穩中求變變中求新

文尚平 黎福慶

2021年高考全國甲卷數學試題以我國高考評價體系、高校人才選拔要求和《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》為命題依據，貫徹了“五育”并舉的全面育人方針，命題理念由過去“知識立意、能力立意”轉變為“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”，充分突顯了數學學科本質，體現了數學的科學價值和理性價值，很好地把握了穩定與創新、穩定與改革的關系，體現了穩中求變、變中求新的新高考理念，對推進我國高考評價綜合改革、引導中學數學教學起到了積極的引領作用.

一、試題設計分析

（一）考查內容、呈現題號及分值分布，追求一個“穩”字

與往年的全國Ⅲ卷數學試題相比，今年全國甲卷數學試題繼續圍繞三角與向量、數列與不等式、函數與導數、立體幾何、概率與統計、解析幾何6大主題展開考查（見表1、表2），且各模塊題目數量與分值保持穩定，試題結構、體例、內容比例及整體難度都沒有太大變化.

（二）考查內容與考查目標（層級）對標高考評價體系，追求一個“準”字

由表1、表2不難看出，本套試卷主要聚焦學生對主干知識的理解和應用，更強調試題的基礎性、綜合性、應用性、創新性，更關注課程標準“十個核心概念”“六素養”“四基”“四能”“三會”的精準滲透.下面，我們從“數學學科核心素養的18層級評價指標體系”和“必備的思想與方法”兩個維度出發，對全國甲卷數學試題的考查內容和目標層級做具體分析（見表3）.

二、試題特點分析

通過試題設計分析可發現，全國甲卷數學試題在內容改革、題型創新、試卷結構改革及難度科學調控等方面進行了積極探索與實踐，試題難度適中，沒有偏題怪題，側重通性通法的考查，具體表現為以下幾個特點.

（一）體現學科特色，彰顯數學育人功能

1.聯系生活實際，貫穿勞動教育.德智體美勞“五育”互為依托，全國甲卷數學試題中的三角函數、函數極值、概率與統計等考查內容，凸顯了“五育”中的勞動教育思想.

如，全國甲卷數學（文理）試題第17題：甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品.為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統計如下表.

本題以工廠生產產品的質量檢測為背景，考查了頻數的統計、頻率的計算和獨立性檢驗等知識，而且題干設計與生產勞動相關，旨在培養學生的勞動精神.

2.聯系生活實際，關注社會與經濟發展.今年全國甲卷數學試題（文/理）第2題，以我國2021年扶貧脫貧工作取得全面勝利和鄉村振興戰略為背景，通過頻率分布直方圖呈現某地農戶家庭收入情況的抽樣調查結果，考查了考生處理數據、分析問題和解決實際問題的能力.解答該題的關鍵是掌握頻率的求解方法和平均數的計算方法.設計該題既考查了考生應用頻率分布直方圖解決生活問題的能力，又加強了試題與生活的聯系，增強了考生關注現實、關心社會的意識.

3.合理創設情境，關注“五項管理”之“體質管理”.培養身心健康的學生是素質教育的核心內容之一，今年全國甲卷數學理科試題第4題、文科試題第6題均關注了這一內容，反映了全社會對青少年視力問題的重視（題略）.

（二）堅持適度開放，注重學生創新能力的培養

2021年全國甲卷數學試題在全面落實高考評價體系的基礎上，從題型設計、考查方式等方面進行了創新，為穩步推進高考內容改革做出了積極的探索.該套試卷最突出的一個創新點，是對結構不良試題的適度開放.信息加工理論的觀點認為：問題的初始狀態、目標狀態、算子和對算子的約束四者中至少有一個沒有明確界定的試題稱為“結構不良試題”.這類試題有助于發展學生的思維能力、創新能力和遷移運用能力，有助于培養學生應用數學和解決問題的能力.如，全國甲卷數學理科試題第18題就屬于結構不良試題（題略）.該題要求考生在給出的三個選項中任選兩個選項作為條件證明另一個選項成立，體現了一定程度的開放性.從答題情況看：選擇以①③證明②的考生最多，證明簡單，得分最高;選擇以①②證明③的考生最少，證明最難，得分最低;有接近30%的考生選擇以②③證明①，難度適中，得分一般，并且這一證明組合方式與文科試題第18題完全一致，較多考生直接用等差數列定義進行證明，也有部分考生利用數學歸納法進行證明.通過讓考生選擇不同條件、結論組成命題并進行論證，有益于考生在不同層面上展現自己的數學水平，開拓數學思維，培養多角度思考問題的意識.

