爬墻蜘蛛人的力學原理分析

鄭子君 陶裕梅

(重慶理工大學機械工程學院，重慶400054)

生活中常見的一些魔術道具、玩具常常蘊含著力學原理。蜘蛛人(又名爬墻超人)是一種價格低廉、制作簡單、又深受廣大兒童喜愛的玩具。如圖1所示，該玩具由一塊彈性好、表面有黏力的特殊軟膠材料，穿過兩塊塑料外殼制成。手腳部分膠體暴露在外并呈球形，使之能夠黏附在物體上。

在玩耍時，將該玩具拋向光潔的豎直玻璃面：剛開始蜘蛛人的四肢的軟膠將會黏住玻璃面，使之不會掉下來；片刻后，蜘蛛人靠上方的兩肢脫離玻璃面，整個玩具以下方兩肢為軸旋轉；脫離玻璃面的兩肢再次接觸到玻璃面后，又經過片刻，原來貼合玻璃面的兩肢松開，開始以新的接觸點為軸旋轉；最終，玩具以類似翻跟頭的方式不斷從上往下運動，如圖2所示。相關演示視頻可于優酷網搜索“爬墻蜘蛛人玩具演示”。而如果將蜘蛛人拋向粗糙墻面，則玩具將緊緊貼住墻面，不會出現翻跟頭的現象。

圖1 蜘蛛人玩具實物照片

圖2 蜘蛛人玩具的工作狀態示意圖

蜘蛛人玩具能完成翻跟斗過程，與肢稍膠球的兩個重要的力學性質有關。一是膠球在壓力作用下可發生較大的變形，撤去外力后，變形緩慢恢復，即表現為黏彈性[1]；二是膠球可以黏在固體面上，附著力既能阻礙其與固體分離又能阻礙變形恢復，大小與接觸面積正相關(如圖3(a)和圖3(b)，膠球Q處的附著力可阻礙其回彈)。膠球及其界面的力學性能比較復雜[2]，這里根據前述力學性質，利用常見力學元件來對其進行定性描述：黏彈性膠球可抽象為由彈簧K和油壺C組成的開爾文系統；而界面的附著力與擠壓變形程度正相關，不妨抽象為負剛度彈簧k[3]。膠球及其界面的力學元件模型如圖3(c)所示。

膠球與固體面間的摩擦系數較大，界面破壞形式主要是法向脫落。由圖3(c)的簡化模型可以看出，固體面上附著的膠球受到外界促使界面分離的力Fex時，有三種可能的結果：一是立即分離，當負剛度彈簧K提供的附著力不足以抵抗外力時(Fk＜Fex)，界面破壞，膠球脫落；二是保持穩定，當膠球在外載下變形后附著力能夠同時抵抗分離力和彈簧K的回復力時(Fk≥Fex+FK)，膠球既不會持續恢復變形，也不會從固體上脫落，從而能長久地附著在固體上；三是延時脫落，若附著力雖暫時能抵抗外力，但始終不能抵抗外力與彈性回復力的合力(Fex+FK＞Fk≥Fex)，分析圖3(c)中Q處局部可知，膠球將在油壺C的阻礙下緩慢恢復變形，從而使得界面面積和附著力逐漸減小，最終與固體面分離。

圖3 軟膠球的力學模型

延時脫落現象可以解釋蜘蛛人在玻璃上翻跟斗的原理。為簡單起見，將蜘蛛人玩具視為兩端各有一個膠球的關于中點對稱的剛性桿。將模型在玻璃上翻跟斗的一個周期分為吸附、旋轉和碰撞三個階段：

(1)吸附階段

此階段玩具上端膠球A與下端膠球B均吸附在玻璃面，初始均處于擠壓狀態，在黏性力的阻礙下發生緩慢的恢復變形。由于變形緩慢，玩具整體可視為處于準靜態狀態。對玩具作受力分析，如圖4(a)所示。

由模型在x方向上的受力平衡以及力矩平衡條件，容易解得FAx=-FBx=-mgh/L(各變量的意義如圖4(a)所示)，即A球受拉力，B球受壓力。

在拉力作用下，A球的初始擠壓變形能夠較快恢復，與玻璃間接觸面積也隨之不斷減小，直至附著力不能提供模型平衡時A球所需的拉力，A球從壁面脫落。反之，B球受壓力作用，變形恢復較慢。因此在吸附階段結束時，總是上方的A球先脫落，玩具開始繞下方的B球旋轉。

圖4 模型受力分析圖

(2)旋轉階段

由于此階段相比吸附階段歷時較短，不妨認為該階段B球在阻尼力的作用下來不及發生明顯的恢復變形，因此與玻璃面間仍有足夠附著力。那么整個模型可以看作是由最高點處自由釋放，繞定軸B轉動的復擺。運用動靜法，模型的受力分析如圖4(b)所示。當剛桿與豎直方向的夾角為θ時，玩具的動能由重力勢能轉化而來

其中J是模型相對于B球的轉動慣量。質心作圓周運動的法向和切向慣性力分別為

根據達朗貝爾原理，易知B處受到x向的約束反力為

式(4)在0～π之間的最大值約為0.76m2g·L2/J。因此在旋轉過程中，B球與玻璃的法向附著力應當大于該值，否則B球可能脫落。

(3)碰撞階段

經過半個圓周的定軸轉動，玩具的A端再次接觸玻璃壁面，與壁面發生黏彈性碰撞。模型的初動能由式(1)給出，除部分被黏性力損耗外，其余轉化為A球的變形能，使得A球產生擠壓變形，并與玻璃面形成新的界面。碰撞產生的擠壓變形應當足夠大，使對應的附著力能在下一周期的定軸轉動中提供所需的支座反力。

碰撞完成后，A和B球的角色互換，系統進入下一周期。

通過以上分析可知，該玩具在設計時應當使得自最高點釋放的復擺撞擊能使膠球產生較大的變形；整體附著時質心到墻面應有一定距離，使上下膠球的受力差異明顯。在玩耍時需要選擇合適的玻璃表面：既不可過于粗糙，否則吸附階段上方膠球受到附著力過大，將處于穩定狀態而不會脫落；又不可過于光滑，否則膠球撞擊玻璃形成的接觸面，不能產生足夠大的附著力，旋轉階段作為定軸的膠球將會受拉力脫落。實踐表明，在水泥墻(太粗糙)和濕潤玻璃(太光滑)上，玩具均不能實現連續翻跟斗的功能。