傅科擺的幾何分析1)

王睿垠 袁 威 馮 放 金長(zhǎng)江

*(東北農(nóng)業(yè)大學(xué)文理學(xué)院，哈爾濱150030)

?(東北農(nóng)業(yè)大學(xué)工程學(xué)院，哈爾濱150030)

1851年，傅科 (Jean Foucault，1819–1868年)在200英尺長(zhǎng)的繩索上搭建了一個(gè)由重鐵球構(gòu)成的單擺來證實(shí)地球的自轉(zhuǎn)[1]。傅科觀察到，地球的自轉(zhuǎn)會(huì)導(dǎo)致單擺的擺動(dòng)面轉(zhuǎn)動(dòng)[2]。擺動(dòng)面轉(zhuǎn)動(dòng)角度會(huì)隨緯度變化，每天擺動(dòng)面(垂直向下看北半球?yàn)轫槙r(shí)針)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為 2πsinθ(θ表示擺所處的緯度)，如北極每天轉(zhuǎn)動(dòng)角度為 2π、赤道處轉(zhuǎn)動(dòng)角度為 0(如圖1所示)。從傅科公開展示他的實(shí)驗(yàn)之后，傅科擺在物理學(xué)、物理學(xué)教育以及科學(xué)史中發(fā)揮了重要作用[3]，其基本原理還應(yīng)用到電動(dòng)力學(xué)、核物理學(xué)、量子力學(xué)、固體力學(xué)等其他物理方向[4]。

目前國(guó)內(nèi)很多科技館都有傅科擺裝置，但即使是學(xué)過大學(xué)物理課程的學(xué)生，仍不能很好地理解傅科擺的工作原理。擺平面的轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)象，可以通過大學(xué)物理中的旋轉(zhuǎn)參考系和科里奧利力來解釋，由于概念較為抽象，因此對(duì)非物理專業(yè)的學(xué)生來說理解擺的行為與地球自轉(zhuǎn)的關(guān)系仍然是個(gè)難點(diǎn)。傅科擺提供了一個(gè)在幾何學(xué)背景下進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的典型實(shí)例[5]，一些傅科擺的研究由于直接應(yīng)用黎曼幾何方法[6-7]，因此在方法上顯得與牛頓力學(xué)毫無關(guān)聯(lián)。本文把傅科擺的行為與幾何聯(lián)系在一起，給出了研究傅科擺的幾何方法，并且通過與牛頓力學(xué)方法比較證明了兩種方法的等價(jià)性。本文旨在讓學(xué)生了解幾何方法在力學(xué)實(shí)踐的重要性[8]，以期通過傅科擺的幾何描述引起讀者應(yīng)用微分幾何解決力學(xué)問題的興趣。

圖1 地球上不同緯度的傅科擺

1 傅科擺的牛頓力學(xué)分析

分析傅科擺的牛頓力學(xué)方法，可以參考一些文章和教材[9-13]。給定固定于地球上的體坐標(biāo)系x，y，z(即觀察者自身坐標(biāo)系)，如圖2所示。假設(shè)擺的長(zhǎng)度L很長(zhǎng)，忽略擺球在z方向的位移以及地球轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的離心力，可以得到擺球的運(yùn)動(dòng)方程

式中，m為擺球的質(zhì)量，r為擺球的矢徑，g為重力加速度，Ω為地球角速度矢量。

圖2 傅科擺的坐標(biāo)系

由于x，y遠(yuǎn)小于L，T～=mg，可以得到繩索張力T在坐標(biāo)軸的投影為

式(1)科氏加速度項(xiàng)中

計(jì)算時(shí)忽略了z方向的位移，即˙z=0。把式(1)向x，y方向投影，根據(jù)式(2)和式(3)，可以得到傅科擺的運(yùn)動(dòng)方程為

式中，ω2=g/L，ΩZ=Ωsinθ。

取μ=x+iy，式(4)寫成微分方程為

考慮到Ωz遠(yuǎn)小于ω，方程的解為

式中，括號(hào)內(nèi)是沒有地球自轉(zhuǎn)影響時(shí)擺的運(yùn)動(dòng)，而e－iΩzt表示了擺平面如何轉(zhuǎn)動(dòng)。取μ0=x0+iy0=Aeiωt+Be－iωt，則擺平面的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為

x0(t)，y0(t)為初始條件。地球轉(zhuǎn)動(dòng)一天的時(shí)間為t0=2π/Ω。當(dāng)?shù)厍蜣D(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，由式(7)可以算出擺平面轉(zhuǎn)過的角度為Ωzt0=Ωsinθ(2π/Ω)=2πsinθ。

