巧用數學習題 培養數學能力

徐維東

[摘? 要] 在新課改的背景下，教學更加重視學生抽象思維能力、數學建模能力、邏輯推理能力等數學能力的培養. 那么要培養學生的數學能力，除了例題的精心設計和講解外，也應對習題進行拓展，選取具有代表性和延伸性習題，進行巧妙變換和適當引申，從而充分發揮習題功能挖掘學生潛能.

[關鍵詞] 習題;思維能力;應用能力

隨著新課改的深入，教學更加關注學生創新能力的培養，因此需要教師對習題進行有效擴充和挖掘，讓每個層次的學生都有所收獲，有所成長，從而實現共同進步. 那么如何巧用數學習題，培養學生的數學能力呢？

巧用一題多解，培養數學學習的興趣

數學的學習如果停留在煩瑣的計算和解題中，勢必讓學生感覺枯燥和乏味，無法激發學習的興趣. 同時，過多的同類題目的強化訓練也會造成思維疲勞和思維定式，影響學生思維的發展. 那么，如何利用習題培養學生的學習興趣呢？筆者認為，可以運用一題多解來培養學生的學習興趣. 對于同一題目，從不同角思考，向不同的方向延伸，這樣，不僅可以達到鞏固知識的目的，而且可以培養學生思維的靈活性和廣闊性，激發學生探究的樂趣，也有利于創新意識的形成和發展.

案例1? 哪家更優惠

某公司想組織員工去A地進行團建，現聯系了甲、乙兩家旅游公司，他們給出的原始報價相同，都為每人100元. 經過協商，甲公司可以給予每名員工八折優惠;乙公司給予六折優惠，但需要繳納1000元的保證金. 請問該公司選擇哪家旅游公司，價格更優惠？

分析：若設該公司參加的人數為x，根據甲的方案，需支付給甲公司80x元;根據乙的方案，需支付（60x+1000）元. 要知道哪個更優惠，也就是驗證80x與（60x+1000）哪個更小.

方法1：代數法

設該公司參加團建的人數為x，那么需支付甲公司80x元，需要支付乙公司（60x+1000）.

情況1：甲、乙費用相同，則80x-（60x+1000）=0，解得x=50.

情況2：乙優惠，則80x-（60x+1000）>0，解得x>50.

情況3：甲優惠，則80x-（60x+1000）<0，解得x<50.

方法2：函數圖像法1

設該公司參加團建的人數為x，支付甲公司的費用為y，支付乙公司的費用為y，則y=80x，y=60x+1000. 在同一直角坐標系中繪制函數圖像，如圖1.

y與y相交點的坐標為（50，4000），則觀察圖像可知：

（1）若x=50，y=y，即甲、乙兩家公司費用相同.

（2）若0<x<50，y<y，即甲公司更優惠.

（3）若x>50，y>y，即乙公司更優惠.

方法3：函數圖像法2

設該公司參加團建的人數為x，甲、乙公司的費用差為y，則y=80x-（60x+100），化簡得y=20x-1000. 如圖2為函數y=20x-1000的圖像.

函數與x軸交點的坐標為（50，0），根據圖像可得出以下結論：

（1）當x=50時，y=0，即甲公司費用等于乙公司費用.

（2）當x>50時，y>0，即甲公司費用大于乙公司費用.

（3）當x<50時，y<0，即甲公司費用小于乙公司費用.

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想知道哪家公司更優惠，也就是哪家公司所支付的費用少，轉化為數學問題即比較大小. 方法1的解題思路為通過代數法，直接作差，將其轉化為解不等式的問題，該解法因利于理解和接受，學生經常使用. 方法2，根據題意得出了兩個一元一次函數，利用交點（50，4000）和函數圖像，得出結論. 方法3，根據方法1的解題思路進行思考，又有效地應用了圖像，通過判斷正負來進行大小的比較.

方法1為常規解題思路，應用的學生較多. 方法2和方法3利用了函數模型和圖像模型，有效地培養了學生的建模能力，加深了學生對函數實際意義的理解，提升了學生的函數應用能力及函數建模的能力.

巧用一題多問，培養學生問題意識

數學學習過程也是不斷解決問題的過程，因而要學好數學，學生就應具備問題意識. 那么，要培養學生的問題意識，就需要學生會“質疑”，會“提問”，只有這樣，才能真正地發展學生的數學思維能力和創新能力.

案例2? 用問題拓展習題

如圖3，已知△ABC為等腰三角形，其中AB=AC，∠BAC=120°. D，E為BC邊上的點，且BD=AD，AE=CE，求∠DAE的度數.

師：根據已知條件，∠DAE的度數為多少？

生1：∠DAE是60°.

