從希爾伯特的第13問題談起1)

林永靜

(溫州職業技術學院建筑工程系，浙江溫州325035)

1900年，德國數學家希爾伯特在第二屆世界數學家大會上提出了著名的23個問題，這23個問題是數學家的夢想，許多數學家用一生試圖攻克其中的一個或幾個問題。這些問題，一些已經得到圓滿解決，一些得到部分解決，也有一些尚未解決。為了解決希爾伯特問題，數學家發展出很多新的數學分支，可以說希爾伯特問題引領著20世紀現代數學發展的主流，很少有科學問題在科學發展歷史上起著如此重要的作用。

本文介紹的是希爾伯特第13問(一般七次代數方程以二變量連續函數之組合求解的不可能性)：七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個參數a，b，c，x=x(a，b，c)，這個三元函數可否用二元函數表示出來？同理，圖1所示的三維物體上的應力是一個三元函數，可否用二元函數表示出來？

1 第13問的發展歷史

在希爾伯特第13問提出之后，俄羅斯數學家柯爾莫果洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov)作出了重要貢獻，部分證明了該問題：任意一個多元函數可以用有限個三元函數表達出來。1957年，他的弟子、數學家阿諾爾德(Arnold)在連續函數的情形下證明了該問題：在連續函數的情形下，任意一個多元函數可以用有限個二元函數表達出來。1964年，維土斯金(Vituskin)推廣到連續可微情形。該問題對解析函數情形則未解決。

嚴格的數學表述[1-2]是：定義在n(n≥2)維立方域[0，1]n上任意一個連續n元函數f(x1，x2，···，xn)，可以用連續的一元函數φpq和gq表示為

令人遺憾的是，所有的數學證明都是存在性的證明，而不是構造性的證明。以式(1)為例，雖然式(1)顯示了多元函數可以用一元函數的復合來表示，但由于函數的復合在數學上過于復雜，一元函數φpq和gq實際上是無法求得的。長期以來，沿著多元函數用一元函數來表示的思路，一直沒有具體的實現方法。

但是，如果將第13問在工程意義上放低要求，在工程概念上理解為：一個多元函數的工程需要的有效數據，用低維函數表達出來，或者是一個多元函數用低維函數最優地表達出來。這樣一來，多元函數的一元函數表示的空間就比較大了，有可能具體地構造出來。

2003年，我國科學家宋健在第13問的工程表示上取得了進展，將多元函數在低維可視空間里構造性地表達出來。其研究是在高維空間中尋求由一元函數組合成的最佳基，使給定的高維函數展成項數最少和收斂最快的級數。

2 工程問題

(1)力學計算中的高維數煩惱。在力學問題中，當采用有限元求解三維彈性體問題，網格加密時計算量會迅速增加，計算量非常大甚至無法求解，這個問題稱為高維數煩惱。作者發現，在塑性極限分析和巖土工程的計算中，也有高維數煩惱。

(2)有限元線法。和其他有限元方法不同，有限元線法的函數構造形式采用了一元函數，二維問題里一個方向上是解析的線，另一個方向上是離散的。有限元線法的計算效率比較高，性質也比較好。有限元線法可認為來源于第13問。

(3)控制論問題。在控制論中，低維可視空間中表達高維數據或函數已成為科學研究、系統模擬和工程設計的基礎工作。尋求用數量最少的單變量函數組合表達高維函數，在控制論中可能有廣泛應用。

(4)流形學習，全稱流形學習方法。流形學習是信息科學領域的研究熱點。在理論和應用上，流形學習方法都具有重要的研究意義。假設數據是均勻采樣于一個高維歐氏空間中的低維流形，流形學習就是從高維采樣數據中恢復低維流形結構，即找到高維空間中的低維流形，并求出相應的嵌入映射，以實現維數約簡或者數據可視化。

(5)PGD(proper generalized decomposition)。PGD是一種有效的多維逼近方法。PGD方法采用變量的分離表示形式逼近響應面，該形式可以有效減少展開項數目。由于其展開項數目隨階數線性增長，該方法為多不確定系統的分析提供了可能。

這些工程問題比較多，這里不一一介紹。以下重點介紹作者的研究工作：高維數煩惱的延拓Kantorovich法解決方案。

3 高維數煩惱

高維數問題隨著精度要求的提高，計算量會迅速地增加，因此計算量往往非常龐大。例如對于三維問題，網格加密會遇到三維煩惱[3-4]。

盈虧平衡分析法又稱保本分析法或本量利分析法，是利用數學化的會計分析模型和圖文來揭示、分析固定成本、變動成本、服務量、利潤等變量之間的關系，為財務預測或決策提供財務信息咨詢的一種分析方法［2］。其計算公式為：

當用有限元求解時，最后歸結為求解一個含P個未知數的線性方程組AU=F。當網格很細密時，這是一個大型方程組。我們知道，大型有限元問題中主要的計算量與存儲耗費在解這個方程組上。對n=1，2維情形，求解這個方程組并不是很困難。但對三維問題就不容易了。下面以三維泊松方程為例說明。

