由夾芯梁彎曲談剪切效應對許用彎矩的影響

吳曉

(湖南文理學院機械工程學院，湖南常德415000)

夾芯梁由于具有質量輕、高比強度、高比剛度等優點，已在車輛工程、航空航天等實際工程中得到廣泛應用。李川蘇等[1]采用試驗研究了結構彎曲性能。李澤華等[2]研究了泡沫鋁夾層梁的三點彎曲變形行為。楊福俊等[3]研究了泡沫鋁夾芯板靜態三點彎曲變形行為及力學性能。方海等[4]研究了泡桐木夾層結構材料的力學性能。以上研究工作均說明了夾芯梁在實際工程中應用的重要性。孔祥清等[5]將夾芯梁彎曲實驗引入到材料力學的教學實踐中。文獻[6-7]介紹了夾芯梁的計算方法，并把計算夾芯梁彎曲時的許用彎矩作為習題，但介紹材料力學方法計算許用彎矩時沒有考慮剪切效應的影響。

1 問題的提出

材料力學教材[6]中有一道計算夾芯梁彎曲時許用彎矩的習題，矩形截面的鋼、木夾芯梁，其截面形狀可見圖1，上、下層均為鋼板，中間層為木材。

圖1 夾芯梁截面

梁的計算參數為：l=3 m，b=200 mm，h=300 mm，t=12 mm，鋼板的彈性模量和剪切彈性模量分別為E1=210 GPa，G1=79.38 GPa，木材的彈性模量和剪切彈性模量分別為E2=10 GPa，G2=0.5 GPa，鋼、木許用應力分別為[σ1]=170 MPa，[σ2]=10 MPa。試求此梁的許用彎矩。

文獻[6-7]沒有介紹關于矩形截面的鋼、木夾芯梁上下鋼板與木芯層的連接方式，但是根據題意可以認為鋼片與木材是緊密結合的。因此，本文假設矩形截面的鋼板與木夾芯層間用環氧樹脂粘合劑緊密粘結且梁兩端用鋼箍箍緊，來保證在外載荷作用下夾芯梁上下面板與夾芯層共同彎曲變形。

由文獻[6-7]可知，沒有考慮剪切效應時夾芯梁的彎曲正應力公式為

式中

由式(1)可知應力校核式為

將夾芯梁參數代入式(2)中可得許用彎矩為[M]=145.13 kN·m。

梁的許用彎矩看似被求解，其實還存在問題，那就是不知道作用在夾芯梁上的是集中載荷還是分布載荷。

如果是集中載荷作用在梁上，剪切變形對夾芯梁的許用彎矩校核計算沒有影響。假如是分布載荷作用在梁上，就要考慮剪切效應對許用彎矩校核計算的影響。

由材料力學可知，如果梁在各橫截面上的剪力都相等，則各截面的翹曲也相同，相鄰橫截面間縱向纖維的長度不會因截面翹曲而改變。因此，在這種情況下橫截面的翹曲并不影響纖維由彎矩所引起的縱向伸長或縮短，也就不影響根據平面假設所導出的正應力分布規律。但在分布載荷作用下，梁在各橫截面上的剪力不同，各橫截面的翹曲程度也不同，相鄰橫截面間縱向纖維的長度必然會因此而發生變化，從而影響彎曲正應力的分布。

2 剪切效應對許用彎矩的影響

本文利用材料力學方法推導夾芯梁截面的剪應力公式。

因為夾芯梁的上、下面板較薄，因此夾芯梁的彎曲可以僅考慮夾芯層的剪切剛度。

圖2 所示為夾芯梁微段，左邊的軸向拉力N1的表達式為同理，圖2所示梁微段右邊的軸向拉力N2的表達式為

所以，圖2所示靜力平衡方程為

將式(3)和式(4)代入式(5)可得夾芯層橫截面上的剪應力為

式中，Q=dM/dx為剪力。

圖2 夾芯梁微段

由文獻[8]可知，矩形截面梁在均布載荷或集中載荷作用下，其梁截面上的剪應力公式與材料力學推導出的剪應力公式是一致的，也就是說材料力學推導出的剪應力公式是二維彈性理論梁截面上的剪應力精確解，所以利用彈性體的剪應變與位移的幾何方程，可以推導出考慮剪切變形時夾層梁的彎曲正應力公式。

