MATLAB編程在層合板強度分析中的應(yīng)用1)

董紀(jì)偉 陳培見 程紅梅 羅寧 張桂民

(中國礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木工程學(xué)院，江蘇徐州221116)

強度問題是復(fù)合材料板力學(xué)性能研究和結(jié)構(gòu)設(shè)計的核心問題之一。從分析尺度來看，板的強度分析包括宏觀力學(xué)、細觀力學(xué)和微納米力學(xué)分析[1]。其中，層合板強度的宏觀力學(xué)分析是復(fù)合材料力學(xué)課程的教學(xué)重點和難點。由于該問題理論性強、邏輯關(guān)系復(fù)雜、數(shù)學(xué)運算繁瑣、手工計算量大，學(xué)生在學(xué)習(xí)時往往會產(chǎn)生畏難情緒，接受知識困難。另一方面，MATLAB以其強大的數(shù)學(xué)計算、符號運算、圖形處理等功能和簡單易學(xué)的編程語言，作為輔助手段可促進學(xué)生對知識的理解和應(yīng)用，提升教學(xué)效果。目前，在力學(xué)基礎(chǔ)課和專業(yè)課中已有許多應(yīng)用MATLAB的成功案例[2-5]。本文將探討一種基于MATLAB編程的層合板強度分析方法，通過該方法不僅可使問題的求解大為簡化，還便于討論主要參數(shù)對層合板強度的影響，為層合板的強度設(shè)計提供依據(jù)。

1 問題的提出[6]

如圖1所示的三層正交鋪設(shè)對稱層合板，其正交鋪設(shè)比m=0.2，總厚度為t，承受軸向拉力Nx作用。各單層材料為玻璃/環(huán)氧，其性能為：E1=54 GPa，E2=18 GPa，ν21=0.25，G12=8.8 GPa，Xt=Xc=1050 MPa，Yt=28 MPa，Yc=140 MPa，S=42 MPa。試用MATLAB求層合板的極限載荷Nx/t，并討論正交鋪設(shè)比對極限載荷的影響。

圖1 三層正交鋪設(shè)對稱層合板示意圖

正交鋪設(shè)層合板單層剛度形式簡單，強度分析的運算量相對較小，因此常作為《復(fù)合材料力學(xué)》教材中的典型例題[6]。然而，由于層合板破壞過程復(fù)雜，破壞形式多樣，手工計算過程仍較為繁雜，且計算效率低，每次只能預(yù)測一種參數(shù)下的層合板強度。事實上，對于正交鋪設(shè)層合板，正交鋪設(shè)比m是影響其力學(xué)性能的主要參數(shù)，它表示0°層總厚度與90°層總厚度的比值。那么，既要研究正交鋪設(shè)比對層合板強度及破壞規(guī)律的影響，從而對該類層合板進行合理的厚度設(shè)計，又要保證計算效率，手工計算顯然是不可行的，而應(yīng)采用參數(shù)化編程的方法對該問題進行分析。

2 層合板的強度分析及MATLAB編程

要將復(fù)雜的層合板強度分析通過計算機編程實現(xiàn)，首先應(yīng)對強度分析過程中涉及到的基本理論和強度分析流程有一個清晰的認識，再將其轉(zhuǎn)化為計算機語言進行計算分析。

2.1 層合板的單層應(yīng)力計算

層合板的破壞是其單層板逐層破壞的過程，而大多數(shù)關(guān)于單層板的強度理論都是基于應(yīng)力的理論，因此，單層板的應(yīng)力計算是層合板強度分析的基礎(chǔ)。基于經(jīng)典層合板理論，層合板單層應(yīng)力分析流程如圖2所示。

首先，由各單層的正軸模量計算出層合板的正軸柔度矩陣S，然后對其求逆得到正軸剛度矩陣Q，如下所示

對于例題中的正交鋪設(shè)層合板，0°層的偏軸剛度和正軸剛度相同，90°層的偏軸剛度只需將正軸剛度系數(shù)Q11與Q22互換，即

其次，計算層合板的剛度和柔度。對于正交鋪設(shè)對稱層合板，不存在拉彎或拉剪的耦合，因此單向受拉時只需計算其拉伸剛度A，對其求逆得到層合板柔度A′，計算公式為

其中t1=mt/(m+1)，t2=t/(m+1)。

圖2 層合板單層應(yīng)力計算流程圖

再次，計算層合板的中面應(yīng)變。在軸向拉力Nx下，該層合板的內(nèi)力-應(yīng)變關(guān)系為

最后，計算各單層的應(yīng)力。由單層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系得0°和90°層的應(yīng)力分別為

單層板的剛度及層合板應(yīng)力的計算分別用兩個函數(shù)文件表示，程序如下：

2.2 單層板的強度準(zhǔn)則

進行強度分析時，需選擇合適的強度理論判斷各單層是否發(fā)生強度失效。考慮到單層板拉、壓強度的不同，本文采用目前最流行的Tsai-Wu張量強度理論作為單層板的強度失效判據(jù)，其表達式為

式中

其中Xt和Xc分別表示纖維方向(縱向)的抗拉、抗壓強度；Yt和Yc分別表示垂直纖維方向(橫向)的抗拉、抗壓強度；S表示面內(nèi)剪切強度。

計算Tsai-Wu準(zhǔn)則方程左邊項的MATLAB程序如下：

2.3 強度分析流程

單層的破壞并不意味著整個層合板的破壞，但會使該單層的剛度降低，通常情況下采用剛度折減法對其進行處理。由于單層板的破壞具有各向異性，在對某破壞層進行剛度折減時，并不是將其所有的剛度系數(shù)都降為零，而應(yīng)根據(jù)破壞類型對其剛度系數(shù)進行相應(yīng)的折減，具體折減方案見表1。

