淺析模型思想在生活實際中的應用

樓珈池

[摘? 要] 模型思想是數學學習的靈魂，應用模型思想解決生活實際問題不僅能引領學生獲得知識與技能，還能促進學生數學思維的發展與解決問題能力的提升. 文章具體談談不等式模型、方程模型、函數模型與幾何模型在生活實際中的應用.

[關鍵詞] 不等式模型;方程模型;函數模型;幾何模型

史寧中教授認為：“數學學科的發展離不開抽象、推理、模型三種思想. ”其中，模型思想是2011版的新課標新增的一個核心詞，指用數學模型的方法解決問題的一種思想[1]. 它的形成主要依靠學生理解和體會數學現象與生活實際的聯系，從具體生活情境中抽取數學問題，再利用數學符號建立不等式、函數或方程等來表示問題中的規律變化或數量關系.

不等式模型思想在解決量與量關系中的應用

日常生活中的市場營銷、價格核定、統籌安排、盈虧以及生產決策等問題均需進行一定的數據分析，研究量與量之間的關系. 不等式就是研究這些問題之間量與量的關系的模型之一，它通過對問題中某個量的變化范圍的確定而解決問題. 用不等式（組）解決生活實際問題是近些年常見的考題，這就要求學生構建相應的模型思想，通過解題思路的拓展，解題規律的把握來提高解題能力[2].

例1? 李明用28元錢去購買作業本，若想購買5本兩種規格的作業本，使得本子的總頁數≥340頁，作業本的頁數與單價見表1，請為李明設計一種最節約的購買方案.

分析? 這道題涉及的不等關系有：①購買作業本的數量為5本，所花費的金額不超過28元;②作業本的頁數≥340頁. 根據這兩者的關系來建立不等式組則能讓問題迎刃而解.

解? 假設共購買x本作業本1，作業本2的數量為（5-x），根據題意列式：6x+5（5-x）≤28100x + 60（5-x）≥340，得1≤x≤3.

因為x是整數，所以x的值可取1、2、3，此時有三種購買方案：①若x的值為1時，用來購買作業本需要花費6×1+5×4=26（元）;②若x的值為2時，用來購買作業本需要花費6×2+5×3=27（元）;③若x的值為3時，用來購買作業本需要花費6×3+5×2=28（元）.

根據題意可知，李明購買一本作業本1、四本作業本2所花費的金額最少，且符合題目要求.

教師引導學生通過分析問題中所呈現的不等關系，建立不等式組，分類討論獲得相應的結果而解決問題，此解題過程就是模型思想的建立過程，學生通過解題而拓展思維. 新課標指出初中學生要初步運用數學思維解決生活中的一些問題. 不等式（組）的問題一般反映了生產實際與數學之間的聯系，它的模型建立是在學生有一定的分析能力的基礎上，由一些生活問題抽象而成，其模型思想的形成對解決生活中常見的數學問題具有重要的意義.

方程模型思想在解決數量等量關系中的應用

方程模型的建立能讓學生完成思維的飛躍. 等量關系是方程模型的“靈魂”，在我們的實際生活中到處都有數量等量關系的存在，方程模型作為研究等量關系的重要方法，能幫助學生從等量關系的各個角度描述、認識這個世界. 例如生活中常見的分期付款、濃度問題、行程問題、儲蓄利息、打折銷售等都可以抽象成方程模型以解決相應的問題.？搖

例2? 若想將20克15%的糖水、15克40%的糖水、純糖和純水四種物質配制出30克含糖量為20%的糖水.

（1）配制方案有哪幾種？

（2）若想盡量多地用糖水進行配制，應設計怎樣的配制方案？

分析? 用題設中的四種物質配制出30克含糖量為20%的糖水，可以有很多種方法：①用純糖和純水進行配制;②用20克15%的糖水加糖和水進行配制;③用15克40%的糖水加純水進行配制;④用15%的糖水與40%的糖水混合配制等.

每一種配制方法都對應著相應的方程組，例如第①種方案，用純糖與純水進行配制：

設需純糖x克，純水y克，列方程組為：x+y=30x=30×20% ，得x=6，y=24.

第②種方案，用20克15%的糖水加糖和水進行配制：設需純糖x克，純水y克，列方程組為：20×15%+x=30×20%，20+x+y=30，得x=3，y=7.

第一問的配制方法有很多，教師可引導學生根據每種配制方案列方程組進行解題. 第二問提出盡量多地使用糖水進行配制，考慮到15%的糖水一共只有20克，想要盡量多地使用糖水就得將20克15%的糖水完全用上，缺少的部分再使用40%的糖水和純水進行勾兌.

