從一題多解思考學生解題能力的培養

廣東省廣州市南沙區教育發展中心(511458) 黃安錦

近日,廣州市南沙區初中畢業班學業水平適應性測試中考查了這樣一道題,看起來不難,但卻在考試中難倒了不少學生,學生覺得試題中的情境很熟悉,卻難以找到問題解決的突破口,究其原因是學生在學習中習慣于常見幾何模型地死搬硬套, 對題目中的已知條件和結論未能搭建互通橋梁,解題思路不能完整呈現.下面我們通過本題的幾種解法,分析題目中所蘊涵的數學源知識的重新建構與綜合應用,以找到提高解題的能力的方向.

1 題目呈現

如圖1,AB為⊙O的直徑, 點C為弧AB中點, 連接AC、BC.

(1) 利用尺規作圖, 作出∠BAC的角平分線, 分別交BC、⊙O于點D、E,連接BE.(保留作圖痕跡,不寫作法)

(2)若BE=2,求AD的長度.

試題分析: 本題的第(1)問主要考查學生利用尺規作圖作處角平分線及合理標識點和線段.學生對此類作圖題游刃有余.而第(2)問涉及圓的基本性質、輔助線的合理添加、三角形的全等及相似判定等相關知識,對學生轉化思想和數學建模思想進行了考查.此題存在多種解題思路,解題的入口較寬.從題目及第(1)問的結論(如圖2)中,不難獲取以下基本信息:

①由線段AE平分∠BAC,可得∠BAE=∠CAE;

②由AB為⊙O的直徑,且點E、點C在⊙O上可得∠AEB=∠ACB=90°;

③由點C為弧AB中點可得AC=BC、∠ABC=∠BAC;

④由圓周角定理可得∠CAE=∠CBE.

本題中涉及的數學源知識有角平分線的定義及性質,圓的基本性質,圓周角定理及其推論,弦、弧、圓周角定理等,我們不妨從這些學生熟悉的源知識入手,探尋解決問題的方法.

圖1

圖2

圖……