借助“概念圖”搞好課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

袁健 李克民

[摘? 要] “尺規(guī)作圖”是初中幾何教學(xué)的重要內(nèi)容之一.很多一線教師僅僅把尺規(guī)作圖看作是技能訓(xùn)練，疏忽了畫(huà)圖原理的理解和畫(huà)法探究教學(xué)的過(guò)程價(jià)值，實(shí)際上尺規(guī)作圖中蘊(yùn)含著重要的邏輯推理能力和思維創(chuàng)新能力. 以“概念圖”為抓手引導(dǎo)學(xué)生從模型圖再到尺規(guī)作圖的教學(xué)過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生理解作圖的過(guò)程與合理性，是非常有益的教學(xué)嘗試.

[關(guān)鍵詞] 概念圖：解題教學(xué)：尺規(guī)作圖

問(wèn)題提出

蘇科版教材八年級(jí)上冊(cè)第1章第3節(jié)第7課時(shí)的基本的尺規(guī)作圖：

例題：從木工師傅的畫(huà)法中，你能找到直尺和圓規(guī)作角平分線的方法嗎？

作法：①以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交射線OA，OB于點(diǎn)C，D.

②分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)M.

③作射線OM.OM就是∠AOB的平分線.

教材分析

1. 教學(xué)目標(biāo)分析

本課課標(biāo)要求是“尺規(guī)作圖”中會(huì)作一個(gè)角的平分線，會(huì)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫(xiě)出作法. 常見(jiàn)的教學(xué)方法是出示作法并證明它的正確性，容易忽視作圖道理的呈現(xiàn)，這樣的教學(xué)過(guò)程難免有強(qiáng)塞的嫌疑，這樣的教學(xué)也不利于學(xué)生接受.由于八年級(jí)的學(xué)生還處于形象思維向抽象思維過(guò)渡時(shí)期，對(duì)抽象的表述不易接受，因此在教學(xué)過(guò)程中教師創(chuàng)造“模型圖”，并引導(dǎo)學(xué)生理解作圖的道理很有必要.

2. 設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)分析

為了更直觀地、完整地呈現(xiàn)尺規(guī)作圖的教學(xué)流程，筆者使用了“概念圖”，圍繞“節(jié)點(diǎn)”，“鏈接”不同“節(jié)點(diǎn)”，并附“有關(guān)文字標(biāo)注”來(lái)說(shuō)明不同節(jié)點(diǎn)的概念關(guān)系，讓所探究的“節(jié)點(diǎn)”清晰、學(xué)習(xí)任務(wù)明確、思維關(guān)系直觀，引導(dǎo)學(xué)生理解模型圖，規(guī)范作圖，提升抽象思維能力和作圖能力.

“尺規(guī)作圖”的功能與價(jià)值

尺規(guī)作圖能培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手的探索能力，能培養(yǎng)學(xué)生有條理的語(yǔ)言表達(dá)能力，協(xié)調(diào)發(fā)展學(xué)生合情推理和演繹推理的能力.在本課中設(shè)計(jì)三個(gè)作圖階段，體會(huì)尺規(guī)作圖的價(jià)值.

1. 關(guān)注課標(biāo)要求——低起點(diǎn)

在探究一個(gè)角的平分線的作法之前，先設(shè)置一個(gè)例題：如圖2，在△OMC和△OMD中，CO=DO，CM=DM，求證：∠COM=∠DOM.

例題所蘊(yùn)含的本質(zhì)規(guī)律有助于我們探究出正確的作圖過(guò)程，在探索問(wèn)題本質(zhì)的過(guò)程中，使學(xué)生認(rèn)知發(fā)生質(zhì)的飛躍.因此，接著通過(guò)“過(guò)直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線”的研究分析，相當(dāng)于作一個(gè)平角的平分線，把問(wèn)題從一般引入到特殊，強(qiáng)化對(duì)新知鞏固的同時(shí)，啟發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)的轉(zhuǎn)化、頓悟、強(qiáng)化.

在研究尺規(guī)作圖的過(guò)程中，筆者設(shè)計(jì)了概念圖（如圖3），充分鋪墊，構(gòu)造幾何模型，精心預(yù)設(shè)例題，讓學(xué)生更容易理解例題教學(xué)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用，夯實(shí)“雙基”，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

2. 基于學(xué)情——緩抬高

德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒曾指出：“我珍視類(lèi)比勝于任何別的東西，它是我最可依賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的.”