由彈性力學可知軸向位移、橫向位移與剪應力、剪應變的關系為

式中，ui為軸向位移，w為橫向位移，γi為剪應變，i=1時代表上、下表板，i=2時代表夾芯層，G2為夾芯層的剪切彈性模量。

將式(7)對z積分一次可得

式中，Ci為待定常數。

夾芯梁中性軸處及表板與夾芯層連接處的位移條件為

將式(6)及τ1=0代入式(8)中積分且利用式(9)可得表板及夾芯層軸向位移分別為

由式(10)可知夾芯梁表板、夾芯層正應力分別為

式中，q(x)=dQ/dx。

由于夾芯梁橫截面彎矩方程為

將式(11)代入式(12)中可得

式中，C為剪切剛度

將式(13)代入式(11)中可得夾芯梁表板及夾芯層的彎曲正應力公式分別為

由式(14)和式(15)可以看出夾芯梁在分布載荷作用下，分布載荷對梁的彎曲正應力有一定影響。當夾芯梁在集中力作用下，式(14)和式(15)即退化為式(1)。

為了檢驗本文式(14)和式(15)的計算精度，以簡支梁為例，可令q(x)=q，E=E1=0，t=0，所以式(15)可化為

式中，I=bh3/12，A=bh，G為剪切彈性模量。

利用E=2G(1+μ)，可把式(16)化為

式中，μ為泊松比。

在式(17)中令μ=0可得

即文獻[8]給出的均布載荷作用下簡支梁截面正應力的彈性理論精確解。

參閱文獻[9]可令μ=0.25時，由式(17)和式(18)可得圖3所示簡支梁截面最大彎曲正應力分別為

式中，W=bh2/6，Mmax=ql2/8。

圖3 均布載荷作用下簡支梁

式(19)和式(20)計算的結果列在表1中，以便比較計算精度。

表1 最大彎曲正應力系數β

表1 中，σmax=β×Mmax/W，由表1可以看出本文方法計算精度非常高。

下面以圖3所示均布載荷作用下簡支夾芯梁為例，采用式(14)和式(15)分析剪切效應對許用彎矩的影響。

將有關計算參數代入式(14)可得夾芯梁的最大正應力為

由式(21)可以求得

將有關計算參數代入式(15)可得夾芯梁的夾芯層最大正應力為

由式(23)可以求得

比較式(22)和式(24)可知作用在圖3所示夾芯梁的許用均布載荷應該為q1=134.175 2 kN/m。所以，考慮剪切效應時圖3所示夾芯梁上的許用彎矩為

所以，文獻[6]方法計算的許用彎矩與本文方法計算的許用彎矩的誤差為

以上計算說明剪切效應對均布載荷作用下夾芯梁的許用彎矩還是有一定影響的，雖然實際工程中一般要求計算誤差不超過5%，而本文方法的計算誤差也僅為4.01%。但是，對于設計精度要求高的結構來說4.01%也是較大的誤差。眾所周知，梁的跨高比越小剪切效應對梁的彎曲變形計算影響就越大，尤其是對夾芯梁的彎曲變形，以l/(h+2t)=9.26的簡支夾芯梁為例來計算夾芯梁的許用彎矩，如果夾芯梁的跨高比l/(h+2t)更小，文獻[6]方法計算的許用彎矩與本文方法計算的許用彎矩的誤差會更大。

在材料力學的實際教學中，如果讓學生掌握本文關于夾芯梁許用彎矩的計算方法是有一定困難的，但是作為材料力學教師是應該掌握的。在關于夾芯梁內容的教學過程中，教師應該告訴學生剪切效應會對夾芯梁的彎曲變形計算產生較大影響。

3 結語

本文關于矩形截面的鋼、木夾芯梁彎曲應力的計算方法，對齒板-玻璃纖維混合夾層梁、泡沫鋁夾芯梁、泡桐木夾層梁等其他夾芯梁彎曲應力計算均適用。克服了有關材料力學教材計算許用彎矩時，沒有考慮剪切效應的不足，也對實際工程中有關設計人員具有理論指導意義。