數學活動：推動學生思維向更深處漫溯

摘要：數學活動作為一種獨特的學習方式，既為學生提供了一條解決數學問題的新路徑，又給學生創造了主體參與、積極探索、大膽實踐、勇于創新的學習環境。“多邊形的內角”和的教學通過組織學生開展實驗探究性數學活動，引導學生進行觀察、分析、判斷、交流，在探索中歸納多邊形內角和的計算方法，有效地培養學生的數學思維，發展學生的數學素養。

關鍵詞：數學活動;思維發展;小學數學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2021）12A-0072-04

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：學生學習應當是一個生動活潑、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。[1]數學活動作為一種獨特的學習方式，既為學生提供了一條解決數學問題的新路徑，又給學生創造了主體參與、積極探索、大膽實踐、勇于創新的學習環境。大量成功的教學實踐表明，在數學課堂中引進數學活動，不但能豐富數學的學習方式，而且更能有效地發展學生的數學思維，提升學生的數學素養。

一、豐富猜想活動，讓思維起航

隨著數字化時代的到來，數學越來越成為人們生活中不可缺少的工具。但在數學教學實踐中，一些學生不喜歡數學，感覺數學就是做題，單調乏味，還有一些學生習慣于“老師讓干什么就干什么”的機械式學習。數學活動是以“做”為支架的參與式活動，學生能感受數學，觸摸數學，看到不一樣的數學，從而變被動的“機械”學習為更加主動的“趣味”學習。數學活動也是以問題為鏈接點的連續活動，能誘發學生猜想，引發學生的思維沖突，讓思維在猜想中萌發、起航。

在教學蘇教版小學數學四年級下冊“多邊形的內角和”時，筆者在課的開始組織了“猜圖形”的活動（如圖1）：

（1）教師手拿內有圖形的信封，先露出圖形的1個角（如圖1-①），提問學生：“你們能夠根據這個角，猜猜它是什么圖形嗎？”大多數學生猜是三角形，筆者順勢引導學生復習已經學過的關于三角形的知識。

（2）教師再把信封內的圖形拉出來一點點，露出2個角（如圖1-②），提問學生：“現在還是大家猜的三角形嗎？”學生猜想：“露出了2個直角，不可能是三角形了！那會是什么圖形呢？可能是長方形，也可能是正方形。”筆者繼續提問：“那你們知道長方形、正方形的內角和是多少度嗎？”學生已經掌握了長方形、正方形4個角都是直角，直角是90°的知識經驗，得出長方形、正方形的四個直角內角和是360°。這個環節，完成了長方形、正方形這兩個特殊四邊形內角和的教學。

（3）教師繼續提問：“信封內的圖形到底是什么圖形呢？讓我們來揭開謎底：是一個直角梯形。直角梯形的內角和是多少呢？誰來大膽猜想一下？”

在“猜圖形”活動中，筆者通過讓學生猜露出1個角的圖形，喚醒了學生的已有經驗，同時也抓住了本堂課的認知起點——三角形內角和=180;通過猜露出2個角的圖形，得出長方形、正方形這兩個特殊四邊形的內角和是90×4=360°;最后通過揭開謎底展開“研究一般四邊形內角和”的教學。猜想推動著知識的輻射，使學生產生認知的不平衡，激發了學生要繼續學習的迫切需求，讓學生帶著問題展開深入的探究，積極主動地參與到數學活動中去。

二、充實實驗活動，讓思維揚帆

小學階段的學生對所學知識往往處于一種似懂非懂的朦朧狀態，而數學實驗活動恰好能彌補這個“缺憾”。組織開展需要大膽猜想、動手操作、驗證觀點的實驗活動，不僅可以讓學生了解數學知識、規律，還能帶領學生全面、深刻地體驗學習過程和方法，使知識學習變得立體和豐富。數學實驗不是盲目的，有了猜想，實驗活動更有目的性，而為了驗證猜想展開的研究活動，更像是一種驗證性實驗。有了科學研究的實驗操作方式，學生的思維就不斷靈活起來，越來越清晰有條理。筆者在教學“多邊形的內角和”時，設計了“驗證直角梯形內角和”的實驗，請學生通過實驗來證明“直角梯形的內角和是360 ”。在教師的引導下，學生的思維是發散的（如圖2）。