（三）注重素養導向，突出理性思維的考查

理性思維是一種有明確思維方向、充分思維依據，能指導人們對事物或問題進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的一種思維，它在學生數學核心素養的培養中具有最本質、最核心的作用.全國甲卷數學理科試題第4題、文科試題第6題（指數、對數運算的轉化與運算），理科試題第7題（數列的函數特性、充分必要條件），文科、理科試題第10題（古典概型的概率求解），文科試題第13題、理科試題第14題（平面向量數量積、模的求解）等題目，都考查了考生的理性思維.

如，理科試題第20題、文科試題第21題：拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x=1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ.已知點M（2，0），且⊙M與l相切.

（1）求C，⊙M的方程;

（2）設A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1 A2，A1 A3均與⊙M相切.判斷直線A2 A3與⊙M的位置關系，并說明理由.

本題第（1）問為拋物線、圓的方程的求解，第（2）問為直線與圓的位置關系的判定，涉及圓錐曲線的幾何性質和數形結合思想、轉化與化歸思想、函數與方程思想等知識，考查了考生的邏輯推理、數學抽象、數學運算等核心素養，突出理性思維的考查.

（四）落實評價體系，重視考查關鍵能力

《中國高考評價體系》指出：關鍵能力是培育核心價值、發展學科素養必須具備的能力基礎，是高水平人才素質的重要組成部分.2021年全國甲卷數學試題的命制全面落實了“基礎性、應用性、綜合性和創新性”的基本要求，并在應用性上進行了深入探索，重視考查考生的關鍵能力.

1.注重考查數學閱讀與理解能力以及數學應用能力.如全國甲卷數學理科試題第8題：2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8 848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.右圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足[∠A′C′B′=45°，][∠A′B′C′=][60°.]由C點測得B點的仰角為15°，BB′與CC′的差為100;由B點測得A點的仰角為45°，則A，C兩點到水平面[A′B′C′]的高度差[AA′-CC′]約為（[3≈1.732]）（? ）.

A.346 ? ? ? B.373

C.446 ? ? D.473

本題以測量珠穆朗瑪峰高程為情境，突出了理論聯系實際，要求考生在理解三角高程測量法的基礎上，根據示意圖和相關數量關系進行計算：先過C點作[BB′]的垂線，垂足為H，過B點作[AA′]的垂線，垂足為M，得∠BCH=15°、[∠C′A′B′=75°];然后在RtΔBHC中算出[CH=][BHtan∠BCH=100（2+3），]則[C′B′=100（2+3）];繼續運用正弦定理算出[A′B′=C′B′sin∠C′A′B′·sin∠A′C′B′=][100（3+1）]，[AM=100（3+1）]，于是得出[AA′-CC′=][AM+BH=][100（3+1）+100≈373.]解答本題需要考生正確應用線線關系、線面關系、點面關系等幾何知識，借助幾何直觀、正余弦定理等建立問題的函數模型，側重考查考生的數學應用能力.另外，該題有近150個字符，是一道字符較多的題目，一定程度上考查了考生能否快速捕捉、把握關鍵信息和重要數據的數學閱讀與理解能力.

2.注重考查信息轉化能力.如全國甲卷數學理科試題第15題、文科試題第16題：已知F1，F2為橢圓[C：x216+y24=1]的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|=|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為 ? ? .

本題以橢圓的知識為考查點，通過數形結合思想、方程思想把平面問題轉化與化歸為代數問題，構建面積模型，考查考生的運算求解能力與信息轉化能力.

3.注重考查抽象思維能力.如，全國甲卷數學理科試題第12題：設函數f （x）的定義域為R，f （x+1）為奇函數，f （x+2）為偶函數，當x∈[1，2]時， f （x）=ax2+b.若f （0）+f （3）=6，則[f（92）=]（? ）.又如，全國甲卷數學文科試題第12題：設f （x）是定義域為R的奇函數，且f （1+x）=f （-x）.若[f（-13）=13]，則[f（53）=]（? ）.

以上兩道題都考查復合函數奇偶性、周期性和圖象的變換等知識，以及函數與方程、數形結合、數學抽象、直觀想象等核心素養，考生需要對函數奇偶性條件進行等價轉化才能正確解題.如解答理科試題第12題：由f （x+1）為奇函數，f （x+2）為偶函數，得出f （x）的周期為4，且f （1）=0，結合f （0）+f （3）=6，可求得a，b的值，從而得到當x∈[1，2]時，f （x）的解析式.本題解題的關鍵是抽象出已知函數的性質（對稱性），然后結合圖象變換得出周期.