表1 單層板的剛度系數(shù)折減方案

表1 中，各單層的破壞類型可由最大應(yīng)力理論確定。根據(jù)式(7)和式(8)計算出發(fā)生破壞單層主方向的應(yīng)力，若某個應(yīng)力分量接近相應(yīng)的基本強度值時，單層板就沿該方向發(fā)生破壞。例如：若σ1＞0，σ2＞0，σ1＜＜Xt，σ2≈Yt，|τ12|＜＜S，則該層就沿2方向發(fā)生破壞。

對破壞的單層進行剛度折減后，應(yīng)重新計算層合板的剛度和柔度，再檢驗是否有新的單層發(fā)生連鎖破壞，如果有，則重復(fù)剛度折減的步驟，直到?jīng)]有連鎖破壞發(fā)生為止。接下來，由于層合板剛度的降低，使其載荷-變形關(guān)系變?yōu)榉蔷€性，應(yīng)采用載荷增量法進行下一步的計算，即：假設(shè)載荷增量ΔNx，由式(6)～式(8)計算中面應(yīng)變增量Δε0和各層應(yīng)力增量Δσ，將此時各層的總應(yīng)力σ再代入強度準(zhǔn)則中確定下一次破壞時的載荷。以此類推，直到所有層沿加載方向均不能承載，則層合板最終破壞，此時的載荷即為層合板的極限載荷。

基于上述理論，例題中層合板強度分析的流程如圖3所示。

圖3 層合板強度分析流程圖

求解過程中，需根據(jù)Tsai-Wu準(zhǔn)則確定單層破壞時的載荷Nx/t或載荷增量ΔNx/t，這就需要求解一元二次方程，手算比較困難，而利用MATLAB符號運算的功能比較容易實現(xiàn)，以求解首次破壞時的Nx/t為例，其程序如下

按照圖3所示的分析流程，編制MATLAB主程序求解例題，函數(shù)文件為“function[ex，Nxdt]=OrSy TFA(E1，E2，miu21，G12，Xt，Xc，Yt，Yc，S，m)”，該函數(shù)返回的參數(shù)為層合板的極限載荷和極限應(yīng)變，而計算過程中的鋪層失效信息、每次破壞時的載荷和應(yīng)變通過fprint語句輸出到結(jié)果文件“fail.dat”中。

3 結(jié)果及討論

編制完M文件后，在MATLAB的命令行窗口對該函數(shù)進行調(diào)用，語句為[ex，Nxdt]=OrSy TFA(54000，18000，0.25，8800，1050，1050，28，140，42，0.2)，執(zhí)行完該語句可得到本例的計算結(jié)果為：拉伸極限載荷(Nx/t)u=198.33 MPa，極限應(yīng)變ε0x=0.019 06，與文獻[6]的結(jié)果基本吻合，存在微小差別的原因在于文獻[6]采用的是Hill-Tsai強度準(zhǔn)則，而本文考慮了單層板拉、壓強度的不同，采用了Tsai-Wu強度準(zhǔn)則。

圖4 為拉伸極限載荷隨正交鋪設(shè)比的變化規(guī)律。從圖中可以看出，極限載荷Nx/t隨m的增大而增大，這是因為x方向為0°層的縱向，但對90°層卻是橫向，則0°層x方向的承載能力遠大于90°層，m增大即為0°層的比例增加，因此Nx/t也隨之增加。

圖4 拉伸極限載荷隨正交鋪設(shè)比的變化規(guī)律

但不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)m從0.1增加到0.15時，Nx/t增幅突然提高，隨后逐漸減小，這是為什么呢？可以通過在“fail.dat”文件中分析層合板的破壞過程尋找答案。圖5顯示了m分別為0.05，0.1和0.15時層合板的破壞過程。從中可以看出：當(dāng)m≤0.1時，90°層的破壞隨之引起0°層y方向的連鎖破壞，但0°層在x方向還可以繼續(xù)承載，需要用增量法進行第二次計算，層合板經(jīng)歷兩次加載過程即發(fā)生破壞；但當(dāng)m＞0.1時，90°層的破壞不會引起0°層的連鎖破壞，層合板的破壞經(jīng)歷三次加載過程才最終破壞。由此可見，當(dāng)單層破壞時，檢驗有無其他層發(fā)生連鎖破壞這一步是十分必要的。

圖5 層合板破壞過程的記錄文件

4 結(jié)論

本文以復(fù)合材料力學(xué)課程中的難點--層合板的強度分析為例，提出一種將MATLAB編程引入復(fù)合材料力學(xué)課程中的方法。相比傳統(tǒng)教學(xué)中繁瑣的公式計算和推導(dǎo)相比，該方法的優(yōu)點在于：(1)化繁為簡，提高計算效率。層合板的強度分析往往需要多步計算才能最終得到極限載荷，計算工作量龐大。但事實上，每步計算都包含許多重復(fù)的部分，如：單層板的應(yīng)力計算、單層破壞載荷的計算等。利用MATLAB編程，既可將這些需重復(fù)計算的部分編制為子函數(shù)進行調(diào)用，使程序更簡潔，還可解決許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算問題，使得分析過程大為簡化。(2)便于對該問題進行參數(shù)化討論。采用參數(shù)化編程，不只局限于對一種參數(shù)下的層合板進行強度分析，還可研究層合板的強度及破壞規(guī)律隨某些參數(shù)的變化規(guī)律，為層合板的設(shè)計提供可靠的理論依據(jù)。