數(shù)學(xué)建模思維在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用

高永浩 李華 王繼國 谷卓

摘要模型是物理學(xué)理論的基礎(chǔ)，是我們研究物質(zhì)世界運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基石。數(shù)學(xué)建模思維就是在解決實(shí)際問題時(shí)，恰當(dāng)?shù)亟⒛Ｐ筒⒂煤线m的數(shù)學(xué)手段求解模型，這也是我們希望學(xué)生通過大學(xué)物理課程的學(xué)習(xí)而獲取的核心能力。本文分析了大學(xué)物理教學(xué)中使用數(shù)學(xué)建模思維解決物理問題的標(biāo)準(zhǔn)流程，并總結(jié)和整理了大學(xué)物理課程涉及的主要模型及其適用范圍，供相關(guān)教學(xué)及教研人員參考。

關(guān)鍵詞 大學(xué)物理 物理模型 數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào)：G424文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.26.026

Application of Mathematical Modeling Thinking in College Physics Teaching

GAO Yonghao， LI Hua， WANG Jiguo， GU Zhuo

（Department of Mathematics， Shijiazhuang Tiedao University， Shijiazhuang， Hebei 050043）

AbstractModel is thebasis ofphysical theory and the cornerstoneofourstudy of the motion lawofthematerial world. Mathematical modeling thinking is to properly establish a model and solve the model with appropriate mathematical means when solving practical problems， which is also the core ability we hope students to obtain through the study of college physics courses. This paper analyzes the standard process of using mathematical modeling thinking to solve physical problems in collegephysics teaching， and summarizes and arranges the mainmodels involved in college physics courses and their scope of application， which can be used as a reference for relevant teaching and research personnel.

Keywordscollege physics； physical model； mathematical modeling

大學(xué)物理的教學(xué)有兩個(gè)核心目標(biāo)，其一是為各理工科專業(yè)學(xué)生提供必要的物理知識(shí)和技能；其二是實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的思維方法和具體物理模型相結(jié)合，訓(xùn)練學(xué)生專業(yè)模型數(shù)學(xué)化的能力。[1]這正是數(shù)學(xué)建模的思維方式，也是建模教學(xué)的關(guān)鍵所在。

建模教學(xué)以認(rèn)知建模理論為基礎(chǔ)，包含建立模型、檢驗(yàn)與完善模型、應(yīng)用模型三個(gè)循環(huán)階段，能夠幫助學(xué)生深入、連貫地學(xué)習(xí)物理學(xué)的思想方法，是美國近幾十年來教學(xué)改革最成功的教學(xué)模式之一。[2]

在物理課程中使用建模教學(xué)法可以幫助學(xué)生聚焦問題、建構(gòu)知識(shí)，促進(jìn)其對(duì)物理概念的理解，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)能力。[3]國內(nèi)部分高校有意識(shí)地將建模思維融入大學(xué)物理教學(xué)實(shí)踐中，拓展了學(xué)生的視野與應(yīng)用意識(shí)，提高了學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)與創(chuàng)新能力。[4]

1大學(xué)物理教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思維的應(yīng)用

我們?cè)谑褂媒＝虒W(xué)法進(jìn)行大學(xué)物理課程授課時(shí)，要特別注意對(duì)學(xué)生講授解決問題的標(biāo)準(zhǔn)流程：（1）針對(duì)真實(shí)世界物理問題，分析其主要影響因素、計(jì)算精度要求等，從而選擇合適的物理模型，完成真實(shí)問題到物理模型的轉(zhuǎn)化；（2）根據(jù)所選用的物理模型，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并列出方程或方程組，完成物理模型到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化；（3）使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具或方法求解該方程或方程組，完成數(shù)學(xué)模型到數(shù)學(xué)結(jié)果的轉(zhuǎn)化；（4）討論該數(shù)學(xué)結(jié)果，為其賦予物理意義，完成數(shù)學(xué)結(jié)果到物理結(jié)果的轉(zhuǎn)化；（5）將由求解物理模型而得到的物理結(jié)果返回到真實(shí)世界的物理問題中，討論模型適用與否，獲取對(duì)該物理問題規(guī)律的正確認(rèn)識(shí)，完成模型求解到認(rèn)識(shí)世界的轉(zhuǎn)化。以下分別對(duì)這些步驟進(jìn)行討論和分析。

