理論力學教具DIY系列(三)懸崖勒馬玩具的原理及分析

高云峰

(清華大學航天航空學院，北京100084)

我曾經為學生設計過一個“懸崖勒馬”的探究項目：小馬身上連一根繩子，加上配重后，可以讓小馬走到懸崖邊上(桌面邊界當懸崖，圖1)。讓學生探究配重與小馬的運動學和動力學關系，即如何讓小馬不落下懸崖但是又盡可能走得遠？

圖1 探究活動

后來中央電視臺導演到我實驗室參觀，對我設計的一些科學游戲(包括懸崖勒馬)很感興趣，后面就合作變成了《加油！向未來》節目中的大型游戲。節目中把小馬改為小車，人坐在其中。把人和小車作為一個整體，配重暫不考慮尺寸大小。即使這樣簡化后，裝置的運動也是很復雜的，原因是它的自由度在1～5之間變化。

1 第一階段建模

這一階段小車完全在臺面上運動，系統有一個自由度：小車質心位移x。裝置的模型見圖2，參數如下：小車長為a，高為b，質量為m1；質心距離前端為a1，距離底部為b1；系繩處距離底部為h；配重質量為m2；繩長為l，不計質量且不可伸長；臺面長為L，摩擦系數為μ1。裝置各部分受力圖見圖3，這一階段繩子拉動小車運動，繩子與臺面角度為θ，邊緣A點考慮為一段微小圓弧(只影響繩子與接觸面的張角，不影響水平位移)，摩擦系數為μ2，繩子與圓弧的張角為π/2-θ。

圖3 第一階段受力圖

根據各部分的受力情況，可以列出動力學方程及補充條件為

其中tanθ=h/(L-x-a1)。

方程(1)是微分-代數方程，在數值計算中，可以先把¨x當作代數量，求出¨x后再求微分方程(在下一篇中詳細介紹)。在方程(1)中令¨x＞0，可以得到小車從靜止到運動的臨界質量比為

其中tanθ0=h/(L-a1)。

方程(1)適用的范圍是x+a1≤L(即小車前緣沒有沖出邊界)，一旦小車沖出邊界，繩子就會擺動起來，受力圖和方程都要改寫了，進入第二階段。

2 第二階段建模

第二階段受力圖如圖4所示。當小車前緣超出了桌面平動時，系統有二個自由度：小車質心位移x、繩子擺角β。繩子擺動時可以考慮空氣阻尼(如果小車停止在平臺上，繩子長時間擺動)。

圖4 第二階段受力圖

小車的動力學方程直接可以列出，但要注意配重的懸掛點在運動，可以采用非慣性系中的處理方法，加上牽連慣性力后再列相對運動微分方程，得到如下方程

其中l*=l，β≥0;l*=l-h，β＜0。方程(3)的終止條件是：小車出現繞A點的轉動，具體為

該條件一旦滿足(已經不安全了)，進行第三階段。

3 第三階段建模

第三階段受力圖如圖5所示。當小車超出桌面較多時且產生轉動時，系統有三個自由度：小車質心位置x和y、轉角α、繩子擺角β，但是由于小車與臺面接觸還有一個約束方程

圖5 第三階段受力圖

這時要注意繩子端點B的加速度為不考慮空氣阻尼，從而得到系統的動力學方程為

其中f(α，β，F，N，T1)是已知函數。方程(7)要與約束方程(5)和方程(6)聯立才能求解。在求解過程中，一旦滿足N=0或小車尾部超出平臺邊緣，表示小車脫離臺面，進入下一階段。

4 第四階段建模

第四階段受力圖如圖6所示。當小車脫離桌面且繩子繃緊時，系統有自由度：小車質心位置x和y、轉角α、繩子擺角β。B點的加速度仍是式(6)。

圖6 第四階段受力圖

從而得到系統的動力學方程為

其中f(α，β，T1)是已知函數。在求解過程中，一旦滿足T1≤0，就表示小車與配置之間的繩子松弛了，進入下一階段。

5 第五階段建模

當小車與配重之間繩子未繃緊時，是五自由度問題：小車質心位置x和y、轉角α、配重質心位置x2和y2。不過動力學方程卻很簡單，有

6 部分計算結果及結論

在一定的配重下，小車前部可以沖出臺面邊緣而最終停住，其原理是：繩子的拉力是小車前進的動力，而摩擦力是小車剎車的原因。關鍵是：繩子拉力的水平分量隨小車前進而減少，而摩擦力分量隨小車前進而增加。

