx， ecxsindx

的各階導數都是它們自己的線性組合. 為方便陳述， 把這個事實寫成引理的形式.

引理1ecxcosdx及ecxsindx的一階和二階導數為

(ecxcosdx)′=cecxcosdx-decxsindx，(ecxsindx)′=decxcosdx+cecxsindx，(ecxcosdx)″=(c2-d2)ecxcosdx-2cdecxsindx，(ecxsindx)″=2cdecxcosdx+(c2-d2)ecxsindx.

根據上述觀察， 可以用含有兩個待定的未知實數a和b的實自變量x的實值函數

y1=eaxcosbx，y2=eaxsinbx

來試解(1).由引理1， 經簡單計算， 有

y″1+py′1+qy1=(a2+pa+q-b2)eaxcosbx-(2a+p)beaxsinbx，

(5)

y″2+py′2+qy2=(2a+p)beaxcosbx+(a2+pa+q-b2)eaxsinbx.

(6)

容易得到下面的定理.

定理1設a和b是實數. 則實自變量x的實值函數y1=eaxcosbx是二階常系數齊次線性微分方程(1)的解的充要條件是a和b滿足

(7)

證充分性由(5)顯然. 下證必要性. 由y1=eaxcosbx是解及(5)有

(a2+pa+q-b2)eaxcosbx-(2a+p)beaxsinbx=0.

注意這是關于自變量x的函數等式， 也就是代入自變量x的任意值， 等式都成立. 以x=0代入并注意到對任意x，eax>0， 即得

a2+pa+q-b2=0.

于是得函數等式

(2a+p)beaxsinbx=0.

定理2設a和b是實數. 則實自變量x的實值函數y2=eaxsinbx是二階常系數齊次線性微分方程(1)的非零解的充要條件是a和b滿足(7)且b≠0.

證充分性顯然. 下證必要性. 由y2=eaxsinbx是解及(6)有函數等式

(2a+p)beaxcosbx+(a2+pa+q-b2)eaxsinbx=0.

以x=0代入， 即得(2a+p)b=0及函數等式

(a2+pa+q-b2)eaxsinbx=0.

(10)

a2+pa+q-b2=0.

注意在定理2的陳述中有一個微妙的條件“非零解”， 而在定理1中沒有加這個條件. 對y2=eaxsinbx來說， 當b=0時， 對任意的a，y2都是解(零解)， 但不是對任意的a， 方程組(7)都滿足.

有人可能會覺得， 一開始就用帶有兩個待定未知實數a和b的函數eaxcosbx及eaxsinbx去試解微分方程(1)“不自然”. 其實， 這種試解方法無非就是受到下述事實的啟發: 所試用的函數類對于求導具有某種封閉性. 在教學實踐中， 注意啟發學生觀察引理1所蘊含的這種“封閉性”. 有了這個鋪墊， 則用eaxcosbx及eaxsinbx去試解， 不會比用erx去試解更“不自然”， 何況后者還要用到沒有學過的、其證明并非一蹴而就的復指數函數的知識. 反過來說， 如果對上面的“封閉性”不作啟發和強調， 則學生也會對用erx去試解感到“不自然”. 所以在這個問題上， 學生是否感到“自然”而不是覺得被牽著鼻子走， 并不取決于用了含多少個待定參數的函數來試解， 而是取決于對上面的“封閉性”是否作了啟發式的講解.

以a，b作為未知數， 求方程組(7)的實數解非常簡單， 其討論不會增加課時. 為方便起見，總結成下面的定理.

定理3設p和q是給定的實數. 則以a和b為未知數的方程組(7)恒有實數解. 且有

(i) 若p2-4q≥0， 則(7)的實數解是

(ii) 若p2-4q<0， 則(7)的實數解是

4 與復數方法的關系

定理4設p和q是給定的實數. 則(a，b)是方程組(7)的實數解的充要條件是r=a+bi是特征方程(2)的復數解.

證將r=a+bi代入(2)經簡單計算， 比較復數等式兩邊的實部和虛部， 即得方程組(7).

容易看出， 上述第3節的討論完全不必以定理4為前提.

5 結 論

不用復指數函數， 甚至不用復數， 可以講解常系數線性微分方程的解的理論.

致謝感謝審稿人對本文的仔細閱讀和提出的修改意見.