在需要解決一個(gè)真實(shí)世界的物理問題的時(shí)候，我們首先面對(duì)的就是客觀世界的復(fù)雜性，如何抓住主要矛盾，略去我們暫不關(guān)注的次要影響因素，就是選擇建立適當(dāng)物理模型的關(guān)鍵所在。比如處理足球運(yùn)動(dòng)軌跡問題時(shí)，當(dāng)我們只考慮最簡(jiǎn)單的情況時(shí)，就把足球看成是質(zhì)點(diǎn)模型并忽略空氣阻力，那么足球?qū)⒃谥亓Φ淖饔孟伦鲂睊佭\(yùn)動(dòng)，我們很容易求解出足球的飛行軌跡、最大高度及落地點(diǎn)距離等。這個(gè)模型能給我們足球大致是怎么運(yùn)動(dòng)的初步認(rèn)識(shí)。進(jìn)一步，在模型中考慮空氣阻力，那么足球?qū)⒆鰩ё枇π睊佭\(yùn)動(dòng)，這就已經(jīng)比較接近真實(shí)的足球運(yùn)動(dòng)軌跡了。再進(jìn)一步，在模型中加入流體力學(xué)，考慮氣流對(duì)旋轉(zhuǎn)的足球的作用，就能給出弧線球的軌跡，這幾乎已經(jīng)超出大學(xué)物理的授課范圍了。而真正的足球是多塊皮革縫制且?guī)в袃?nèi)膽的空心球體，內(nèi)部充有氣體，球被踢出后的形變、內(nèi)部氣體的狀態(tài)變化、外部氣流的作用及對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響更是一個(gè)十分復(fù)雜的科研問題，難以精確求解。所以要根據(jù)實(shí)際物理問題的特征和我們的需求來確定采用什么模型，不能一味求全。

當(dāng)我們選定所要使用的物理模型后，就要著手把這一物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。首先要選取合適的坐標(biāo)系。在大學(xué)物理的范疇里，常見的坐標(biāo)系主要有直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系。如果該物理問題只處理圓周運(yùn)動(dòng)或曲線運(yùn)動(dòng)，則選擇自然坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系，否則基本上都是使用直角坐標(biāo)系。如果選擇直角坐標(biāo)系，還要考慮坐標(biāo)軸的指向。一般選擇物體運(yùn)動(dòng)的方向作為軸向，物體靜止的話則選擇主要的受力方向（如重力方向）為軸向。坐標(biāo)系及軸向都確定后，再根據(jù)物理規(guī)律分別在各軸向上列出方程，將物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

當(dāng)數(shù)學(xué)模型建立完畢后，接下來就是采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具或方法進(jìn)行求解。在大學(xué)物理課程范圍內(nèi)，主要涉及的數(shù)學(xué)工具就是線性方程組和常微分方程。線性方程組在維數(shù)不高的情況下較易求解，而常微分方程是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后才遇到的，需要同學(xué)們熟記并靈活運(yùn)用微積分公式，多加練習(xí)才能很好地掌握。

求解得到數(shù)學(xué)結(jié)果后，我們要牢記這是物理問題，要為數(shù)學(xué)結(jié)果賦予物理意義，然后我們還要把這一物理結(jié)果反饋回原始的真實(shí)世界的物理問題，去評(píng)價(jià)我們所采用的模型是否恰當(dāng)。如不恰當(dāng)，則需要更換模型重新建模求解，如此循環(huán)迭代，直到得到滿意的結(jié)果。這就是使用數(shù)學(xué)建模思維進(jìn)行大學(xué)物理問題求解的一般過程，也是建模教學(xué)法要求學(xué)生掌握的核心能力。

