壓桿穩(wěn)定性的平衡視角與剛?cè)釢u近

李 敏 李依倫(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

?(北京航空航天大學(xué)中法工程師學(xué)院，北京100191)

1 教學(xué)內(nèi)容回顧與問題的提出

在材料力學(xué)課程體系中，作為結(jié)構(gòu)安全性三大指標(biāo)之一的穩(wěn)定性是以壓桿穩(wěn)定性，特別是臨界載荷的求解為主要教學(xué)內(nèi)容。教學(xué)內(nèi)容除穩(wěn)定性現(xiàn)象描述外，還包括：剛桿與彈簧壓桿穩(wěn)定性分析；兩端鉸支細(xì)長壓桿臨界載荷的推導(dǎo)與討論；兩端非鉸支細(xì)長壓桿臨界載荷的推導(dǎo)與比擬；中、小柔度壓桿臨界應(yīng)力；壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計。

筆者在多年的教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)：在所有穩(wěn)定性教學(xué)內(nèi)容中，同學(xué)們在臨界載荷公式應(yīng)用方面掌握較好，但提及什么是壓桿失穩(wěn)以及為什么會失穩(wěn)往往不能準(zhǔn)確描述，這反映出學(xué)生在理解壓桿穩(wěn)定性的機理方面有欠缺。究其原因，一方面，相比強度與剛度分析中拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲章節(jié)的重復(fù)強化，穩(wěn)定性分析教學(xué)內(nèi)容較少，所以學(xué)生感受不充分；另一方面，穩(wěn)定性分析屬于特征值問題，其分析方法與強度和剛度所歸屬的響應(yīng)問題差異較大。以上的原因使學(xué)生們普遍對壓桿穩(wěn)定性章節(jié)產(chǎn)生一種“霧里看花”的感覺，因此找尋一種采用學(xué)生們熟知的分析模式，或者基于已有理論基礎(chǔ)的教學(xué)方法非常必要。

事實上，除了彈性壓桿穩(wěn)定性的分析過程，剛桿-彈簧系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析，包括為了講述方便而引入的剛性小球凹凸曲面穩(wěn)定性問題(圖1)，同學(xué)們認(rèn)為穩(wěn)定性的機理是比較清晰的：

(1)對于剛性小球--從力平衡的角度出發(fā)，當(dāng)小球偏離平衡點A后，凹曲面內(nèi)小球所受合力始終指向平衡位置；而凸曲面外小球所受合力始終背離平衡位置B，所以平衡點穩(wěn)定性的機理一目了然；

(2)對于剛桿-彈簧軸向受壓穩(wěn)定性問題(圖2)，基于從中學(xué)就熟悉的力(矩)平衡的知識，也能迅速領(lǐng)會驅(qū)動力矩Fδ與恢復(fù)力矩kδl的相互關(guān)系決定剛桿-彈簧系統(tǒng)直線平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的機理，這與剛性小球平衡點穩(wěn)定性分析一脈相承：均為力(矩)平衡關(guān)系的視角，而這種基于中學(xué)或大學(xué)物理課程中力(矩)平衡的分析模式很容易被學(xué)生們接受與掌握。

圖1 剛性小球凹凸曲面平衡穩(wěn)定性示意圖

圖2 剛桿-彈簧壓桿平衡穩(wěn)定性示意圖

在兩端鉸支彈性細(xì)長壓桿穩(wěn)定性分析過程中，利用梁的撓曲軸(近似)微分方程，代入微彎臨界狀態(tài)下彎矩表達(dá)式，通過邊界條件與通解存在條件確定臨界載荷，在此過程中并未明顯涉及熟知的力(矩)平衡，而是借用了常微分方程解算模式，致使解答(臨界載荷)的物理含義不明晰。后續(xù)講解臨界載荷π2EI/l2屬于結(jié)構(gòu)的固有特性時，盡管學(xué)生們基于表達(dá)式的形式可以接受這一結(jié)論，但講解中物理本質(zhì)的缺失是學(xué)生理解彈性壓桿穩(wěn)定性機理的主要障礙。

