問題解析突破，解法拓展探究

呂志元

[摘? 要] 函數與幾何綜合題的突破難度較大，需要綜合知識方法，巧妙轉化問題構建解題思路. 合理選用解題方法對于考題突破極為關鍵，文章將以一道函數與幾何考題為例，開展解析探究，進行解法拓展并反思教學，提出幾點建議.

[關鍵詞] 函數;幾何;面積;菱形;存在性

函數與幾何是初中數學兩大重要的知識模塊，實際考查時常以函數為背景，聯系幾何圖形來構建圖像. 圖像上的點不僅可以作為求解函數解析式的工具點，也可作為幾何圖形中的頂點、交點等關鍵點用以探討幾何性質. 函數與幾何綜合題的問題形式也極為多變，如求函數解析式、探究幾何面積、分析特殊圖形是否存在等. 充分把握函數與幾何的知識關聯，從點坐標出發，推演線段長，聯系幾何性質構建思路是常用的策略.

問題探究

函數與幾何題的設問形式多變，第（1）問通常與函數解析式相關，屬于基礎問題，第（2）（3）問則融入幾何特性、動點等內容，綜合進行考查，下面以一道中考壓軸題為例，進行深入探究.

1. 問題呈現

（2020年重慶市中考A卷第25題）如圖1所示，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c與直線AB相交于A，B兩點，其中A（-3，-4），B（0，-1）.

（1）求該拋物線的函數表達式;

（2）點P為直線AB下方拋物線上的任意一點，連接PA，PB，求△PAB面積的最大值;

（3）將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線y=a1x2+b1x+c1（a≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點C，點D為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點E，使以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標;若不存在，請說明理由.

2. 問題解析

（1）求拋物線的函數表達式，可采用待定系數法，分別將點A和B的坐標代入拋物線的解析式中，可得9-3b+c=-4，c=-1，解得b=4，c=-1，所以拋物線的函數表達式為y=x2+4x-1;

（2）該問解析△PAB面積的最大值，其中點A和B為定點，則線段AB固定，于是△PAB面積的大小將由線段AB上的高決定，那么問題就是求拋物線上到AB最大距離的點，可采用作平行線的方法. 過AB的平行線l，當l與拋物線僅有一個交點時，該交點就為△PAB取得最大面積時點P的位置，如圖2所示. 同時設l與y軸的交點為N，根據等面積法可知△PAB與△NAB的面積相等.

設直線l的解析式為y=x+d，與拋物線的解析式聯立，整理可得x2+3x-1-d=0，由判別式Δ=0可得d=-，則直線l的解析式為y=x-，進而可求得點N的坐標為0，-. 將△NAB視為是以BN為底，點A為頂點的三角形，則底BN=，高h=3，則△NAB的面積為S=××3=，所以△PAB面積的最大值為.

（3）第三問涉及拋物線平移以及菱形存在性探討，但題干沒有設定菱形的結構，解析突破分兩步進行：第一步推導平移后拋物線的解析式，第二步分類討論菱形存在性，求解點E的坐標.

將拋物線向右平移2個單位長度，則將拋物線化為頂點式更為簡單，即y=（x+2）2-5，則平移后的拋物線解析式為y=x2-5，點C為兩拋物線的交點，聯立可得點C（-1，-4）. 點D位于直線x=-2上，可設點D（-2，m），設點E（s，t）. 點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形存在兩種情形：BC為菱形的邊，BC為菱形的對角線，下面分別討論.

情形一：當BC為菱形的邊時，根據平移關系可知：-2+1=s且m+3=t①，或者-2-1=s且m-3=t②;

當點D位于點E的下方時，則有BE=BC，即s2+（t+1）2=12+32③，當點D位于點E上方時，則有BD=BC，即22+（m+1）2=12+32④，聯合①和③可解得s=-1，t=2或-4（舍去-4），所以點E的坐標為（-1，2）;聯合②和④可解得s=-3，t=-4±，所以點E的坐標為（-3，-4+）或（-3，-4-）.

情形二：當BC為菱形的對角線時，由中點公式可得-1=s-2且-4-1=m+t⑤，此時BD=BE，則22+（m+1）2=s2+（t+1）2⑥，聯合⑤和⑥可解得s=1，t=-3，所以點E的坐標為（1，-3）.

綜上可知，存在點E使以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，點E的坐標為：（-1，2），（-3，-4+），（-3，-4-），（1，-3）.

解法拓展

本題目為典型的函數與幾何壓軸題，第（2）問探究三角形面積的最大值，屬于面積問題，采用了等面積轉化的方法，第（3）問探究菱形是否存在，屬于存在性問題，上述對菱形的結構進行了分類討論，充分利用線段長來構建方程. 實際上，函數與幾何典型問題具有多種解析方法，從不同的視角探究可獲得不同的解題思路，下面變換思路對后兩問進行拓展探究.

