一類壓縮型映射的不動點定理

王宇翔

(山西大同大學 >數學與統計學院，山西 >大同037003)

1 引言與預備知識

不動點理論是泛函分析理論的重要組成部分，近年來，隨著不動點理論在代數方程、非線性微分、積分方程及隨機算子理論中的應用，人們提出了許多不同類型非線性壓縮映射的不動點理論，本文針對一類新型的非線性壓縮映射，討論了該映射的不動點的存在性和唯一性，并給出相應的誤差估計式，相比于主要文獻[2]和文獻[3]而言，對映射本身不要求連續性，壓縮條件更簡單，便于應用，拓展和改進了有關文獻的范圍.

定義1[1]設(X,ρ)是一度量空間，若點列{xn}滿足ρ(xn,xm)→0(n,m→∞),則稱點列{xn}是此空間上的基本列(Cauchy列).

定義2[1]若度量空間(X,ρ)中所有的基本列都收斂，則稱該空間是完備的.

定義3[1]設映射T∶(X,ρ)→(X,ρ),若對?x,y∈X,均存在0

ρ(Tx,Ty)≤kρ(x,y)

成立，則稱映射T是一個壓縮映射.

Banach不動點定理[1]若(X,ρ)是一完備的度量空間，映射T∶(X,ρ)→(X,ρ)是一個壓縮映射，則T在X上存在唯一的不動點x*，滿足Tx*=x*.

2 主要結論

定理1已知(X,ρ) 是一完備的度量空間，映射T∶X→X,若?x,y∈X，x≠y, ?(0,∞)→(0,1) 的增函數a(t)<1,滿足不等式

ρ(Tx,Ty)≤a(ρ(x,y))ρ(x,y) ,

其中h=a(ρ(x0,x1)).

ρ(xn,xn+1)=ρ(Txn-1,Txn)≤a(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn).

(1)

假設ρ(xn,xn+1)>ρ(xn-1,xn)，則由(1)式可得

ρ(xn-1,xn)≤a(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn).

即a(ρ(xn-1,xn))≥1,與a(ρ(xn-1,xn))<1矛盾.因此序列{ρ(xn,xn+1)} 單調遞減，反復利用(1)式可得

ρ(xn,xn+1)≤a(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn)

≤a(ρ(xn-1,xn))a(ρ(xn-2,xn-1))ρ(xn-2,xn-1)

≤…≤a(ρ(xn-1,xn))a(ρ(xn-2,xn-1))…a(ρ(x1,x0))ρ(x1,x0)

≤[a(ρ(x1,x0))]nρ(x1,x0)=hnρ(x1,x0).

(2)

其中h=a(ρ(x1,x0))∈(0,1).

?n,m∈+,由三角不等式及(2)式可得

ρ(xn,xn+m)≤ρ(xn,xn+1)+ρ(xn+1,xn+2)+…+ρ(xn+m-1,xn+m)

(3)

因此{xn}是X中的Cauchy列.

由X的完備性，設xn→x*∈X,下證x*是T在X中的不動點，事實上

0≤ρ(x*,Tx*)≤ρ(x*,xn)+ρ(xn,Tx*)=ρ(x*,xn)+ρ(Txn-1,Tx*)

≤ρ(x*,xn)+a(ρ(xn-1,x*))ρ(xn-1,x*).

令n→+∞，有0≤ρ(x*,Tx*)≤0，即Tx*=x*得證.

最后利用反證法證明x*的唯一性.若?y*∈X(y*≠x*)同時滿足Ty*=y*，則有

0≤ρ(x*,y*)=ρ(Tx*,Ty*)≤a(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*).

由a(ρ(x1,x0))∈(0,1)可得ρ(x*,y*)=0，即y*=x*.

在式(3)中，令m→+∞可得

證畢.