2 傅科擺的空間解釋

與大學(xué)物理中用科里奧利力解釋傅科擺不同，這里從另一個(gè)角度來研究傅科擺。相對(duì)于靜止坐標(biāo)系，擺平面在平直空間移動(dòng)時(shí)不會(huì)發(fā)生任何偏轉(zhuǎn)。假設(shè)地球是不轉(zhuǎn)的，傅科擺在球體上沿緯度不變的方向移動(dòng)一周，對(duì)于擺來說，擺平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角度和地球自轉(zhuǎn)的效果是相同的[14]。直觀上很容易解釋矢量(即擺球速度矢量)沿固定緯度方向的轉(zhuǎn)動(dòng)[15]。把沿固定緯度的路徑外接一個(gè)圓錐，圓錐可以拓?fù)渫哂诙S平面，這樣圓錐展開面上的直線即為曲面上的直線，球面上矢量的平移如圖3所示。

圖3 固定緯度的路徑

從圖3可以看到，地球是圓錐內(nèi)接球，矢量繞固定緯度走一圈，方向的改變量為α，將圓錐展后可以直接計(jì)算結(jié)果。圓錐的母線長(zhǎng)為R/tanθ，同緯度圓的周長(zhǎng)為 2πRcosθ，故矢量轉(zhuǎn)過的角度為α=2πRcosθ/(R/tanθ)=2πsinθ。如果傅科擺處于地球緯度為θ的位置，那么擺平面一天轉(zhuǎn)過的角度為2πsinθ，該結(jié)果與牛頓力學(xué)的矢量分析結(jié)果相同。

3 傅科擺的幾何分析

研究傅科擺在任意軌道上的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，上述解釋不能適用，因此考慮采用微分幾何的分析方法來研究傅科擺。

先考慮擺平面在曲面上的偏轉(zhuǎn)問題。二維生物在球面上看球體與鳥在空中看球體是不同的。二維生物僅能感知經(jīng)度和緯度的二維空間，對(duì)于三維空間中的任何事件或物體，二維生物只能通過投影到切平面上來感知。三維向量在地球的切平面上可以寫為v=ae1+be2+cn，如圖3所示，二維生物只能感知到切平面上的ae1+be2。任何空間中，直線的特征是物體沿該直線勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度矢量為零。通過類比，二維球面上的直線(測(cè)地線)可以定義為：當(dāng)物體勻速運(yùn)動(dòng)并且切于球面的加速度為零時(shí)，物體經(jīng)過的路徑為直線。二維生物感知到勻速運(yùn)動(dòng)物體在ae1+be2方向的加速度為零(但沿n方向加速度可以不為零)的任何曲線都是直線，可以證明該直線就是球面上的大圓。如果傅科擺的擺球速度矢量平移方向是測(cè)地線方向，擺平面是不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)的，否則會(huì)有沿切平面方向的加速度，擺平面一定轉(zhuǎn)動(dòng)。

再看矢量隨坐標(biāo)線平移的變化，如圖4所示。矢量在切平面上的變化，就是幾何分析中的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。

圖4 矢量沿坐標(biāo)線的平移

協(xié)變導(dǎo)數(shù)的定義為：不考慮矢量在垂直切平面方向上的變化，只考慮在切平面內(nèi)的變化，定義e1在u1方向的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為

從圖4看到

式(8)可以寫為

e1為切平面上的切矢量，u1為曲面坐標(biāo)，Γ為克里斯托費(fèi)爾符號(hào)(克氏符)。考慮e1在u2方向以及e2在u1，u2方向的移動(dòng)，可以寫成統(tǒng)一形式

式(11)的第二個(gè)等式采用了愛因斯坦求和約定，上下相同的角標(biāo)代表在所有維度上求和。的三個(gè)角標(biāo)可以考慮如下：i角標(biāo)為沿該坐標(biāo)線平移，j角標(biāo)為平移的那一個(gè)切矢量，上角標(biāo)k為在該切矢量上的投影。

切平面上的任意矢量可以表示為

該矢量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)可以寫為

式(13)去掉了在曲面垂直方向的分量，給出了矢量在切平面內(nèi)的變化，即協(xié)變導(dǎo)數(shù)給出了二維生物在曲面上運(yùn)動(dòng)時(shí)感受到的加速度。如果計(jì)算出曲面上的克氏符，就可以通過式(13)給出任意矢量沿不同坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)，即給出沿坐標(biāo)線的加速度。下面給出計(jì)算克氏符的過程，由式(11)有

其中

gkl為度規(guī)張量矩陣。式(14)兩邊乘以度規(guī)張量矩陣的逆矩陣，就可以求出曲面的克氏符。

下面給出傅科擺擺球速度矢量在球面固定緯度上平移即協(xié)變導(dǎo)數(shù)為零時(shí)需要滿足的方程。球面上的坐標(biāo)如圖5所示，球面上一點(diǎn)的矢徑可以寫為

圖5 球面上的坐標(biāo)與切平面上的切矢量

取u1=φ和u2=θ，故球面上的切矢量為

為了后續(xù)計(jì)算方便，改寫為單位矢量度規(guī)張量矩陣和其逆矩陣為

如果速度矢量在切平面內(nèi)沒有變化，意味著二維生物感受到的加速度為零，即沿u1方向的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為零

協(xié)變導(dǎo)數(shù)為零，則兩個(gè)分量必須為零，有如下方程

該方程簡(jiǎn)寫為

考慮到這是一個(gè)線性系統(tǒng)，參考線性控制理論的結(jié)論[16]，如果矩陣A有k個(gè)實(shí)數(shù)特征值，2s個(gè)復(fù)特征值，式(24)的解為