2大學(xué)物理課程中的物理模型

2.1力學(xué)中的模型

2.1.1質(zhì)點(diǎn)模型

處理力學(xué)問題時(shí)，如果我們所關(guān)注物體的形狀、大小對(duì)于要研究的問題來說不重要，那么就可以把該物體抽象為一個(gè)有質(zhì)量的點(diǎn)來處理，稱為質(zhì)點(diǎn)模型。例如在研究地球繞太陽的公轉(zhuǎn)時(shí)，由于地球至太陽的平均距離約為地球半徑的兩萬多倍，相差四個(gè)數(shù)量級(jí)，故而可以把地球當(dāng)成是質(zhì)點(diǎn)來處理。但是在研究地球的自轉(zhuǎn)時(shí)，就要考慮地球的形狀和大小，不能再把它看成是質(zhì)點(diǎn)了。同樣的道理，研究一個(gè)人在電梯里的升降加速度時(shí)，可以把人看成是質(zhì)點(diǎn)；但是要研究這個(gè)人在滑冰時(shí)如何做出旋轉(zhuǎn)動(dòng)作，就不能再看成是質(zhì)點(diǎn)。能否把物體看成質(zhì)點(diǎn)，不取決于這個(gè)物體本身，而是由它所處的具體問題決定的。

2.1.2剛體模型

一般來說，在有外力作用的情況下，物體的大小和形狀都有可能發(fā)生變化；但在一些情況中，這種大小和形狀的變化對(duì)于要研究的問題可以忽略時(shí)，我們就可以把該物體抽象成大小形狀保持不變的堅(jiān)硬物體，其內(nèi)部任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持恒定，稱為剛體模型。上文提到的地球自轉(zhuǎn)和滑冰者旋轉(zhuǎn)問題中，我們就可以把地球和滑冰者當(dāng)成剛體來進(jìn)行處理。剛體模型同樣有成立的條件，要求在所研究的過程中物體的形狀和大小變化均可忽略。如果我們?cè)谘芯康厍蜃赞D(zhuǎn)的各種影響因素時(shí)，進(jìn)一步考慮海水潮汐、地殼內(nèi)部熔巖等的作用，那么就不能再把整個(gè)地球當(dāng)成是一個(gè)剛體。

2.1.3理想流體模型

流體是可以流動(dòng)的物體（如空氣、水等），是很常見的物質(zhì)存在形式。在研究流體的相關(guān)問題時(shí)，如果該流體不可壓縮且沒有黏性，那么我們稱之為理想流體。必須要強(qiáng)調(diào)，現(xiàn)實(shí)世界中沒有真正的理想流體，只是在我們所研究的問題中，如果該流體的黏性和壓縮產(chǎn)生的影響可忽略時(shí)，我們就可以把它當(dāng)成理想流體，這樣能夠大大簡(jiǎn)化問題的分析，并給出該流體主要流動(dòng)性質(zhì)的相對(duì)準(zhǔn)確的說明。比如用適合理想流體的伯努利方程來分析噴霧器、飛行體的升力及旋轉(zhuǎn)球的弧線等現(xiàn)象。但是當(dāng)需要研究?jī)?yōu)化航空渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)和火箭助推噴射器時(shí)，涉及流體各項(xiàng)參數(shù)的劇烈變化，不可壓縮和無黏性這兩個(gè)條件不再成立，就不能簡(jiǎn)單地使用理想流體模型來進(jìn)行分析。