定理2已知(X,ρ)是一完備的度量空間，映射T∶X→X,若?x,y∈X，x≠y,?(0,∞)→(0,1)的增函數a(t)+b(t)+c(t)<1,滿足不等式

ρ(Tx,Ty)≤a(ρ(x,y))ρ(x,Tx)+b(ρ(x,y))ρ(y,Ty)+c(ρ(x,y))ρ(x,y)，

ρ(xn,xn+1)=ρ(Txn-1,Txn)

≤a(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn)+b(ρ(xn-1,xn))ρ(xn,xn+1)+c(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn).

從而

ρ(xn,xn+1)≤knρ(xn-1,xn).

(4)

假設ρ(xn,xn+1)>ρ(xn-1,xn)，則由(4)式可得ρ(xn-1,xn)≤knρ(xn-1,xn).即kn≥1，與0

ρ(xn,xn+1)≤knρ(xn-1,xn)≤knkn-1ρ(xn-2,xn-1)≤…≤knkn-1…k1ρ(x1,x0).

(5)

易證{kn}為單減序列，故由(5)式可得

(6)

?n,m∈+,由三角不等式及(6)式可得

(7)

從而知{xn}是X中的Cauchy列.

由X的完備性，設xn→x*∈X,下證x*是T在X中的不動點，事實上

0≤ρ(x*,Tx*)≤ρ(x*,xn)+ρ(xn,Tx*)=ρ(x*,xn)+ρ(Txn-1,Tx*)

≤ρ(x*,xn)+a(ρ(xn-1,x*))ρ(xn-1,xn)+b(ρ(xn-1,x*))ρ(xn-1,Tx*)+c(ρ(xn-1,x*))ρ(xn-1,x*).

整理得

令n→+∞，有0≤ρ(x*,Tx*)≤0，即Tx*=x*.得證.

最后利用反證法證明x*的唯一性.若?y*∈X(y*≠x*) 同時滿足Ty*=y*，則有

0≤ρ(x*,y*)=ρ(Tx*,Ty*)

≤a(ρ(x*,y*))ρ(x*,Tx*)+b(ρ(x*,y*))ρ(y*,Ty*)+c(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*)

=a(ρ(x*,y*))ρ(x*,x*)+b(ρ(x*,y*))ρ(y*,y*)+c(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*)

=c(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*).

由c(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*)∈(0,1)可得ρ(x*,y*)=0，即y*=x*.

在式(7)中，令m→+∞,可得

證畢.

推論已知(X,ρ)是一完備的度量空間，映射T∶X→X,若存在非負數a,b,c滿足a+b+c<1，使得?x,y∈X，x≠y有

ρ(Tx,Ty)≤aρ(x,Tx)+bρ(y,Ty)+ρ(x,y)，

證在定理2中，令a(t)=a,b(t)=b,c(t)=c即得.

注 定理1和2與文獻[3]中的主要定理2對比，本文定理中的從X到X的自映射T不要求滿足連續性，此外，相較于文獻[3]的壓縮條件：

d(Tx,Ty)≤f(d(x,y))d(x,Tx)+g(d(x,y))d(y,Ty)+h(d(x,y))d(x,y)

其中f(t),g(t),h(t)為單調遞減可微函數，并且滿足f(t)+g(t)+h(t)<1.

本文定理2對函數不要求可微，因此條件更簡單，便于應用.

3 應 用

下面給出定理1在數學分析中的一個簡單應用

例1設X是賦范線性空間,D?X是有界閉凸集，T∶D→D滿足

‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖ (?x,y∈D)，

則?x*∈D，使得x*-Tx*→0.

故Tn是滿足定理1的壓縮映射，而D是X上的有界閉集，所以D完備.

4 結 論

本文主要討論了一類新型的、滿足條件更弱的非線性壓縮型映射，給出定理1、2，通過構造適當的迭代序列，可以證明這類映射在度量空間(X,ρ)中不動點的存在唯一性，改進了非線性壓縮映射的不動點定理.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.