關于凹函數性質的探討

劉繼成， 廖俊俊

(華中科技大學 >數學與統計學院， 武漢430074)

1 引 言

在Martin Hairer 2016年1月13日的講義《Convergence of Markov Processes》(見文獻[1]第20頁倒數11行)中，作者在研究馬氏過程不變測度收斂速度時，證明中涉及到下面的問題：

φ(2x)≤2φ(x)-C，

(1)

對所有的x>VC成立？容易驗證，函數φ(x)=ln(1+x)和φ(x)=xα，α∈(0，1)均為滿足問題M條件的函數，并且(1)式成立. 然而，考慮函數

φ(x)=x+(1-e-x)，x≥0.

(2)

φ(2x)=2x+(1-e-2x)=2(x+(1-e-x))+e-x(2-e-x)

=2φ(x)+e-x(2-e-x)≥2φ(x).

因此， (2)式中的函數φ(x)滿足問題M的條件，但(1)式不成立. 這說明問題M的結論并不總是能成立的.

一個自然的問題是，在問題M中增加什么條件能保證(1)式成立呢？以及能否給出(1)式成立的充分條件和充要條件呢？本文將給出正面的回答.

本節將回顧凹函數的定義以及一些性質，這些性質將在定理的證明中反復使用.

2 凹函數的性質

定義1[3] 209設I?為一區間，若函數φ∶I→滿足對任意x，y∈I和λ∈(0，1)有

φ(λx+(1-λ)y)≥λφ(x)+(1-λ)φ(y)，

則稱φ(x)為I上的凹函數.

由定義1，容易得到凹函數以下一些性質.

(i)φ(x)為區間I上的凹函數等價于對任意x，y，z∈I，x

(3)

(ii) 設φ∶[0，+∞)→為凹函數， 由(3)式的第二個不等式知關于x單調遞減.

事實上，若φ(x)非負，當x≥1時有

3 主要結論與證明

容易看出，(1)式可以表述為極限形式：(1)式成立等價于

首先得到下面使(1)式成立的充要條件.

命題1設φ(x)∶[0，+∞)→為凹函數，α>1， 并且存在，則有

當且僅當

證首先證明兩個單調性. 對任意的x>y以及α>1，由(3)式得

因此

(4)

知αφ(x)-φ(αx)≥αφ(y)-φ(αy)， 即αφ(x)-φ(αx)關于x單調遞增.進一步，在(4)式中令α→+∞得

φ(x)-kx≥φ(y)-ky，

(5)

即φ(x)-kx關于x單調遞增.

(tα-1)φ(ty)≥t(α-1)φ(y)+(t-1)φ(tαy).

結合(4)式，對x>ty，得

(6)

在上式中令x→ +∞得

再令t→+∞得

因此，若F(α)<+∞，則G<+∞.

由命題1，顯然有下面使(1)式成立的充分條件.

推論1設φ∶[0，+∞)→為可導的凹函數，若且則對任意的

例對于函數φ(x)=ln(x+1)和φ(x)=xα，α∈(0，1)，容易驗證滿足推論1的條件，所以對這兩個函數(1)式都成立. 而函數φ(x)=x+(1-e-x)不滿足推論1的條件，如引言所述該函數也沒有性質(1).

推論2設φ(x)∶[0，+∞)→[0，+∞)為凹函數，α>1， 則

當且僅當

將問題M用幾何的語言刻畫如下.

命題2設φ∶[0，+∞)→為凹函數，α>1. 則的充要條件是φ在正無窮處不存在漸近線.

由α>1的任意性以及命題2，即有

命題3設φ∶[0，+∞)→為凹函數，對任意α，β>1，則

等價于

如果函數φ(x)有二階導數，我們可以得到下面使(1)式成立的充分條件.

命題4設φ∶[0，+∞)→為有二階導數的凹函數，<0，則對任意的α>1

證不妨設φ(0)=0，注意到αφ(x)-φ(αx)單調遞增，因此存在ξt∈(t，2t)

由條件，對充分大的t

因此結論成立.

最后，給出(1)式的另一等價形式，這也被用在Martin Hairer講義中(見[1]第17頁引理4.3證明的(4.2)式).

命題5設φ(x)為凹函數，則下面兩個問題等價：

(a) 對每個常數C>0， 存在VC>0，使得

φ(2x)≤2φ(x)-C， ?x>VC.

(b) 對每個常數C>0， 存在VC>0，使得

φ(x+y)≤φ(x)+φ(y)-C， ?x，y>VC.

證顯然，令y=x，由(b)可以得到(a). 現在證明由(a)得(b). 由x，y的對稱性，不妨設0y2有

因此φ(x+y)-φ(y)關于y單調遞減，因此，對任意的x≤y

φ(x+y)-φ(y)≤φ(x+x)-φ(x).

因此由(a)有φ(x+y)-φ(y)≤φ(x+x)-φ(x)≤φ(x)-C. 綜上， (a)與(b)等價.

4 結 論

本文就問題M做了細致的研究.首先，指出問題M的回答是否定的.然后，在命題1中給出了結論成立的充要條件，命題2幾何解釋了該充要條件就是函數在正無窮處不存在漸近線，推論1和命題4給出了結論成立的判定條件.因此，本文對問題M給出了解答，厘清了滿足問題M結論的凹函數類.

致謝作者非常感謝樓紅衛教授對本文的修改和建議，也感謝參考文獻對本文的啟發以及審稿人的寶貴意見.