關于三角形中兩塞瓦線相交所得的線段比例

廣東省深圳市新安中學(集團)第二外國語學校(518100) 華南師范大學(510631) 鐘煥旻

1 引言

如圖1 是三角形中兩條塞瓦線相交的圖形模型.

雖然是一個非常簡單的圖形模型,但在小學高年級和中學低年級階段的數學競賽中出現的頻率很高.我們在此簡單列舉幾道競賽真題.

圖1

題1(第十屆華杯賽初一組總決賽一試第4 題[1])如圖2中三角形ABC的面積是60,BE:CE=1:2,AD:CD=3:1,求四邊形DOEC的面積.

題2(第十三屆華杯賽初一組決賽第11 題[1]) 如圖3所示,E,F是三角形ABC邊上的點,CE與BF相交于點P.已知三角形PBC的面試是12,且SΔEBP=SΔF P C=S四邊形AEP F,求三角形EBP的面積.

圖2

圖3

題3(第十八屆華杯賽初一組決賽B 卷第5 題[1])如圖4 所示, 三角形ABC中,E,F分別是邊AB,AC上的一點,CE,BF相交于點P, 已知SΔEBP=SΔF P C=S四邊形AEP F=4,則三角形PBC的面積是( ).

題4(2017年第十五屆小學希望杯全國數學邀請賽第一試6年級第8 題[2])如圖5,點E,F是三角形ABC邊AB,AC上的點,線段CE,BF交于點D.若三角形CDF,三角形BCD, 三角形BDE面積分別為3, 7, 7, 則四邊形AEDF面積為____.

圖4

圖5

我們可以在這幾道競賽真題中看到,在這個圖形中,常考察的是面積和線段比的計算.張景中院士所提出的共邊定理就是解決面積和線段比問題的強有力工具.在本文中,我們就將使用共邊定理的四種圖形形式來對這種類型的問題給出通解通法.

2 基本概念及相關性質

定義1[3]連接三角形的一個頂點和它的對邊(或延長線)上一點(非端點)的線段稱為塞瓦線.

定 理1[4]如 圖6, ΔABC、ΔABD和ΔACD等高, 則BC:BD:CD=SΔABC:SΔABD:SΔACD;

證明見文獻[4].

圖6

等高模型是共邊定理的理論基礎.張景中院士所提出的共邊定理正是由等高……