2.2電磁學(xué)中的模型

2.2.1點(diǎn)電荷模型

一般的帶電體都是具有形狀和大小的，為了研究的方便，如果該帶電體的形狀和大小相對(duì)于所要研究的問題可忽略，那么我們就可以把該帶電體抽象為一個(gè)具有一定電荷量的點(diǎn)，稱為點(diǎn)電荷模型。當(dāng)一個(gè)帶電體的形狀和大小不能忽略時(shí)，我們可以把它看成是點(diǎn)電荷組成的電荷系，使用庫侖定律先求出每個(gè)點(diǎn)電荷在空間的電場(chǎng)分布，再利用電場(chǎng)疊加原理給出該帶電體在空間的電場(chǎng)分布情況。從另一個(gè)角度來說，我們?cè)谡n上求解帶電圓環(huán)、圓盤外的電場(chǎng)分布問題時(shí)，會(huì)得出這樣的結(jié)論，當(dāng)空間點(diǎn)到帶電圓環(huán)或圓盤的距離遠(yuǎn)大于圓環(huán)或圓盤的直徑時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度在該點(diǎn)的表達(dá)式與點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)表達(dá)式近似一致，這也從側(cè)面驗(yàn)證了點(diǎn)電荷模型的合理性。

2.2.2電場(chǎng)線與磁感線模型

電場(chǎng)線與磁感線都是為了形象地描述場(chǎng)而引入的假想曲線。在引入電場(chǎng)強(qiáng)度通量這個(gè)概念的時(shí)候，我們經(jīng)常會(huì)使用穿過一個(gè)曲面的電場(chǎng)線的數(shù)目作為定義。但是電場(chǎng)強(qiáng)度通量本身不一定是整數(shù)，而半根電場(chǎng)線穿過一個(gè)曲面的物理圖像是無法想象的。所以電場(chǎng)線這個(gè)模型是為了形象化地描述電場(chǎng)引入的，但是在描述電場(chǎng)的某些具體性質(zhì)時(shí)，我們不能被電場(chǎng)線這個(gè)模型束縛住。這對(duì)使用磁感線描述磁場(chǎng)來說也是一樣的。

2.2.3集總電路與分布電路模型

在大學(xué)物理講靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)一章時(shí)，我們會(huì)經(jīng)常要求同學(xué)們計(jì)算這樣一道題目：相距為d的兩根無限長圓柱導(dǎo)線（半徑r遠(yuǎn)小于d）上，單位長度的電容是多少。由該題目可以引出分布電路模型，并向?qū)W生說明，他們?cè)诟咧袑W(xué)的電路叫作集總電路模型。原則上來說，任何電路都是分布電路，但是當(dāng)電路頻率所對(duì)應(yīng)的電磁波長遠(yuǎn)大于電路尺寸時(shí)，使用集總電路模型可以大大地簡(jiǎn)化電路分析。具體到實(shí)踐中，比如在實(shí)驗(yàn)臺(tái)面包板上搭建一個(gè)50Hz的交流電路，就可以使用集總電路模型；而同樣是50Hz的交流電，要想分析長距離輸電網(wǎng)絡(luò)的電路，就必須要考慮分布電路模型了。

2.3熱學(xué)中的模型

2.3.1理想氣體模型

我們把在任何狀態(tài)下都滿足波意耳-馬略特定律、查理定律及蓋·呂薩克定律這三個(gè)實(shí)驗(yàn)定律（即PV/T=常數(shù)）的氣體叫作理想氣體。一切實(shí)際氣體并不嚴(yán)格遵循這些實(shí)驗(yàn)定律，只有在溫度較高，壓強(qiáng)不大時(shí)，偏離才不顯著。理想氣體是實(shí)際氣體在壓強(qiáng)不斷降低情況下的極限，或者說是當(dāng)壓強(qiáng)趨近于零時(shí)所有氣體的共同特性，即零壓時(shí)所有實(shí)際氣體都具有理想氣體性質(zhì)。所以理想氣體這個(gè)理想模型，可以在處理低壓氣體相關(guān)問題時(shí)使用；在處理高壓或低溫氣體時(shí)就要考慮其他氣體模型。