對于載人游戲，安全是第一位的，所以首先要確定配重的范圍，即

小車質量比與最終位移關系如圖7所示，從圖中可以看出，配重與小車的臨界質量比為η*=m2/m1=27.43%(具體可由式(2)得到)，η＜η*時小車不能運動，η＞η*時小車才能運動起來。η=29.60%時小車前緣已經到了臺面的邊界(但是安全)，η＞35%時小車整體沖出臺面邊界(危險)。從表演的角度，質量比η≈34%時最刺激：前緣能沖出臺面，配重擺動起來，小車最終安全停留在臺面上，根據方程(3)和方程(4)，令加速度為零及y=b1，β=0，該情況下小車前緣最多可以伸出邊界a1m1/(m1+m2)≈0.6 m，當然實際上要保守一點。

圖7 質量比與最終位移關系

但是圖7有一個疑問，如果η比η*稍大一點，小車為什么會先運動然后停在臺面上？圖8是不同質量比情況下小車的速度與位移關系，可以看到：不同質量比情況下小車均是先加速再減速，其中牽引小車的繩子角度是關鍵：開始時θ小，拉力T1的水平分量大，小車加速；當小車向前運動使θ變大后，一方面拉力T1的水平分量變小，另一方面壓力分量增加使摩擦力增加，導致小車減速。如果小車速度降到0之前就到了危險邊界(L+a1m1/(m1+m2)=5.6 m)，則會沖出臺面。

圖8 不同質量比的位移與速度關系

另一個問題是，圖7中的曲線為什么會有兩個明顯的跳躍？

第一個跳躍點是在臨界質量處，這好理解：當η＜η*時拉力小于摩擦力，小車靜止不動，一旦η＞η*小車就會運動，所以在η*處有一個跳躍。另一處跳躍發生在剛好沖出臺面的情況，也許第二階段小車到達危險位置時水平速度為零，但是進入第三階段后，小車繞臺面邊緣A轉動起來，又會產生水平的速度分量。

以質量比η=30%為例，看看小車在運動過程中各種力隨時間(圖9)或位移(圖10)的關系。可以看出水平方向的合力(繩子拉力分量減去摩擦力)開始大于0使小車加速，當小車前緣出了臺面后水平分量小于0使小車減速。可以看出小車前緣在到達臺面邊界時各種力都有突變，以壓力變化為例，可以從方程(1)和方程(3)中解出跳變的幅度，令方程(1)中θ=90°，方程(3)中β=0，˙β=0，有從而得到小車第一階段最后時刻的壓力為N-=m1(m1+m2)g/(m1-m2μ)=1383 N，而第二階段初始時刻壓力為N+=(m1+m2)g=1300 N，其他力的跳躍也可以類似分析。

圖9 力隨位移變化關系

圖10 力隨時間變化關系

最后可以看看小車沖出臺面但最終停在臺面上的各種曲線變化：圖11中繩子角度開始接近與臺面平行，后來擺動起來，角度產生周期性變化，由于有空氣阻尼，最終靜止。圖12中摩擦力開始較小，小車接近臺面邊緣時，繩子拉力方向接近垂直，壓力增加導致摩擦力增加，小車沖出臺面后摩擦力趨于零，但由于配重的擺動，導致摩擦力的方向也會變化。

圖11 角度隨時間的變化關系

圖12 力隨時間的變化關系

7 結語

懸崖勒馬問題看上去簡單，但是過程中自由度數目一直在變化，可以讓學生了解到實際問題是如何建模、分析、計算的。本文解釋了懸崖勒馬的原理，給出了配重與小車的臨界質量比，給出了安全位置和危險位置，分析了壓力突變的范圍，并對小車運動的整個過程進行了數值仿真，得到了豐富的數據、曲線和動畫演示，可讓學生對這一問題有全面、深入的了解。