扁擔挑物的動力學分析

劉榮梅

(南京航空航天大學航空學院，南京210016)

扁擔，作為一種傳統而簡單的搬運貨物的工具，即使在今天，仍然在許多農村和交通不便的地方，特別是田間地頭，發揮著重要的作用。一根看似簡單的扁擔，包含了懸臂梁、等強度梁、固有頻率、強迫振動、振動耦合等若干力學概念。張義同等[1]通過對扁擔的力學行為的研究，揭示了扁擔優良的傳遞載荷的性能。尤明慶[2]研究了人行走時肩部垂直激勵和水平激勵引起的重物振動，當扁擔-重物系統的固有頻率大于人行走的頻率時，可以使移步時肩部載荷小于重物。邱信明[3]從扁擔負重的靜力學特點、挑擔行走過程的受迫振動以及扁擔的結構形狀和材料等方面分析了扁擔是否省力的問題。許宇寧等[4]建立了具有軀干的扁擔負重模型，分析了相關參數對負重行走腰部力矩的影響。人挑擔行走時，肩部承受的鉛垂載荷由靜載荷(即重物重力)和鉛垂附加動載荷組成，扁擔的主要作用就是產生周期性變化的鉛垂附加動載荷，當鉛垂附加動載荷的峰谷處于移步階段、峰頂處于雙腿支撐階段且鉛垂附加動載荷達到一定值時，有利于人的行走，反之則不利于人的行走。

本文首先建立了扁擔挑物的動力學模型，得到了扁擔挑物的動力學方程，分析了人挑擔行走時肩部的運動。通過數值計算，給出了重物類似于單擺的振動頻率、挑運者的步行頻率和扁擔-重物系統鉛垂方向的振動頻率三者之間的協調關系，即當人步行的頻率為扁擔-重物系統鉛垂方向固有頻率的 70%～80%時，肩部鉛垂附加動反力為重物重力的30%左右且與肩部鉛垂運動同相，當重物類似于單擺的振動頻率為人步行頻率的 25%～30%時，重物的擺角和肩部受到的水平附加動反力均較小，這些都有利于人挑擔行走。

1 扁擔挑物的動力學模型

扁擔挑物時，扁擔的中部擱置在人的肩部O點上，人在挑擔行走時肩部既有前后的運動x0，也有上下的運動y0，如圖1所示。如果不考慮扁擔繞肩部O點的轉動，可以只對其中的一半(如右半部分)進行研究，這時扁擔可以簡化為根部既有前后運動x0、也有上下運動y0的懸臂梁。由于扁擔彎曲變形，扁擔的端點相對肩部有上下的振動，同時重物還會繞扁擔的端點擺動。

圖1 扁擔－重物系統

考慮扁擔的等效剛度系數為k，等效黏性阻尼系數為c，則扁擔挑物的力學模型如圖2所示，其中A點相對于O點只有鉛垂方向的運動，沒有水平方向的運動。

圖2 扁擔挑物的力學模型

以整個系統的靜平衡位置為坐標原點，A點鉛垂方向的位移y和重物B繞A點的轉角θ為廣義坐標，根據理論力學[5]可以得到系統的動力學方程為

式中，m為重物的質量，l為重物質心C到A點的距離 (即懸繩長度)，JC為重物繞質心C軸的轉動慣量，c′為重物繞A點擺動的等效黏性阻尼系數。

人行走時肩部鉛垂方向的運動可寫為[2]

式中，δ為肩部上下運動的幅度，ω為人步行的圓頻率，人挑擔時步行的頻率f約為 1.5～2 Hz，由ω=2πf知人步行的圓頻率約為9～13 rad/s。人步行時雙腿輪流支撐和擺動，雙腿支撐時肩部處于較低位置，而移步時肩部處于較高位置。

根據文獻[2]，人行走時由于雙腳交替向前，肩部水平方向的運動可表示為

式中，v0為人前進的平均速度，η為肩部前后運動的振幅，ωP為人步行圓頻率的一半，即ωP=ω/2。

人挑擔時肩部承受的附加動反力的水平分量和鉛垂分量分別為

如果考慮到前后兩個重物的話，肩部實際承受的附加動反力是上述結果的2倍。

2 扁擔挑物的動力學數值計算

設扁擔的長度為 2L=1.5 m，制作扁擔木材的彈性模量E=10 GPa，扁擔中部的橫截面寬度b0=80 mm、厚度h0=30 mm。假設扁擔的寬度保持不變，厚度按等強度梁設計，根據材料力學[6]可以算得其端部在單位載荷作用下的撓度為(恰好等于等截面時的2倍)，因此其剛度系數為