師：那根據已知，你們還想探究哪些問題呢？現在請大家說一說你們的想法.

生2：圖3中還有哪些圖是等腰三角形？

生3：△ABD與△ACE全等嗎？

生4：△ADE是什么三角形？

生5：若AB≠AC，∠DAE的度數是否可求呢？

讓學生根據已知條件和直觀感受提出問題，將一個問題轉化為若干問題，對題目進行有效拓展，發展了學生的思維能力. 尤其是生5問題的提出，將提問推向了高潮，極大地發揮了習題的功效，提升了問題的難度，增加了習題的廣度，同時，也潛移默化地強化了學生提出問題和解決問題的能力.

巧用多題一解，培養數學抽象思維

由于數學比較抽象，因此會使學生感覺數學的學習枯燥乏味，從心理上對其產生厭惡. 那么要改變這一現狀，可以采用多題一解，在習題中滲透抽象，運用習題組讓學生感知其共同屬性，親身經歷從特殊到一般的過程，從而將具體的問題抽象化，培養學生概括能力、邏輯分析能力，進而培養學生的數學抽象思維.

案例3? 增長率的探究

（1）因某商店進行清倉改造，現進行降價銷售，已知某款鋼筆原價為16元，經過兩次降價，現售價為4元，試求該鋼筆兩次降價的平均降價率.

（2）某化肥廠3月份銷售量為500t，因受市場競爭影響，4月份銷售量減少了10%，5月份公司改變營銷戰略，銷售量逐漸上升，到6月份銷售額已達648t. 該廠5、6月份的月銷售額平均增長率為多少？

（3）學校圖書館四個月共購買圖書1999本，已知第一個月購買344本，第二個月購買500本，若第三個月和第四個月購買圖書的增長率相同，那么第三個月和第四個月分別購買多少本？

師：請同學們分析一下，上面題目相同點是什么？

生1：三個題目都與平均增長率有關.

師：那請利用所學知識進行求解. （問題給出后，同學們開始積極地進行解題）

生2：第1題我是這樣解的，設平均降價率為x，得到的方程為16（1-x）2=4.

生3：第2題，根據題意可知，4月份的銷售額為500-500×10%=450，設5、6月份的平均增長率為x，列方程得450·（1+x）2=648.

生4：在第3題中，后兩個月買的圖書數量為1999-344-500=1155（本），設增長率為x，則500（1+x）+500（1+x）2=1155.

師：很好，那么通過上面的三個方程，看看有沒有什么發現？

生5：分析第2題的方程450（1+x）2=648，450為原有數，648為增長后的數，2表示連續增長了兩個月.

師：假如設原有量為a，現有量為b，平均增長率為x，增長次數為n，你們是否可以總結出公式呢？

三道題目均為增長率相關的應用題，教師將3道題目并列給出，其目的是讓學生通過特殊來尋找題目的一般規律. 題目最后，教師給出了假定值，引導學生可以總結歸納出在增長率相同的情況下，其共同遵循的等量關系. 通過等量關系的總結與歸納，不僅使學生再遇到與平均增長率有關問題時，可以靈活應對，提高解題效率，也會使學生形成數學抽象思維.

巧用生活實踐，培養學生數學應用能力

數學源于生活，因此選取生活中的實際問題更容易激發學生探究的熱情，在探究中，以解決實際問題為思維的生長點，增強學生解決問題的迫切感，從而收獲解決問題后的喜悅感，培養學生數學學習的自信心和數學應用能力.

案例4? 二次函數的應用

已知，小汽車的制動距離與車速的關系如表：

該型號的汽車在高速公路發生交通事故，現場對制動距離進行勘測，其制動距離為46.5 m，請問該汽車當時的車速為多少？若該路段限速110 km/h，該車是否超速？

題目分析：本題為根據統計進行推理，利用數據進行函數建模，運用函數進行實際問題的解答.

解題思路：

（1）學生根據統計表中的數據，在直角坐標系中描出相應的點.

（2）通過觀察點的分布，知曉各點分別在一條拋物線附近，因此可以通過二次函數進行模擬. 在表1中任取3點進行函數關系式的求解.

（3）將制動距離代入函數關系式，求得當時的車速.

習題中通過“是否超速”這一與生活息息相關的實例進行探究，易引發學生探究的興趣. 學生在統計推理的過程中充分地利用了統計分析、圖形建模、函數建模等相關內容，進而培養了學生的數學應用能力.

總之，教師要在千變萬化的數學題型中，進行精心篩選和合理利用，只有這樣才能達到利用習題拓展學生數學思維，培養學生數學能力的目的.