設Ω是立方體，作均勻剖分，每個維度用N個節點，總節點為N3，每個節點上一個未知數，共有未知數P=N3。若用直接法求解線性方程組，P階方陣A的半帶寬約為B≈N2，應存儲的系數總數K=BP=N5。分解A為三角陣時所需的乘除運算次數M≈B2P/2=0.5N7。在每秒能完成百萬次乘除運算的計算機上將耗時t=M/106。表1列出了N=10，20，40，80方案的規模。

表1 三維Poisson方程的有限元計算規模

4 第13問的啟發

由于第13問的證明是存在性的，不是構造性的，長期以來，沿著多元函數用一元函數來表示的思路，一直沒有具體的實現方法。但是已有的數學成果提供了重要的啟發：沿著這條思路，可能有利于實現更高效的近似表示。更淺白地說，與全離散法等其他方法相比，用一元函數來表示多元函數可能是更節省的“捷徑”，可以用盡可能少的數據量包含盡可能多的信息量。從物理上看，相當于能量或信息高度集中在幾條主要的譜線上，而不是均勻平坦地分布。這意味著在足夠高的工程精度內，一個多元函數近似等價為有限個一元函數的表達式，使問題因維數降低而大大簡化。因此，這種高效的近似表示具有重要而廣泛的應用價值。簡單地以數據存儲為例，n元函數在計算機上存儲，數據量為O(Nn)，其中N為每個維度的節點數。如果n元函數用一元函數來近似表示，則存儲數據量為O(N)，是原來的1/Nn-1倍，這樣的數據壓縮效率是非常高的，尤其當n較大的時候。

由于多元函數用一元函數來表示的研究方向存在著相當大的困難，特別是數學分析上非常困難，因此，目前的兩項研究前沿采用一元函數的乘積和來近似表示多元函數。

第一項研究是延拓Kantorovich法，主要通過數值試驗加上定性分析進行研究。三維延拓Kantorovich法采用張量積形式的函數逼近形式，代入三維泊松方程的能量泛函，經整理并取變分后，可以導出一套耦合的積分微分方程組。其中一個方向的一元函數較多為優勢方向，算法的迭代過程將不再按各個維度輪換求解的迭代，而是圍繞著這個優勢方向旋轉迭代。

另一項研究是控制論專家宋健的論文《高維函數和流形在低維可視空間中的最優表達》[5]，主要從數學分析方面進行研究。這是他經過數年的研究積累得到的突破性成果，得到了數學家丘成桐等的高度評價。他在平方可積函數空間中尋求用數量最少的一元函數組合表達多元函數，得到梯度算子非線性積分方程組。證明了該方程組的本征元列構成規范正交系，任何平方可積的多元函數均可按此正交系展成長度最短和收斂最快的級數。

5 張量積形式的三維延拓Kantorovich法的解決方案

當采用簡單的試函數逼近形式，即u(x，y，z)=時，迭代過程不收斂。經過對各種試函數逼近形式的嘗試，文獻[6]發現如下特定的張量積的函數逼近形式可以解決該數值困難

其中，{X(x)}={X1，X2，···，Xn}T，{Y(x)}={Y1，Y2，···，Yn}T，n為疊加項的項數，[Z(z)]是n×n的矩陣，即[Z(z)]i，j=Zij，i=1，2，···，n，j=1，2，···，n。

下面以立方體域上的三維Poisson方程的Dirichlet問題為例，具體闡述三維延拓Kantorovich法的算法實施過程。三維泊松方程對應的能量泛函為其中Ω為立方體域[-a，a]×[-b，b]×[-c，c]。

將式(2)的試函數逼近形式代入式(3)，經整理并取變分后，可以導出如下一套耦合的積分微分方程組

邊界條件為

算例三維泊松方程的Dirichlet問題

立方體域上的該方程見圖2。設定邊界條件為

給定數據為a=b=c=1，f=2。

圖2 三維泊松方程

取初始試函數為

表2 給出了取不同項數時的計算結果，如中心點位移u0，面中點導數?u/(?z)，?u/(?x)。參考解為級數解N=100的結果。

表2 取不同項數的中心點位移和面中點導數(循環輪數=5)

6 結論

希爾伯特第13問啟發了用一元函數表示多元函數的思路。延拓Kantorovich法沿著這條思路，對解決高維數煩惱進行了探索，并取得了一定的進展。數值結果表明，延拓Kantorovich法是用一元函數逼近多元函數的一種有效途徑，不失為高維數煩惱的一種有發展潛力的解決方案。

希爾伯特問題的意義不僅在于重要數學問題的解決，而且在于求解問題的過程中會生長出新的數學、好的數學，所以人們評價希爾伯特問題是“會下金蛋的鵝”。作者認為，之所以希爾伯特問題富有生機活力、善于生長出新的數學，是因為希爾伯特問題找到了數學的重要源頭。德國《自然》雜志發表過這樣的觀點：現在世界上很難有一位數學家的工作不是以某種途徑導源于希爾伯特的工作。

希爾伯特第13問的多元函數的低維表示是眾多領域的普遍性問題，這些領域的研究者和愛好者，在閑暇時間里，何不漫步到問題的源頭，從希爾伯特第13問這里得到一些啟發呢？