一道“倍半角”習題解法分析與拓展

廣東省化州市第四中學(525100) 呂明勇

筆者以一道習題為例,依托學生現在的知識結構,通過多角度分析,從解題探究發展為解題策略探究,構建知識網絡,從而促進學生自身數學解題能力深入發展,培養學生的高階思維能力和實踐應用能力.

1 題目呈現

如圖, 在等腰直角三角形ABC中,AC=BC, ∠C= 90°, 點P為線段AC的中點, 連結PB,PD, 若∠BPD=45°,CD=2,求CP的長.

思路分析: 此題的背景是在等腰直角三角形中,含有90°和45°,是“倍半角”關系;故可以從兩個特殊角出發,尋求問題解決的方法.從幾何角度,可以利用45°角構造“一線三等角”相似,或者添加一條垂線,構造兩個“手拉手”模型相似的直角三角形,也可以通過添加平行線構造相似三角形,從代數角度,容易聯想到利用建立直角坐標系用直線斜率公式或三角函數或三角形面積公式來解決問題.

2 教學過程簡錄

學生1: 勾股定理, 如圖1, 過點D作DE ⊥BP交BP于點E, 設CP=x, ∴BC= 2x, 由勾股定理得:已知CD=2,在RtΔCDP中,DP=∵ ∠BPD= 45°, ∴DE=PE=在RtΔBDE中,由勾股定理得:DE2+BE2=BD2,即:=(2x－2)2.解得x1=6,x2=

學生2: 勾股定理+相似,如圖1,過點D作DE ⊥BP交BP于點E, 易證ΔBDE～ ΔBPC, 設CP=x,∴BC= 2x, 由勾股定理得:BP=已知CD= 2,在RtΔCDP中,DP=∵∠BPD=45°,∴DE=PE=∵ΔBDE～ΔBPC,∴∴解得x1=6,x2=

在上述兩種方法后,教師帶領學生思考這方法是如何想到的? 因為∠BPD= 45°,所以想到作垂線構造等腰直角三角形,利用勾股定理可解題.方法1 要求學生運算能力比較強.

觀察圖形,不難發現,里面有不少基本相似圖形,所以我引導學生從基本圖形入手探尋相似三角形解題.

學生3:“X”字模型相似,如圖2,過點B作BE ⊥PD于PD的延長線于點E,由“X”字模型易證ΔPCD～ΔBED,設CP=x, ∴BC= 2x,DP=由勾股定理得:BP=∵∠BPD= 45°,∠E= 90°,∴ΔPBE是等腰直角三角形,∴BE=PE=,∵ΔPCD～ΔBED,∴解得x1= 6,

學……