式中，ci，dj，fj為常數(shù)；wi為實(shí)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量；wj為復(fù)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量；B為取實(shí)部；C為取虛部；λi為實(shí)特征值；λj為復(fù)特征值。

矩陣A的特征值為 (-isinθ，isinθ)，特征向量為 (1，-i)T，(1，i)T，故有比較圖5和圖2的坐標(biāo)系，任意矢量的分量取v1=x，v2=y，故方程(23)的解為

x0和y0為初始值。比較式(27)和式(7)可以得到

即Ωt=φ，這說明幾何方法和牛頓力學(xué)方法的解是完全相同的。

幾何方法說明傅科擺擺平面轉(zhuǎn)動(dòng)的原因是由于垂直擺平面的方向不受任何力，擺球速度矢量要在球面的切平面上平移，而速度矢量平移的結(jié)果就是擺平面要發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。

4 傅科擺的幾何分析和牛頓力學(xué)方法之間的聯(lián)系

4.1 采用幾何法反推牛頓力學(xué)方程

雖然幾何法給出了和牛頓力學(xué)方法同樣的解，但是幾何方法沒有給出傅科擺的牛頓力學(xué)方程。因此，本文利用式(27)的解進(jìn)行反推，推導(dǎo)出擺平面以角速度Ωz轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程。歐式空間靜止的局部坐標(biāo)系為 (t，x0，y0，z0)，擺平面轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)局部坐標(biāo)系相對(duì)靜止坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)如圖6所示，可以給出坐標(biāo)變換的公式

式中，Ωz為繞z軸的角速度。

設(shè)矢量場(chǎng)X=xi(?/?qi)，Y=yj(?/?qj)，Z=zk(?/?qk)；f，g為普通函數(shù)，根據(jù)協(xié)變導(dǎo)數(shù)的定義式(13)，容易證明

圖6 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的加速度分析

根據(jù)式 (30)，可以得到協(xié)變導(dǎo)數(shù)在不同坐標(biāo)系下變化規(guī)律為

由式(15)知，歐式空間的度規(guī)張量矩陣為單位矩陣，則所有，并且由式(29)得到

其逆矩陣為

根據(jù)式(32)求出中不為零的克氏符號(hào)為

設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡為c(t)=(q1(t)，q2(t)，···，qn(t))，切矢量為

切矢量沿曲線方向的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為處于靜止坐標(biāo)系時(shí)，由牛頓定律寫出單擺的運(yùn)動(dòng)方程為

-ω2x和-ω2y分別為擺球在坐標(biāo)方向的受力，則方程(35)可以寫為

代入式(32)求出不為零的，寫成分量形式為

式中，項(xiàng)為離心力，由于地球自轉(zhuǎn)的角速度遠(yuǎn)小于單擺的角頻率，因此舍去該項(xiàng)，式(38)變?yōu)?/p>

式(39)和牛頓力學(xué)方法給出的式(4)完全一樣，因此幾何方法和牛頓力學(xué)方法是等價(jià)的。

4.2 結(jié)合球面上的矢量平移推導(dǎo)牛頓力學(xué)方程

為了更直觀理解傅科擺的運(yùn)動(dòng)，分析如圖6所示，傅科擺擺球在地球上的矢徑為r，擺球的運(yùn)動(dòng)速度為

根據(jù)式(22)給出矢量沿固定緯度的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為

這時(shí)取v為速度矢量

式(40)可以改寫為

式(42)只考慮了擺球的加速度沿著e1和e2方向，而沒有考慮e1和e2隨時(shí)間的變化，下面考慮e1隨時(shí)間的變化。從圖6可以看到，由于地球轉(zhuǎn)動(dòng)，e1的變化沿y方向，大小為

同樣e2的變化沿x的負(fù)方向，大小為

考慮到φ=Ωt，式 (42)的各分量要乘以Ω才能得到對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而得到在切平面的加速度。式(42)和式(44)結(jié)合，給出沿x方向的加速度為

同樣沿y方向的加速度為

不考慮離心力，僅考慮擺球在坐標(biāo)方向的受力為-ω2x和-ω2y，式 (45)和式 (46)變?yōu)?/p>

式 (47)仍和牛頓力學(xué)方法給出的式 (4)完全一樣，并且矢量平移描述的方法更加直觀。

5 結(jié)論

在傅科擺的研究中，由于幾何法不考慮動(dòng)坐標(biāo)系為非慣性坐標(biāo)系下的科里奧利力，因此避免了在特定條件下確定科里奧利力，與牛頓力學(xué)方法相比幾何法顯得更加簡(jiǎn)潔和抽象。幾何方法說明，傅科擺擺平面轉(zhuǎn)動(dòng)的原因是在球面上平移速度矢量的結(jié)果。本文采用幾何法和牛頓力學(xué)法推導(dǎo)出的運(yùn)動(dòng)方程以及方程的解完全相同，證明了兩種方法是等價(jià)的。