4.注重考查逆向思維能力.如，全國甲卷數學文科試題第15題：已知函數f （x）=2cos（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，則[f（π2）]=? ? .又如全國甲卷數學理科試題第16題：已知函數f （x）=2cos（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，則滿足條件[[f（x）-][f（-7π4）]][[f（x）-f（4π3）]] >0的最小正整數x為? ? .

這兩道題的圖象完全一樣，主要考查三角函數的圖象和性質，以及如何通過圖象判斷函數值的大小，只是具體考查任務略有不同，解題過程都需要考生比較熟練地運用轉化與化歸的思想與方法，進行逆向思考、分類討論、推理論證，考查考生的邏輯推理能力、逆向思維能力.

5.注重考查批判思維能力.批判性思維是一種通過一定標準對過程進行評價，依據評價結果對過程進行優化改進的思維，是一種合理的、反思性的思維，既是思維技能，也是思維傾向.批判性思維能力越強，學生的解題能力就越強.在解決問題過程中，運用批判性思維有利于明確解題方向、合理選擇解題策略、監控并優化解題過程，還能及時提醒考生進行解題反思、提煉思想方法，使會一題、明一路、通一類.

如，全國甲卷數學理科試題第21題：已知a>0且a≠1，函數[f（x）=xaax（x>0）].（1）當a=2時，求f （x）的單調區間;（2）若曲線y=f （x）與直線y=1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

解法分析：（1）求導，利用導數與函數單調性的關系進行求解.求導[f ′（x）=x（2-xln2）2x，]可知函數f （x）在[0，2ln2]上單調遞增，在[2ln2，+∞]上單調遞減.

（2）函數構造是解答本題的關鍵，本題常見的構造有差函數、商函數兩種.

構造一：[f（x）=xaax=1?ax=xa?xlna=alnx?lnxx][=lnaa，]設函數[g（x）=lnxx]，則[g′（x）=1-lnxx2]，令[g′（x）=]0，得x=e，在（0，e）內[g′（x）>0]，g（x）單調遞增;在（e，+∞）上[g′（x）<0]，g（x）單調遞減;所以g（x）max=g（e）=[1e].完成以上步驟，再運用數形結合思想繼續解題：由g（1）=0，當x趨近于+∞時，g（x）趨近于0，且因為曲線y=f （x）與直線y=1有且僅有兩個交點，即曲線y=g（x）與直線y=[alna]有兩個交點的充分必要條件是[0<lnaa<1e]，即0

構造二：設g（x）=f（x）-1=[xaax]-1（x>0），[g′（x）=][xa-1（a-xlna）ax.]①01時，[g′（x）=0?x=alna，]g（x）在[（0，alna）]上單調遞增，在[（alna，+∞）]上單調遞減，又[limx→0g（x）=-1<]0，[limx→+∞g（x）=-1<0，]g（x）max=[g（alna）>0，]則[（alna）a>aalna?][alna>a1lna，]兩邊取以e為底的對數得[lnalna>lna1lna?][lna-lnlna>1lna·lna=1]，令ln a=t，得t-lnt>1，即t-1>lnt，a的取值范圍是（1，e）∪（e，+∞）.

本題考查函數與導數的知識.解這道題，考生需要對無序的信息進行篩選、分類、歸納，然后運用已有的知識進行審慎思考、分析推理、評價重構.另外，對于函數構造常見的兩大方法——作差法、作商法，選擇哪一種方法更有效、更快捷，也需要學生進行理性的批判和選擇.

（五）科學設計難度，堅持“低起點、多層次、高落差”的調控策略

1.堅持讓每一名考生都有獲得感，兼顧高考選拔功能.今年高考全國甲卷數學試題的選擇題、填空題及解答題，均遵循起點低、入口寬、難度漸次提升的規律，注重考查考生掌握知識的寬度和扎實程度.其中，文科、理科試題第8題、第10題、第11題、第15題、第19題的難度設計體現了思維的層次性，第12題、第16題、第20題、第21題則注重考查考生思維的靈活性、深刻性，突出解題方法的綜合性、探究性和創造性，這些題都很好地體現了高考的選拔功能.

2.把握新高考過渡期的考試重點，有序推進高考改革.如，圓錐曲線的定義、方程及性質是必備知識，這些必備知識的學習又蘊含著關鍵能力、必備品格的培養，是高考的重點考查內容.今年高考全國甲卷數學就設計了這樣的試題.如，理科試題第5題：已知F1，F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，則C的離心率為（ ）.又如，文科試題第5題：點（3，0）到雙曲線[x216-y29=1]的一條漸近線的距離為（ ）.這兩道題都呈現出了新高考過渡期的命題特點，體現了新高考的考查趨勢.