2.3.2準(zhǔn)靜態(tài)過程與可逆過程模型

熱力學(xué)系統(tǒng)從一個(gè)平衡態(tài)向另一個(gè)平衡態(tài)演化的過程中，當(dāng)狀態(tài)變化得足夠慢，以至于每時(shí)每刻都可以近似看成平衡態(tài)時(shí)，我們就稱這樣的過程是準(zhǔn)靜態(tài)過程。可逆過程是指一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)演化到另一個(gè)狀態(tài)后，能夠找到另一個(gè)過程使得系統(tǒng)與環(huán)境完全恢復(fù)原來的狀態(tài)而不引起其他變化。準(zhǔn)靜態(tài)過程與可逆過程都是理想模型，準(zhǔn)靜態(tài)過程模型的理想性在于無限慢，可逆過程模型的理想性在于無損耗。可逆過程一定是準(zhǔn)靜態(tài)過程，準(zhǔn)靜態(tài)過程不一定是可逆過程，無摩擦無耗散的準(zhǔn)靜態(tài)過程是可逆過程。

2.4光學(xué)中的模型

2.4.1幾何光學(xué)模型

把物體發(fā)出的光看成是無數(shù)幾何光線的集合，且光線的傳播遵循直線傳播定律、獨(dú)立傳播定律、反射定律和折射定律，這就是幾何光學(xué)模型。幾何光學(xué)模型在設(shè)計(jì)光學(xué)成像元件及系統(tǒng)時(shí)具有方便和實(shí)用的特點(diǎn)。比如在分析小孔成像、凸透鏡及凹透鏡成像時(shí)，我們使用的就是幾何光學(xué)模型。

2.4.2波動(dòng)光學(xué)模型

當(dāng)我們把光看成是電場(chǎng)磁場(chǎng)交替振蕩變化的電磁波時(shí)，這就是波動(dòng)光學(xué)模型。波動(dòng)光學(xué)是以波動(dòng)理論研究光的傳播及光與物質(zhì)相互作用的光學(xué)模型。波動(dòng)光學(xué)模型可以解決光的干涉、衍射、偏振、散射、磁光及電光等幾何光學(xué)無法解釋的問題，但是無法解釋光與物質(zhì)相互作用的相關(guān)現(xiàn)象，如光電效應(yīng)、黑體輻射和康普頓散射等。

2.4.3量子光學(xué)模型

量子光學(xué)模型是在20世紀(jì)初才開始被科學(xué)家研究的。普朗克在研究黑體輻射實(shí)驗(yàn)的過程中，為了解釋實(shí)驗(yàn)曲線，提出了量子假說，即電磁場(chǎng)的能量是一份一份發(fā)出的，這一假說推開了量子世界的大門。隨后愛因斯坦使用光量子假說解釋了光電效應(yīng)，康普頓也使用這一假說解釋了X射線散射實(shí)驗(yàn)中散射波長隨角度變化的問題。要想解釋原子的穩(wěn)定性和線狀光譜問題，更是離不開量子光學(xué)模型。

幾何光學(xué)、波動(dòng)光學(xué)和量子光學(xué)模型，分別在不同的能量和空間尺度上描述了光的性質(zhì)。原則上來講，量子光學(xué)模型是最符合光真實(shí)性質(zhì)的模型，但是在解決宏觀尺度光學(xué)問題時(shí)，還是幾何光學(xué)和波動(dòng)光學(xué)更易用。所以使用哪種模型要具體問題具體分析。

3結(jié)束語

大學(xué)物理課程不應(yīng)只是教會(huì)學(xué)生做題，而是要培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題恰當(dāng)?shù)剡x擇模型、構(gòu)建模型及求解模型的能力。我們基于這樣的理念，討論了使用數(shù)學(xué)建模思維解決大學(xué)物理問題的標(biāo)準(zhǔn)流程，分析整理了大學(xué)物理課程涉及的主要模型，并討論了各模型的區(qū)別和聯(lián)系，為相關(guān)教學(xué)及教研人員提供了參考。

課題項(xiàng)目：2018年河北省教育廳高等學(xué)校人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)建模在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用研究”（編號(hào)GH181033）

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