1. 構建面積模型求面積最值

第（2）問涉及動點三角形，其特點為三角形的三邊均與坐標軸不平行，為“不規則”圖形，則可采用鉛垂法構建最值模型. 如圖3，過點C作y軸的平行線，與AB的交點設為D，再過點A和B分別作x軸的平行線和垂線，則△ABC的面積可視為是共底△CDA和△CDB的面積之和，其中CD為模型的“鉛垂高”，點A和B的水平距離為模型的“水平寬”，則對應面積為S=S+S=·CD·x-x.

利用上述的“鉛垂模型”求第（2）問△PAB的面積. 過點P作y軸的平行線，設與AB的交點為M，如圖4所示. 則MF為模型的“鉛垂高”，點A和B的水平距離為水平寬. 點P位于拋物線上，可設其坐標為（t，t2+4t-1），點A和B的水平距離為3，由點A和B的坐標可求直線AB的解析式為y=x-1，則點M的坐標可以表示為（t，t-1），可得PM的長度PM=-t2-3t. 所以△PAB的面積S=·PM·x-x=×3×（-t2-3t）=-t+2+，分析可知，當t=-時，S可取得最大值，即△PAB面積的最大值為.

拓展：“鉛垂模型”有兩種類型，除了上述構建方法外，還可以過點B作x軸的平行線作為“鉛垂高”，如圖5，則△ABC的面積可以視為是共底△CDB和△ADB的面積之和，該模型中有S=S+S=·DB·yC-y. 上述第（2）問使用鉛垂法構建模型時采用了類型一，這是因為點A和B的坐標已知，可直接獲得模型的水平寬，若采用類型二則所構模型較為復雜，會增加思維難度.

2. 利用畫圓定位確定菱形位置

菱形是特殊的幾何圖形，其特殊之處不僅表現在圖形為四邊相等的平行四邊形，菱形還是軸對稱圖形，含有兩條相互垂直的對稱軸，同時對稱軸可將圖形分割為全等三角形. 在實際探究時可以其中一個頂點為圓心，以菱形邊長為半徑，通過畫圓弧來確定其他未知頂點的位置.

以上述考題第（3）問為例，只要以D、C、B構成等腰三角形，則菱形一定存在.

對于情形一，BC為菱形的對角線，可直接構建模型，如圖6，點G為菱形兩條對角線的交點，利用直線解析式以及中點坐標公式可求出點E（1，-3）.

對于情形二，BC為菱形的邊長，則可分別以點B和C為圓心，以BC長為半徑畫弧來構建菱形.

①以點B為圓心，以BC長為半徑作弧，與直線x=-2相交于兩點，可分別構建菱形，同時點E可位于點D的下方，也可位于其上方.

當點E位于點D的下方時，如圖7所示. 過點B作直線x=-2的垂線，設垂足為點H，在Rt△BDH中可解析出點D（-2，-1-），D可視為點B向左平移2個單位，再向下平移個單位得到的，而點E相對于點C的平移過程是一致的，可知點E（-3，-4-）;

當點E位于點D的上方時，如圖8所示. 其求法與上述求法一致，點E可視為點C向左平移2個單位，再向上平移個單位得到的，即其坐標為E（-3，-4+）;

②以點C為圓心，以BC長為半徑畫圓弧，與直線x=-2又可得到兩個交點，如圖9所示. 過點C作直線x=-2的垂線，設垂足為點K，可求出DK=3，則點D的坐標為（-2，-1），利用平移法可得點E的坐標分別為（-1，2）和（-2，-7），而點（-2，-7）恰好位于直線BC上，無法構成菱形，需要舍去.

綜上可知，滿足條件的點E有四個，其坐標分別為（-1，2），（-3，-4+），（-3，-4-），（1，-3）.

反思建議

函數與幾何問題是初中數學的綜合性問題，其解析思維和突破方法較為復雜，從解析視角來看可分為幾何解析和代數運算推導. 幾何解析側重圖形特性分析，關鍵點位置推導，在定位時利用代數運算輔助思考，如利用中點坐標公式求點，聯立曲線與直線方程求點等. 而代數運算推導則側重構建方程，輔助利用幾何特性，最為顯著的是勾股定理、等腰特性構建方程，利用相似關系建立比例關系等.

開展函數與幾何考題探究教學，需要指導學生進行知識梳理，關注函數與幾何的關聯點，構建完善的知識體系. 強化基本方法，包括求解析式的方法、面積模型的構建技巧、等面積轉化方法等. 教學過程需注重思路講解，可采用設問的方式引導學生思考，逐步進行問題轉換，提升學生的數學思維. 函數與幾何問題的解法較多，探究過程可適度開展一題多解，引導學生全面探究考題，認識綜合性問題的解析視角，拓展解題視野.