隨著第三批新高考試點省份參加2021年新高考，使用新高考全國卷的省份已經增加到10個，廣西也于2021年9月開始“3+1+2”新高考模式下第一屆學生的培養，取消了文理分科.在此背景下的高考備考，更要重視“突出重點，常考常新”的試題特點.總體來說，今年高考全國甲卷數學的命題有破有立，打破了不少約定俗成的模式，數學知識的考查難度有所下降，數學思維和方法的考查難度有所上升，凸顯了“穩中求變、變中求新”的特點.

三、2022年高考數學學科備考的幾點思考

（一）重視課本，構建知識網絡

通過對今年高考全國甲卷數學試題進行分析，我們發現許多試題都可以從教材中找到出處，它們有的來自課本例題、習題，有的來自閱讀材料.因此，教師應當重視課本，加強對教材中核心概念、定理、公式及規律等知識的產生與發展過程的研究、解讀，通過類比、轉化與化歸等方法展開對教材中例題、習題的講解，并組織學生進行遷移、拓展訓練，培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力和素養.在2022年高考備考過程中，除了重視“四基”訓練，教師還要組織學生學會歸納、梳理教材的知識結構以及各板塊之間的基本關系，教會學生以思維導圖的方式構建起整個高中數學知識網絡，達到“牽一發而動全身”的目的.

（二）對標教材、國家課程標準和高考真題進行深入分析，發揮高考的導向性作用

課程標準、教材是高考備考的兩大教學實體，是備考的基本依據，教師要充分研讀《普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）》，領會其中的要求和精神，指導學生對標課程標準展開學習，做到復習內容把握到位，復習目標定位準確，復習過程任務清晰.同時，由于高考試題是備考的風向標，具有明確的指導性和重要的示范性，所以教師要有研究高考試題的意識，通過研究最近五年課標卷的高考真題，明確高考考查的方向，試題的難度，試卷結構的變化，如此方能科學備考.

（三）立足課堂，做好單元主題教學

在用好課本、理解課標、研究真題的基礎上，教師還需改變課堂教學的組織形式及呈現方式，尤其要做好主題單元教學，通過整體規劃本單元的復習內容（如圖1），圍繞一條主線展開復習，讓學生更深刻理解教材、理解數學.在“一核”四層“四翼”的新高考評價體系之下，站在單元的角度進行高考備考，是保障高三備考成效的一項舉措.

（四）重視通性通法，提升關鍵能力

我們不能否認刷題在數學高考備考過程中的重要性，因為學生對數學概念的內涵與外延的理解需要通過解題來實現，但我們必須拒絕只重解題技巧、輕概念生成，追求習題講解最大化而將概念學習最小化等急功近利的教學行為.學生的解題訓練應以培養學生關鍵能力和核心素養為目標，通過一題多解、多題一解，可以有效地引導學生走出“題?！?，幫助學生理解概念，掌握通性通法，提升關鍵能力.

（五）重視數學閱讀，貫穿數學文化，突破數學應用瓶頸

在進行高考備考時，教師應打破高三課堂不預習的“怪象”.預習是高三課堂教學的一個重要環節，通過預習了解所學內容的重點、難點、目標及其與其他板塊知識的關聯，是培養和提高學生數學閱讀能力的重要途徑和方法.另外，教師要多開展基于現實情境、數學情境、科學情境背景下的解題訓練，培養學生的關鍵能力和核心素養，突破數學應用的瓶頸.

參考文獻：

[1]梁越.基于學科核心素養培育的高中數學課堂教學評價指標體系構建研究[D].陜西師范大學，2019.

[2]任子朝，趙軒.數學考試中的結構不良問題研究[J].數學通報，2020.

[3]曾小英.批判思維訓練對創造性問題解決的影響[D].西南大學，2016.

[4]黃麗. 《中國高考評價體系》下的原創命題探索：新情境創設下的素養與能力落實[J].教學考試，2020.

[5]閔彥利.一題多變，拓展思維：培養學生創新思維能力的有效途徑[J].中學數學，2016.

注：本文系廣西教育科學規劃2021年度“鄉村數學教師能力素質提升”專項課題“鄉村振興戰略背景下數學教師單元教學能力提升的策略與實踐研究”（立項編號：2021ZJY190）的階段研究成果.

（責編 蒙秀溪）