假設需使用濃度為40%的糖水x克，純水y克，列方程組為：20+x+y=30，20×15%+x×40%=30×20%. 得x=7.5，y=2.5.

為了配制出30克含糖量為20%的糖水，建立含有未知數（x、y）的等式方程組，通過未知數的求解而獲得問題的答案，這個過程就是方程模型的構建過程. 模型思想一旦建立，即使后期學習過程中忘掉具體的題目或一些知識，但只要使用這種思想就能夠解決與等量關系有關的問題. 這種影響是長遠的，具有前瞻性，是學生后繼學習與生活的保障.

函數模型思想在解決事物之間聯系中的應用

函數模型思想是解決一切事物之間聯系的首選方法，它反映和揭示了世間萬物的運動規律與數量關系. 隨著科技的發展，我們在生活中常常接觸到諸如造料價、最小成本、最優方案、最大獲利等問題，函數模型思想的滲透能有效地幫助學生抽象出這些問題的本質. 初中階段涉及的函數模型有一次函數、二次函數、正比例和反比例函數等，學生在這些函數模型思想的建立與應用中形成良好的數學邏輯思維，從而有效地提高解決實際問題的能力.

例3? 某公司食堂采購員提著竹籃（0.5斤）去菜市場，準備購買10斤草雞蛋，在往竹籃里裝草雞蛋時覺得雞蛋的數量跟平時有較大出入，便將裝著雞蛋的籃子稱了一下，共10.55斤，請問攤主應再給他多少雞蛋才夠足10斤（精確到整斤）？

分析? 假設賣家稱得雞蛋x斤，而實際重量是y斤，很容易發現賣家所稱重量與實際雞蛋的重量之間有著一定的聯系（正比例函數關系），根據這個關系可知賣家的秤存在怎樣的誤差.

解? 設稱得雞蛋為x斤，實際重量是y斤，竹籃的重量是0.5斤，因此增加的重量：10.55-10.5=0.05斤，據此可列式：y=x，x=10的時候，y≈9，10-9=1，因此賣家應再補一斤雞蛋給采購員.

本題粗看覺得攤販并沒有缺斤少兩的現象，連籃帶雞蛋比預想的10.5斤還多了0.05斤，但細細琢磨，賣家稱的是10斤雞蛋，竹籃重量為0.5斤，那么這0.05斤是從何而來呢？據此思考并分析，發現問題的關鍵在于秤存在一定的誤差. 只要找到問題的源頭，理清思路就能順藤摸瓜地解決問題. 問題在函數模型思想的使用中變得得心應手，毫不費力. 因此，函數模型思想的應用是解決一些具有內部聯系事物的首選方法.

幾何模型思想在解決測量關系問題中的應用

幾何是初中數學的重要內容之一，想讓學生領悟幾何的精髓與內涵，模型思想的滲透是必不可少的一個環節[3]. 生活中的車輪、花盆、顯示屏、自行車三角形的車架等都涉及幾何問題. 教師只要將這些問題轉化成相應的幾何模型，很多問題將迎刃而解.

例4? 因條件限制，無法直接測得小紅家到小明家的距離，你能設計出測量方案嗎？

分析? 為了便于學生理解題意，可將小紅家設定為A點，小明家設定為B點，想測得AB的距離可根據已學知識從不同角度去思考.

（1）從勾股定理的角度思考，構建一個直角三角形，求出AB的值;

（2）從等腰或等邊三角形的性質角度去思考，求出AB的值;

（3）從角形中位線的角度去思考，求出AB值.

……

起初，這個問題讓不少學生感到茫然，無從下手. 但從幾何模型的構建進行思考，解題思路瞬間豁然開朗. 但是，在課堂中仍有不少教師還是采取傳統的以理論講解為主，簡單畫圖為輔的教學方式，使得部分學生難以理解知識的內涵，導致學習信心的喪失. 因此，教師應充分發揮舵手的作用，引導學生遇到一些測量問題時，首先考慮用幾何模型思想去解決.

總之，數學模型思想可運用于生活實際中的各種問題，我們要在了解其價值的基礎上，弄清問題的性質，選擇合適的模型方法即可. 學生在模型思想的使用過程中體驗其本質，對生活中的數學現象產生更深的感悟，從而有效地突破解題過程中的思維障礙，為靈活運用模型思想夯實基礎.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]G.波利亞. 怎樣解題：數學思維的新方法[M]. 上海：上海科技教育出版社，2007.

[3]邱紅松. 初中幾何課堂教學過程重構與視頻案例研究[D]. 華東師范大學，2004.