“量”的方法最容易想到，用數據來說話，把4個內角度數加起來就是內角和度數;“拼”的方法最為直觀，一目了然（如圖2-①），把4個角剪下來拼在一起形成一個周角，一周角就是360 。根據學生的實驗作品，教師引導學生嘗試了另外三種分法。如圖2-②，把直角梯形分成2個三角形，2個三角形內角和就是直角梯形的內角和360°，這種分法把直角梯形與三角形聯系起來，實現了轉化思考，充分開啟了學生的思維。既然可以分成2個三角形，那能否分成3個三角形呢？學生在實驗中發現，分成3個三角形，內角和就是180×3，但是比直角梯形內角和多了一個180平角度數，要減去，結果還是得到內角和是180×3-180=360°（如圖2-③）。圖2-④把直角梯形分成4個三角形，內角和就是180×4，但是比直角梯形內角和多了一個360周角度數，要減去，結果還是得到內角和是180×4-360=360°。

數學實驗的本質是讓學生在“動手做”的歷程中挖掘思維軌跡，發現知識的本質。當“測量”“剪拼”“分成2個、3個、4個三角形”這些方法依次呈現時，學生的猜想得到了證實，方法得到了互補，思考得到了肯定，思維得到了碰撞。在與學生交流不同實驗方法的過程中，筆者引導學生不斷進行思考、修正、推理、想象，不僅讓學生知道怎么做實驗，還讓他們知道為什么要這樣做。

接著，筆者進一步引導學生觀察后三種分法，深入地思考、尋找它們之間的聯系：“三種分法都是把直角梯形轉化成三角形來計算內角和的。分割的交點在內部（如圖2-④）：4個三角形的內角和，跟原直角梯形內角和一樣嗎？多出了哪里？內角和是多少？分割的交點在邊上：假如這個交點繼續往下移，移到一個稍微特殊的地方，移到邊上來呢（如圖2-③）？現在分成幾個三角形？內角和是多少？比原直角梯形內角和多了多少？分割的交點在頂點：這個交點繼續移動，一直移動到了這個頂點上（如圖2-②）。分成了幾個三角形？內角和是多少？比原直角梯形內角和是多了還是少了？”學生認識到這個點落在了直角梯形不同的位置，有的在圖形內，有的在邊上，有的在頂點上，但不管在哪里，都能證明其內角和是360°。這一實驗結果讓學生非常興奮，他們在思維達到高峰時還將這三種方法分別取名為“中心法”“邊線法”“頂點法”。

我們往往會從不同的方法中總結出不同的規律，然而，不僅這些規律之間充滿了關聯，研究的方法和切入點也可以互相借鑒。充實的數學實驗活動，給了學生更廣闊的思考空間和研究視域，讓他們的思維在課堂上活躍起來，提升了他們對數學的理解程度。

三、深入探究活動，讓思維遠航

數學課堂要尊重學生已有的經驗，將豐富的現實情境引入課堂，鼓勵學生提出自己的解題策略，促進同伴間的合作交流，使不同的人在數學上得到不同的發展。

在教學“多邊形的內角和”時，筆者設計了“不同四邊形內角和的探究實驗”活動，讓學生通過探究得出一組四邊形（如圖3）各自的內角和，并交流自己的研究方法。

學生先實驗，再思考，然后交流不同的探究方法。有的學生用了頂點法，將四邊形分成2個三角形，內角和是180×2=360;有的學生用了邊線法，將四邊形分成3個三角形，內角和是180×3-180=360;有的學生用了中心法，將四邊形分成4個三角形，內角和是180×4-360=360。在原有數學知識學習的基礎上，學生通過再次深入實驗，操作探究，發現不管用哪種方法，都可以研究得出四邊形內角和是360。

