一道課本習(xí)題的變式與探究

江蘇省海門中學(xué)(226100) 徐巧石

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的根本,是教師的教學(xué)依據(jù).在平常的教學(xué)中,教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對課本例習(xí)題進行探究,挖掘題目背后的作用.筆者通過對課本中的一道習(xí)題的變式拓展、延伸發(fā)散,試圖說明如何對教材中的習(xí)題進行探究.

1 問題提出

蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修四第50 頁有一道題: 一鐵棒欲通過如圖1 所示的直角走廊,試回答下列問題: (1)證明棒長L(θ) =; (2)求L(θ)的最小值(用計算器或計算機);(3)解釋(2)中所求得的L是能通過這個直角走廊的鐵棒長度的最大值.

圖1

2 問題一般化

一根長為l米的鐵棒(厚度忽略不計)欲通過如圖2 所示的直角走廊, 其中, 走廊兩個走向的寬度分別為a米和b米.如圖2, 設(shè)點A,B在走廊的壁上,AB經(jīng)過走廊角頂點C,AB與走廊一壁的夾角為θ,則AC=AB=鐵棒要通過走廊需滿足l≤AB對0＜θ ＜恒成立,令f(θ)=

情形1: 若a=b, 即走廊兩個走向的寬度相等時,f(θ) =令t= sinθ+ cosθ,則令當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以f(θ)min=所以所以鐵棒欲通過直角走廊的最大長度為米.

情形2: 若a／=b,即走廊兩個走向的寬度不相等時,由

3 問題的探究

思考方向一保持走廊形狀不變,改變鐵棒的形狀.

探究1將直的鐵棒變?yōu)閺澋蔫F棒情況如何?

如圖3.1.1 彎形鐵棒A′B′C′D′(厚度忽略不計) , 其中A′B′=C′D′= 1,B′C′=l,∠A′B′C′= ∠B′C′D′=現(xiàn)彎形鐵棒欲通過如圖所示的直角走廊,走廊兩個走向的寬度分別為a米和b米.

情形1: 按圖3.1.2 所示方式通過, 設(shè)點A,D在走廊的壁上,AB=CD= 1, ∠ABC= ∠BCD=,BC經(jīng)過走廊的直角頂點H, 延長BC交走廊兩壁分別于E,F, 設(shè)∠GEF=θ, 則EF=在ΔAEB中, 由正弦定理得, 所以BE=同理在ΔFCD中可得FC=所以BC+－,BC=取……