為了實(shí)現(xiàn)“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線”的幾何作圖，筆者類(lèi)比第一階段的作圖過(guò)程先引導(dǎo)學(xué)生完成一道預(yù)設(shè)的幾何證明例題，再探究尺規(guī)作圖的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)對(duì)該例題的思辨遷移功能，有意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生有條理的思考與表達(dá)的能力，進(jìn)一步感受思維的深刻性，提升邏輯思維能力，滲透類(lèi)比、轉(zhuǎn)化的基本思想.如圖4是概念圖的分析思維過(guò)程.

3. 構(gòu)造模型——翹尾巴

為了檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，筆者設(shè)置了一個(gè)尺規(guī)作圖問(wèn)題：用尺規(guī)作一條線段的垂直平分線. 通過(guò)圖5的概念圖分析，引導(dǎo)學(xué)生利用類(lèi)比、轉(zhuǎn)化思想獨(dú)立思考，啟發(fā)學(xué)生如何命制幾何證明題，并完成證明及作圖過(guò)程.

在這一階段的尺規(guī)作圖教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生將獨(dú)立思考與合作交流相結(jié)合，將動(dòng)手操作、幾何直觀、有條理的說(shuō)理相結(jié)合，關(guān)注學(xué)生如何想、怎樣做，訓(xùn)練逆向思維、發(fā)散思維，感受模型思想、推理思想.

歐拉曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)，需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn).”學(xué)生在幾何作圖中不僅積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且還通過(guò)觀察、操作、猜想、實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力.

教學(xué)過(guò)程（含教學(xué)片段）

環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)鞏固? 構(gòu)建聯(lián)系

問(wèn)題1：我們學(xué)習(xí)了哪些證明兩角相等的方法？

分析：證明兩角相等的方法主要有：對(duì)頂角相等，同角 （或等角 ）的余角相等，同角 （或等角 ）的補(bǔ)角相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，平行線中的同位角和內(nèi)錯(cuò)角都分別相等，角平分線分得的兩個(gè)角相等. 結(jié)合尺規(guī)的特點(diǎn)，要在角的內(nèi)部找一點(diǎn)，筆者引導(dǎo)學(xué)生用“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”來(lái)證明.

問(wèn)題2：如圖6，在△OMC和△OMD中，CO=DO，CM=DM，求證：∠COM=∠DOM.

分析：前面幾節(jié)新課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了證明三角形全等的方法，如SAS，ASA，AAS，SSS，HL. 通過(guò)概念圖的三角形全等的判定這個(gè)節(jié)點(diǎn)入手，分析本題的已知條件，不難發(fā)現(xiàn)除了已知以外，還有一個(gè)公共邊的隱含條件. 證明三角形全等后，便可證明要求證的角相等，為尺規(guī)作圖的依據(jù)做鋪墊.葉圣陶先生曾說(shuō)過(guò)：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受益，還得靠教師善于運(yùn)用. ”這樣的設(shè)計(jì)讓學(xué)生小步子、緩臺(tái)階、易接受，符合學(xué)生的學(xué)情.

環(huán)節(jié)2：生活情境? 分析轉(zhuǎn)化

問(wèn)題3：木工師傅常常利用角尺平分一個(gè)角，如圖7，在∠AOB的兩邊OA，OB上分別取OC=OD，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)C，D重合，這時(shí)過(guò)角尺頂點(diǎn)M的射線OM就是∠AOB的平分線.請(qǐng)你說(shuō)明這樣畫(huà)角平分線的道理.

分析：這是一個(gè)生活情境，滲透工人師傅使用角尺作一個(gè)角平分線的方法所蘊(yùn)含的道理，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究角被平分的原因，理解問(wèn)題、分析問(wèn)題，學(xué)生不難想到將已知條件轉(zhuǎn)化為環(huán)節(jié)1中證明兩個(gè)三角形全等的條件“三邊分別相等”，進(jìn)而把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，順利證明角被平分.