2 彈性壓桿穩(wěn)定性問題的力(矩)平衡視角

事實上，在兩端鉸支彈性細(xì)長壓桿分析過程中也有驅(qū)動力矩與恢復(fù)力矩的分類：在微彎臨界狀態(tài)下分離體平衡(圖3)，由此獲得內(nèi)力分量的彎矩M與外力矩Fw平衡，其中彎矩M即為恢復(fù)力矩，而外力矩Fw為驅(qū)動力矩。盡管這種講述方式也被部分教師采用，但相比剛桿-彈簧系統(tǒng)中恢復(fù)力矩kδl明確的物理含義，彈性壓桿恢復(fù)力矩M與結(jié)構(gòu)幾何尺寸和材料有何關(guān)系并不明確，導(dǎo)致該種講述方式失去闡述內(nèi)在機理的價值。

圖3 彈性壓桿平衡穩(wěn)定性分析內(nèi)力圖

本文提出一種方法修補該缺陷，建議在基本內(nèi)容講述完成后對分析內(nèi)容進(jìn)行另一種模式的回顧：當(dāng)彈性壓桿處于微彎臨界狀態(tài)，利用撓曲軸近似微分方程與撓度解的形式，由

得

為了形象化表征各力矩變化與相互關(guān)系，使用圖4表示彈性壓桿系統(tǒng)的力矩變化，其中橫軸表示外加軸向壓力，縱軸表示力矩。當(dāng)桿件偏離初始直線平衡位置時，圖中OA1直線表示隨著軸向壓力F的增加，x=x1截面(任意軸向位置)驅(qū)動力矩Fw(x1)呈線性增長；而恢復(fù)力矩M=π2EIw(x1)/l2與外加軸向壓力F無關(guān)所以呈水平直線(圖中B1C1)(式(2)中負(fù)號表示恢復(fù)力矩M與驅(qū)動力矩方向相反，為了便于畫圖比較，圖中只考慮數(shù)量)。兩線相交點D1表征臨界狀態(tài)，其交點對應(yīng)橫坐標(biāo)即為臨界載荷Fcr=π2EI/l2。圖中Fcr左側(cè)箭頭表示：當(dāng)外加軸向壓力F＜Fcr時，線段B1D1位于OD1之上，即恢復(fù)力矩大于驅(qū)動力矩，壓桿將回到原始直線平衡位置；同理，右側(cè)箭頭表示外加軸向壓力F＞Fcr時恢復(fù)力矩小于驅(qū)動力矩(線段D1C1位于D1A1之下)，壓桿無法回到原始直線平衡位置。當(dāng)然也可以取不同的軸向位置x=x2，情況是完全類似的：OA2表示驅(qū)動力矩Fw(x2)，B2C2表示恢復(fù)力矩π2EIw(x2)/l2，兩線交點D2所對應(yīng)的臨界載荷仍為Fcr。

圖4 彈性壓桿系統(tǒng)的力矩變化

剛桿-彈簧系統(tǒng)驅(qū)動力矩Fδ與恢復(fù)力矩kδl的相互關(guān)系完全類似(如圖5，圖中δi均表示壓桿上端部水平位移)，此處不再贅述。

圖5 剛桿-彈簧系統(tǒng)的力矩變化

沿襲力(矩)平衡的視角，采用該類圖線可以展示驅(qū)動力矩與恢復(fù)力矩的關(guān)系，臨界載荷的來歷，以及外力小于或大于臨界載荷時系統(tǒng)的狀態(tài)，不失為一種幫助學(xué)生理解彈性壓桿穩(wěn)定性機理的方法。

以上的分析模式從形式上統(tǒng)一了剛桿-彈簧系統(tǒng)與彈性壓桿系統(tǒng)失穩(wěn)機理，但相比于剛桿-彈簧系統(tǒng)恢復(fù)力矩的來源，彈性壓桿系統(tǒng)的恢復(fù)力矩源于撓曲軸近似微分方程與撓度解的形式，也許會使學(xué)生感覺有些“陌生”或者“不直接”。更重要的是，相比前者臨界載荷kl作為系統(tǒng)固有特性的物理本質(zhì)，后者臨界載荷π2EI/l2不易理解：盡管從直觀感受上，結(jié)構(gòu)抵抗失穩(wěn)的能力與剛度成正向比例，與桿長度成反向比例是合理的，但比例的方次，包括系數(shù)大小，以及π2EI/l2從總體形式上與結(jié)構(gòu)的什么性質(zhì)直接關(guān)聯(lián)并不明顯。講述內(nèi)容中剛桿-彈簧系統(tǒng)與彈性壓桿系統(tǒng)兩種穩(wěn)定性問題還是相對獨立的，這是以上方法的“缺憾”。