到這里探究還沒有結束，筆者再拋出問題：“三角形的內角和是180，四邊形的內角和是360，那么五邊形、六邊形、七邊形（如圖4），它們的內角和分別是多少度呢？有了研究四邊形內角和的堅實基礎，學生能自己設計活動進行研究了。隨著探究的深入，學生不僅能發現其他多邊形內角和度數的規律，還能對規律進行解釋，并能掌握規律之間的聯系。

從研究直角梯形的內角和發展到研究不同形狀的四邊形內角和，從研究四邊形的內角和發展到研究五邊、六邊、七邊等多邊形的內角和，兩個不同層次的探究活動，雖然在不同的探究任務下，但學生都是以發現者的身份去觀察、猜想、實驗、分析、推理、歸納，使數學活動成為再創造、再發現的過程。活動成果的展示不僅是結果的呈現，更是實驗過程的回顧。學生在做中學、做中思、做中悟，實現向數學學習“智慧”層面的提升。

學生的數學活動經驗是在親身經歷、實踐、活動的過程中積累起來的。在實驗成果展示的過程中，學生通過合作探究和交流，既展示自己的想法，回顧自己的探究歷程，又能適時了解其他同學的學習方法。通過探究得到結論后的欣喜，將成為學生敢于實驗、樂于探究的動力，使學生的思維在課堂上開出智慧之花。

四、感受活動魅力，讓思維走向“創新”

數學活動涉及的內容是廣泛的，在這些活動中既有可供學生思考、探究和具體動手操作的題材，也隱含著現代數學的一些原始生長點，讓每一位學生都有機會接觸、了解、鉆研自己感興趣的數學問題，滿足學生的不同需求，最大限度地開啟每一位學生的智慧潛能，讓不同的學生在數學上得到不同的發展。

數學活動，可以讓學生通過做、思合一，與生活相聯系。在活動探索過程中，學生往往會有一種意猶未盡的感覺。根據學過的知識、運用實驗得出的方法和積累到的活動經驗進行深入的實驗研究，是學生最感興趣的事。這樣的活動更具創新性、挑戰性和綜合性，能給學生帶來更大的成功喜悅，讓學生感受到數學的魅力。這樣的數學學習，讓學生不僅僅專注于本堂課的知識學習，還可以從本課知識出發，向更廣闊的數學天地發展，從而激發學習的熱情和創新的活力。“多邊形的內角和”教學的最后，筆者拋出問題：“多邊形隨著邊數的增加，內角和是不斷變化的，而且是有規律地變化的。那外角和呢？它又有怎樣的規律呢？”然后通過播放各種多邊形內角和、外角和動態變化的小視頻，引導學生感受多邊形的外角和，激勵學生利用多種數學活動進行學習，讓學生帶著問題走出課堂，體現了課堂學習的拓展性。課后的天地更廣闊，學生可以根據自己的實踐體驗，用自己的思維方式進行知識的再創造，從中感受數學魅力，獲得成功體驗，產生學習數學的積極情感，提升歸納總結、靈活變通的能力。

學生在實操性數學活動中，通過實驗探索和交流分享，思維不斷向深處漫溯，不僅發現了多邊形內角和的計算公式，還對知識的形成過程有了完整的了解，成為實驗者、思考者、發現者。教學活動成為學生增長知識、發展思維、提升能力的過程，對學生當下和今后終身的發展都將產生積極的影響。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：2-3.

收稿日期：2021-10-12

作者簡介：袁綺蓉，江陰市輔延中心小學 （江蘇江陰，214400），江陰市優秀教育工作者，江陰市教書育人標兵。