用基本不等式法求最值需要注意“二定”

安徽省滁州市第六中學(239000) 陳 勇

在復習基本不等式時,有一道填空題引起了筆者的思考.

1 原題重現

原題已知x ＞0,y ＞0,且2x+y= 1,則的最小值是____.

由于學生解答的正確率很高,筆者以為學生掌握得很好,便在評講試卷時,請了一個同學說了一下思路.他說過之后,我感到了問題的嚴重性.他提出了如下的解題思路:

因為x ＞0,y ＞0, 所以由基本不等式, 得當且僅當且2x+y= 1,即時,不等式取等號,此時因此的最小值是8.

答案正確,但過程有問題.我們知道正確的答案是這樣的:

因為x ＞0,y ＞0 且2x+y= 1, 所以當且僅當且2x+y= 1,即時,不等式取等號,故的最小值是8.

2 錯誤分析

需要指出的是:學生容易犯這種錯誤, 即使用a+b≥求最值時,ab不是定值,對照本題就是的乘積不是定值.運用基本不等式法求最值必須滿足“一正、二定、三相等”三個條件,否則可能會得到錯誤的答案.本題學生得到了正確答案只是一個巧合!

在實際教學中,學生對于“一正”、“三相等”都能很好的注意與掌握,就是這個“二定”,學生理解起來有點困難,不知道為什么一定要滿足“二定”條件,筆者認為是很多教師在上課時也沒有把問題講清楚,講透徹,可能僅僅要求學生記住這一條件,而沒有解釋其中的原因,學生接受起來很被動,不是理解的記憶,時間一久,自然也就忘記了“二定”.

3 對照試驗

怎樣才能讓同學們更容易理解“二定”這一條件呢?

例1(“積不定”時的解法對比)已知x ＞0,y ＞0, 且x+2y=1,則的最小值是____.

錯解因為x ＞0,y ＞0,所以由基本不等式,得當且僅當且x+2y= 1,即時,不等式取等號,此時因此的最小值是10.

正解因為x ＞0,y ＞0, 且x+ 2y= 1, 所以當且僅當且x+2y= 1,即時,不等式取等號,故的最小值是9.

例題2(“和不定”時的解法對比)已知0＜x ＜求x(1-3x)的最大值.

錯解x(1-3x)≤當且僅當x= 1-3x, 即x=時, 不等式等號成立, 所以

正解x(1-3x)=當且僅當3x=1-3x,即x=,不等式等號成立,所以x(1-3x)≤

4 錯誤本質

在用基本不等式法求最值問題時, 如果忽略“積定”或“和定”,都可以造成解題錯誤.那么到底哪里產生了錯誤?

以例2 為例探討如下:在0＜ x ＜條件下, 求x(1-3x)的最大值.從二次函數視角去看, 在區間上,f(x)=x(1-3x)和g(x)=(x-)2的圖像如圖1.

圖1

可以發現f(x)≤g(x)在區間(0,)上恒成立, 在“正解”中,3x與1-3x之和為定值時,x=, 二次函數f(x)=x(1-3x)取得最大值,f(x)max=這與二次函數求最大值結果一致;在“錯解”中x與1-3x之和不為定值,當取x=時,二次函數f(x)在該點沒有取得最大值.通過以上分析,同學們可以很好地理解為什么在用不等式法求最值時,一定需要“二定”這一條件.

5 找出隱藏“二定”

例3x ＞0,y ＞0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.

同學們常常這樣解:因為x ＞0,y ＞0, 所以2xy=x·2y≤當且僅當x= 2y等號成立,因為x+2y+2xy=8,所以8-(x+2y)=2xy≤整理得,(x+2y)2+4(x+2y)-32 ≥0,因為x+2y ＞0,所以x+2y≥4,此時所以x+2y的最小值是4.

這個答案沒問題,但是有的同學會問:“老師,這里有‘二定’嗎? ”老師平時要做好回答這類問題的準備.實際上我們換個思維,就能在其中找到“二定”.

解法1因為x ＞0,y ＞0,所以x+1＞1,2y+1＞1,因為x+2y+2xy=8,可得

則

即x+ 2y≥4, 當且僅當x+ 1 = 2y+ 1 等號成立, 而x+2y+2xy=8,即所以x+2y的最小值是4.可以容易發現這里有“積定”——(x+1)(2y+1)=9.

解法2因為x+2y+2xy=8,所以x=