3 壓桿穩(wěn)定性問題的剛?cè)釢u近

為了解決上節(jié)方法中的“缺憾”，這里首先介紹一個典型題目(圖6)，該題目出現(xiàn)在許多教科書中作為例題或習(xí)題[1-3]。

圖6 雙剛桿+線性碟簧系統(tǒng)穩(wěn)定性問題示意圖

雙剛桿+一個線性碟簧(螺旋彈簧)系統(tǒng)臨界載荷的解算是非常簡單的，考慮微擾臨界狀態(tài)下分離體剛桿AC的平衡

則

在雙桿模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展，使用相同的方法可以解算多桿+線性碟簧模型的臨界載荷，對于三桿模型(圖7)，根據(jù)對稱性，CD桿處于水平位置，其力平衡分析與雙桿模型相同

四桿模型(圖8)需考慮AC桿與CD桿的平衡

聯(lián)立可得θ1與θ2的關(guān)系

可解得θ2/θ1=■2-1，即

圖7 三剛桿+線性碟簧系統(tǒng)穩(wěn)定性問題示意圖

圖8 四剛桿+線性碟簧系統(tǒng)穩(wěn)定性問題示意圖

更多桿件模型均可參照以上的平衡條件解出，另外也可利用最小勢能原理，采用變分方法進(jìn)行簡化分析，以下給出各模型的勢能表達(dá)式

式中，Π的下標(biāo)表示桿件數(shù)目，對θi變分即可得到平衡方程，這里不再詳述[4]。

觀察式(4)，式(6)和式(9)等系列結(jié)果并順序排列，從形式上完全相似，臨界載荷均與線性碟簧剛度成正比，與剛桿長度成反比。考慮到圖中蝶形彈簧剛度的物理含義是相鄰兩剛桿產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需力矩，如果關(guān)聯(lián)到彈性梁彎曲變形中集中彎矩產(chǎn)生的彎曲角

可得

式中l(wèi)i=l/i。代入各模型臨界載荷公式中整理成為統(tǒng)一的模式

式中ai數(shù)值如表1。

表1 ai數(shù)值表

隨著桿件數(shù)目的增加，依據(jù)式(12)我們可以猜測ai的發(fā)展趨勢是否有可能趨近π2≈9.87。

事實上，我們可以證明這一點：對于總長l等分i段(i→∞)的剛桿+線性碟簧模型如圖9，考慮對稱性取左半部分為研究對象(為方便畫圖，不妨設(shè)i為偶數(shù))，

沿用形狀函數(shù)Asinπx/l，極限狀態(tài)下中點附近彎曲角極小，利用小變形假設(shè)

圖9 無限細(xì)分剛桿+線性碟簧系統(tǒng)穩(wěn)定性問題示意圖

對于壓桿穩(wěn)定性教學(xué)內(nèi)容的講解，特別是壓桿穩(wěn)定性內(nèi)涵的理解，此例有兩方面的作用：

(1)說明了彈性壓桿穩(wěn)定性臨界載荷π2EI/l2中各參數(shù)與方次的來歷。

(2)統(tǒng)一了剛桿-彈簧壓桿穩(wěn)定性與彈性壓桿穩(wěn)定性兩種壓桿穩(wěn)定性模式，前者是后者在一定條件下的近似，后者可以看作前者的極限化。

4 結(jié)語

在材料力學(xué)課程內(nèi)容中，彈性壓桿穩(wěn)定性臨界載荷的物理本質(zhì)屬于比較難于理解的部分。相對而言，基于中學(xué)或者大學(xué)物理中有關(guān)力(矩)平衡的基礎(chǔ)知識進(jìn)行講解容易被學(xué)生接受。本文通過幾種簡單模型和圖像展示，揭示了彈性壓桿穩(wěn)定性臨界載荷中各參量與桿件彎曲剛度和幾何尺寸的關(guān)系，并統(tǒng)一了兩種壓桿穩(wěn)定性模型的分析過程，可作為材料力學(xué)壓桿穩(wěn)定性部分教學(xué)的補充材料。