推導彈性力學極坐標中平衡微分方程和幾何方程的解析法

陳彥 陳豐 邵紅才

(揚州市職業大學土木工程學院，江蘇揚州225000)

平衡微分方程和幾何方程是彈性力學課程中非常重要的內容。教材[1]中平面問題極坐標中的平衡微分方程是先取徑向和環向的微元體，然后按照靜力學的平衡條件導出；幾何方程是先取徑向和環向的微線段，然后按照線應變和切應變的定義導出。推導方法雖然和直角坐標系一樣，但極坐標中環向的坐標線是曲線，導致推導過程的難度變大，容易出錯，最后方程的項增多，形式也不如直角坐標中的方程那樣對稱，這種方法可以歸結為幾何定義法。事實上，對于極坐標中的平衡微分方程和幾何方程，可以從直角坐標中的方程直接導出，不需要作圖。根據直角坐標和極坐標中偏微分算子的轉換式、應力和應變分量的坐標變換式以及基矢量變換矩陣，提出了推導極坐標中平衡微分方程和幾何方程的解析法，將直角坐標中的方程直接變換成極坐標中的形式。

1 解析法推導極坐標中的平衡微分方程

《彈性力學》[1]中平面直角坐標系中的平衡微分方程為

《高等數學》[2]中直角坐標系和極坐標系中偏微分算子之間的轉換關系為

《彈性力學》[1]中極坐標系中的應力分量σρ，σφ，τρφ和直角坐標系中的應力分量σx，σy，τxy之間滿足坐標變換式

體力矢量f在極坐標系中的徑向分量fρ，環向分量fφ和直角坐標系中的分量fx，fy如圖1所示，

圖1 體力分量坐標變換

滿足M為直角坐標系變換到極坐標系的基矢量變換矩陣[3]。

將應力分量坐標變換式(3)中的σx和τxy分別代入偏微分算子轉換式(2)得到

將式(5)和式(6)以及式(4)中的fx代入平衡微分方程(1)的第一式，并化簡得

同樣的方法變換平衡微分方程(1)的第二式，化簡得

對比方程(7)和方程(8)，設法消去sinφ和cosφ項。方程(7)×cosφ+方程(8)×sinφ得

方程(7)×(-sinφ)+方程(8)×cosφ得

方程(9)和方程(10)即為極坐標中的平衡微分方程。

2 解析法推導極坐標中的幾何方程

《彈性力學》[1]中平面直角坐標系中的幾何方程

《彈性力學》[1]中雖然沒有給出兩坐標系中應變分量的坐標變換式，但可以通過應力分量的坐標變換式和平面問題的物理方程導出，這里推導過程省略，

結論為

位移矢量u在極坐標系中的徑向分量uρ，環向分量uφ和直角坐標系中的分量ux，uy仍然滿足

變換幾何方程(11)中的第一式，用應變分量坐標變換式(12)中的εx代入左邊，將式(13)中的ux代入偏微分算子轉換式(2)的第一式，計算出?ux/?x然后代入右邊，得

同樣的方法計算出?uy/?y，?uy/?x和?ux/?y，這樣幾何方程(11)的第二式變換為

幾何方程(11)的第三式變換為

將方程(14)和方程(15)相加得

將方程(14)減去方程(15)得

對比方程(16)和方程(18)，設法消去sin 2φ和cos 2φ項。方程(16)×sin 2φ+方程(18)×cos 2φ得

將方程(16)×cos 2φ+方程(18)×(-sin 2φ)得

方程(20)即為極坐標中幾何方程第三式，由方程(17)和方程(19)得

方程(21)即為極坐標中幾何方程前兩式。

3 結語

在將直角坐標系中的偏微分方程等價變換到極坐標系中的方程時，出現了三角函數項，如果令φ=0，此時直角坐標中的x軸和y軸分別與極坐標中的ρ軸和φ軸方向重合，雖然能很快得出結論，但這只是一個特例。事實上，通過方程之間的消元法可以看到，不管φ的取值如何，對應的三角函數項只是一個參數，是可以消去的，這樣極坐標中的平衡微分方程和幾何方程確實不含三角函數項，使得推導過程更加嚴謹，也更具有一般性。此方法與傳統的幾何定義法相比有異曲同工之處，在教學中可以對比使用。