環(huán)節(jié)3：模型替換？搖 尺規(guī)作圖

問(wèn)題4：從木工師傅的畫(huà)法中，你能找到直尺和圓規(guī)作角平分線的方法嗎？怎樣使用尺規(guī)作圖呢？（結(jié)合概念圖引導(dǎo)學(xué)生從理解到表達(dá)）

【教學(xué)片段1】

關(guān)鍵點(diǎn)1：結(jié)合圖7，確定模型，在OA，OB上分別截取點(diǎn)C，D.

生1：我們可以將木工師傅在OA，OB上分別取的OC=OD用圓規(guī)截出.

教師：怎樣得出這一步的作法？

生2：以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交射線OA，OB于點(diǎn)C，D

教師：怎么理解任意長(zhǎng)為半徑？

生3：長(zhǎng)度不唯一，但是也得受圓規(guī)張開(kāi)度的限制，所以實(shí)際上也是限制了長(zhǎng)度的.

教師：很棒！考慮得符合實(shí)際. 接下來(lái)，我們?cè)撛趺从贸咭?guī)作圖呢？

關(guān)鍵點(diǎn)2：結(jié)合圖7，在∠AOB的內(nèi)部確定點(diǎn)M.

生4：依照木工師傅的模型圖，我們確定點(diǎn)M的位置分別以點(diǎn)C，D為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)M.

生5：（有幾個(gè)同學(xué)看起來(lái)很著急，躍躍欲試的樣子，此時(shí)筆者假裝鎮(zhèn)定叫一名學(xué)生回答）老師，不能以任意長(zhǎng)為半徑作弧，如果以小于CD的長(zhǎng)為半徑作兩弧是沒(méi)有交點(diǎn)的，應(yīng)該以大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧.

教師：半徑能剛好等于CD嗎？

生6：應(yīng)該可以，這時(shí)兩條弧相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，但是由于實(shí)際作圖的鉛筆畫(huà)線有粗有細(xì)，兩弧切點(diǎn)的位置很難確定，選擇以大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧更容易交于角內(nèi)一點(diǎn)作射線OM，OM就是∠AOB的平分線.

環(huán)節(jié)4：鞏固應(yīng)用? 承上啟下

思考：點(diǎn)P在直線AB上，如何用直尺和圓規(guī)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線？

分析：結(jié)合概念圖，本小題用直尺和圓規(guī)所作的垂線，可以轉(zhuǎn)化為作一個(gè)平角APB的平分線所在的直線，將歸納角平分線的尺規(guī)作法特殊化，進(jìn)而解決了“過(guò)直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線”的作法，這樣不僅應(yīng)用了角平分線的作法，而且引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，起到了承上啟下的作用.

環(huán)節(jié)5：自主探究? 小組討論

如圖8，PC=PD，QC=QD，PQ，CD相交于點(diǎn)E，你能證明PQ⊥CD嗎？

分析：用概念圖引導(dǎo)，本題要進(jìn)行兩次全等證明. 具體是本題從結(jié)論入手，要證PQ⊥CD，可以轉(zhuǎn)化為證∠PED=90°，即∠PED=∠PEC;要證這兩個(gè)角相等，只需證△PCE≌△PDE. 從已知條件PC=PD和隱含條件PE=PE上看，缺少“兩個(gè)夾角相等（∠CPQ=∠DPQ）”的條件，而這兩個(gè)夾角又在△PCQ和△PDQ中，需要用“SSS”的方法證明△PCQ≌△PDQ，進(jìn)而證得∠CPQ=∠DPQ.

環(huán)節(jié)6：模型再套 ？搖尺規(guī)作圖

解決問(wèn)題：用直尺和圓規(guī)經(jīng)過(guò)直線AB外一點(diǎn)P作AB的垂線.

【教學(xué)片段2】

關(guān)鍵點(diǎn)3：在直線AB上確定C，D兩點(diǎn).

教師：結(jié)合圖8，理解模型，如何用尺規(guī)確定C，D兩點(diǎn)？

生7：可“復(fù)制”圖8中的PC=PD，如圖9，以點(diǎn)P為圓心，大于P到CD的距離為半徑作弧，使它與AB交于點(diǎn)C，D.