再假設m=30 kg，JC=0.8 kg·m2，l=0.8 m，c=40 N·s/m，c′=10 N·m·rad/s，δ=0.01 m，η=0.01 m，分析肩部受到的附加動反力如下。

圖3 肩部受到的鉛垂附加動反力Fy和垂向運動y0

2.1 肩部鉛垂附加動反力

設人步行的頻率分別為1.8 Hz，2.1 Hz，2.5 Hz和 2.8 Hz，數值求解方程(1)，(2)和 (6)，得到穩定時肩部承受的鉛垂附加動反力Fy，如圖3中的實線所示，圖3中的虛線表示肩部鉛垂方向的運動y0。

肩部實際承受的鉛垂壓力為mg-Fy。由圖3(a)可見，肩部鉛垂附加動反力Fy約為重物重力的30%，并與肩部鉛垂運動y0同相，因此移步時肩部承受的鉛垂壓力最小，約為重物重力的70%，而雙腿支撐時肩部承受的鉛垂壓力最大，約為重物重力的130%，這是有利于人挑擔行走的[2]。圖 3(d)正好與此相反，肩部鉛垂附加動反力Fy和肩部鉛垂運動y0反相，移步時肩部承受的鉛垂壓力最大，約為重物重力的140%，因而不利于人挑擔行走。圖3(b)和圖3(c)中肩部鉛垂附加動反力Fy和肩部鉛垂運動y0的相位差在 π/2附近，同樣不利于人挑擔行走。此外，圖 3(b)和圖 3(c)中附加動反力達到了重物重力的70%以上，肩部承受的最大鉛垂壓力過大(約為重物重力的170%)，人體負重過大，容易造成損傷。

若只考慮扁擔-重物系統鉛垂方向振動，其固有圓頻率固有頻率f=0ω0/(2π)=2.3 Hz。進一步計算發現，當人步行的頻率為該固有頻率的 70%～80%時，肩部鉛垂附加動反力與肩部鉛垂運動同相且大小適中，對人挑擔行走比較有利，圖3(a)即屬于這種情況。反過來，如果人行走的頻率不變，在重物重量增加時，應適當提高扁擔的剛度k(根據式(7)，可以增加扁擔橫截面的寬度和高度，或者減小扁擔的長度)。文獻[1]認為挑夫步行的頻率大約為扁擔-重物系統固有頻率的2倍時，挑夫可以走得既快又省力。這個結論值得探討，因為這時肩部鉛垂附加動反力和肩部鉛垂運動反相，應該不利于挑夫行走。

2.2 肩部水平附加動反力

為了研究肩部承受的水平附加動反力，設定人步行的頻率為1.8 Hz，改變懸繩長度，使得重物質心C到A點的距離分別為l=0.4 m，0.8 m，1.2 m和1.6 m，數值求解方程(1)，(2)和(5)，得到穩定時重物擺動角位移θ和肩部承受的水平附加動反力Fx，如圖4和圖5所示。

由圖4和圖5可以看出，懸繩越長，重物擺動角位移θ越小，因而肩部承受的水平附加動反力Fx也就越小，因此懸繩應盡可能長，但懸繩長度超過1.2 m后，重物擺動角位移和肩部承受的水平附加動反力的減小不顯著。

圖4 重物擺動角位移θ

圖5 肩部受到的水平附加動反力Fx

3 結論

扁擔挑物的過程中存在三種頻率，即重物類似于單擺的振動頻率、挑運者的步行頻率和扁擔-重物系統鉛垂方向的振動頻率，考慮挑擔的實際情況，為了獲得較好的挑擔行走體驗，三種頻率之間需要相互協調。

(1)當人步行的頻率為扁擔-重物系統鉛垂方向振動的固有頻率的70%～80%時，肩部受到的鉛垂附加動反力與肩部的鉛垂運動同相且鉛垂附加動反力適中。

(2)當重物類似于單擺的振動頻率為人步行頻率的25%～30%時，重物的擺角和肩部受到的水平附加動反力均較小。