揭示本質(zhì)深化運(yùn)用

張帶輝

摘 ?要：根的判別式在解決一元二次方程根的情形方面有著廣泛的應(yīng)用，但判別式在其他方面的應(yīng)用威力就連許多初中數(shù)學(xué)老師都感到很驚訝，究其原因是我們不知道判別式的真實(shí)面目，沒有真正認(rèn)識(shí)清楚判別式的本質(zhì)，也沒有真正理解判別式與一元二次方程的內(nèi)在聯(lián)系.本文將通過(guò)自己對(duì)判別式的認(rèn)識(shí)，，揭示判別式的本質(zhì)，理解判別式運(yùn)用的威力.

關(guān)鍵詞：判別式的本質(zhì);認(rèn)識(shí);聯(lián)系;運(yùn)用

為了揭示判別式的本質(zhì)，看清楚判別式的真實(shí)面目，理解判別式與一元二次方程的內(nèi)在聯(lián)系，現(xiàn)將一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）……①作如下的配方：

項(xiàng)移，得ax2+bx=-c

方程兩邊都乘以4a，得4a2x2+4abx=-4ac

方程兩邊都加上b2，得（2ax）2+2·（2ax）·b+b2=b2-4ac

配方，得（2ax+b）2=b2-4ac

即b2-4ac=（2ax+b）2……②

對(duì)判別式的認(rèn)識(shí)我們不能僅僅只看到Δ=b2-4ac，也不能孤立的只看到②式，既要由①式往②a式去看，也要由②式往①式去想，這樣才能真正理解判別式的本質(zhì)，因此本人對(duì)判別式的認(rèn)識(shí)有下列五點(diǎn)看法。

第一，從①式到②式的演變過(guò)程來(lái)看，判別式是配方的結(jié)果，因此能用判別式法解決的問(wèn)題也能用配方法解決。

例1.若x、y為實(shí)數(shù)，且滿足x2+5y2+4xy-2y+1=0，求x、y的值.

解法1：（用判別式法）∵x、y為實(shí)數(shù)

∴關(guān)于x的一元二次方程x2+4yx+（5y2-2y+1）=0有實(shí)數(shù)解

即Δ=（4y）2-4（5y2-2y+1）=-4y2+8y-4=-4（y-1）2≥0

∴（y-1）2≤0

又∵（y-1）2≥0，∴y-1=0，得y=1，從而得到x=-2.

解法2：（用配方法）∵x2+5y2+4xy-2y+1=0

∴（x2+4xy+4y2）+（y2-2y+1）=0，即（x+2y）2+（y-1）2=0

得到 ? ?x+2y=0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x=-2

y-1=0 ? ? ?，解得： ? ?y=1

第二，由②式往①式的聯(lián)系來(lái)看，知道形如b2-4ac≥0或≤0的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程來(lái)解決。

例2.已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足 ? （b-c）2=（a-b）（c-a），求

的值.

分析：本題看似與判別式無(wú)關(guān)，但由已知可轉(zhuǎn)化得（b-c）2-4（a-b）（c-a）=0，聯(lián)想到Δ=0，這樣便可以用一元二次方程來(lái)解決。

解：當(dāng)a=b時(shí)，可得b=c=a.故 ? ? ? ? = 2.

當(dāng)a≠b時(shí)，設(shè)關(guān)于x的一元二次方程為（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0∵（b-c）2-4（a-b）（c-a）=0，即Δ=0

∴方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。又∵（a-b）+（b-c）+（c-a）=0∴方程的兩根都為1

由根與系數(shù)的關(guān)系，得 ? ? ? ? ? ?=1，得到b+c=2a，故 ? ? ? ? ?= 2.

∴ ? ? ? ? ?的值為2.

第三，從②式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)看，當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，（2ax+b）2≥0，即b2-4ac≥0。

也就是說(shuō)①式中，x為實(shí)數(shù)?b2-4ac≥0.利用它能解決一元二次方程待定系數(shù)的取值范圍。

例3.求代數(shù)式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的取值范圍.

分析：通過(guò)換元將等式轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用Δ≥0來(lái)確定范圍.

解：設(shè)y= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，則（2y-1）x2+2（y+1）x+（y+3）=0.

當(dāng)y≠ ? ? 時(shí)，∵x為實(shí)數(shù)，∴Δ=4（y+1）2-4（2y-1）（y+3）≥0

即y2+3y-4≤0.∴（y+4）（y-1）≤0.∴-4≤y≤1

當(dāng)2y-1=0時(shí)，即y= ? ? ，方程有解.

∴-4≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ≤1.

第四，從②式的整體來(lái)看，一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情況等價(jià)于方程（2ax+b）2=b2-4ac的解的情況。容易得到：1.當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根;2.當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)x= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?;3.當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)x1=x2=- ? ? ? ;4.當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，該方程沒有實(shí)數(shù)根。

第五，從①式的左邊來(lái)看，若二次三項(xiàng)式ax2+bx+c是一個(gè)完全平方式，那么②式的右邊就等于0，即b2-4ac=0。

例4.已知二次三項(xiàng)式4x2+（m-1）x+9是完全平方式，求m的值.

解：∵4x2+（m-1）x+9是完全平方式

∴（m-1）2-4×4×9=0.即（m-1）2=144，

解得m1=13，m2=-11.

例5.已知2x2-xy-y2+2my-8能分解成兩個(gè)一次因式的積，求m的值并進(jìn)行因式分解。

解：設(shè)2x2-xy-y2+2my-8=0，則關(guān)于x的二次方程為2x2-yx+（-y2+2my-8）=0.

∵多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積

∴判別式Δ是完全平方式

即（-y）2-8（-y2+2my-8）=（3y）2-2m·y·8+82是完全平方式，∴m=±3.

（1）當(dāng)m=3時(shí)，由方程2x2-xy-y2+6y-8=0解得x=y-2或x=- ? ? y+2.

∴原式=（x-y+2）（2x+y-4）.

（2）當(dāng)m=-3時(shí)，由方程2x2-xy-y2-6y-8=0解得x=y+2或x=- ? ? y-2.

∴原式=（x-y-2）（2x+y+4）.

參考文獻(xiàn)：

[1]王家成，李銳.判別式活用掠影[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬·初中），2009，5.

（作者單位：惠州市博羅縣龍溪第二中學(xué)，廣東 ? 惠州 ? 516121）