教師：為什么要以大于P到CD的距離為半徑作弧？

生8：否則以點(diǎn)P為圓心畫(huà)弧無(wú)法與直線AB相交于兩點(diǎn).

關(guān)鍵點(diǎn)4：確定點(diǎn)Q.

教師：要過(guò)點(diǎn)P作出AB的垂線，只要再確定一個(gè)點(diǎn)Q就可以了，因?yàn)椤皟牲c(diǎn)確定一條直線”，結(jié)合圖8，那么該怎樣確定點(diǎn)Q呢？

生9：由CQ=DQ可知，分別以C，D為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑在AB的同側(cè)作弧，兩弧將于點(diǎn)Q.

生10：連接PQ，直線PQ就是經(jīng)過(guò)直線AB外一點(diǎn)P的AB的垂線.

教師用括號(hào)概念圖板書(shū)小結(jié)：

作一角的平分線作法依據(jù)模型圖

作一直線的垂線作法依據(jù)模型圖？搖？搖

環(huán)節(jié)7：回顧反思？搖 總結(jié)方法

從遺忘的角度來(lái)看，學(xué)生忘記作圖步驟、忘記知識(shí)點(diǎn)很正常，但從記憶的角度來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)知識(shí)點(diǎn)能從理解接納的層面被學(xué)生吸收，成為學(xué)生內(nèi)化的技能，則不易出錯(cuò)也不易遺忘[1]. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖痕跡[2]. 于是，在每次作圖前，筆者引導(dǎo)學(xué)生先理解作圖的依據(jù)，正所謂“知其然，知其所以然”，接著再歸納尺規(guī)作圖的方法.

環(huán)節(jié)8：拓展延伸？搖 鏈接課外

尺規(guī)作圖：如何作一條線段的垂直平分線？依據(jù)是什么？

說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)獲得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)正遷移，嘗試進(jìn)行獨(dú)立探究，提升解題能力.

查閱資料：了解幾何的尺規(guī)作圖三大難題，分別是化圓為方、三等分任意角以及倍立方問(wèn)題.

教學(xué)啟示

1. 設(shè)計(jì)模型圖，低起點(diǎn)，緩爬坡，“概念圖”引領(lǐng)解題過(guò)程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)[2]. 本節(jié)的尺規(guī)作圖教學(xué)，筆者引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)判定三角形全等的基礎(chǔ)上構(gòu)建模型圖，再探究尺規(guī)作圖，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，把即將生成的知識(shí)點(diǎn)靠近了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維能力和作圖能力.

使用概念圖串聯(lián)作圖的生成過(guò)程，可以幫助教師從整體上把握本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)、脈絡(luò)與框架，對(duì)教材進(jìn)行深度分析培養(yǎng)了學(xué)生“從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出問(wèn)題，分析問(wèn)題并解決問(wèn)題”，概念圖引領(lǐng)了知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程，提升了解題能力.

2. 慢慢滲透作圖過(guò)程，理解作圖依據(jù)，感受尺規(guī)作圖的嚴(yán)謹(jǐn)性

《朱子語(yǔ)類(lèi)》卷九《論知行》篇中提出：知其然，知其所以然. 引申的意思是既知道事物的表面現(xiàn)象，也知道事物的本質(zhì)及其產(chǎn)生的原因.本課的尺規(guī)作圖教學(xué)，筆者采用了逆向思維先引導(dǎo)學(xué)生思考證明兩角相等的方法，再建構(gòu)模型引導(dǎo)學(xué)生理解尺規(guī)作圖的證明依據(jù)，學(xué)生更深刻地理解了為什么這么做，體會(huì)了“具象—抽象”的辯證過(guò)程，感受解題的快樂(lè).

奧蘇伯爾的“有意義學(xué)習(xí)理論”，即學(xué)習(xí)者必須積極主動(dòng)地使新舊知識(shí)不斷分化重新組織，才能轉(zhuǎn)化為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這個(gè)有意義學(xué)習(xí)是一個(gè)主動(dòng)的過(guò)程. 概念圖引導(dǎo)學(xué)生借助模型圖進(jìn)行尺規(guī)作圖，積累了學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]張逸. 做有素養(yǎng)的教師? 培養(yǎng)有素養(yǎng)的學(xué)生——以“作一個(gè)角等于已知角”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（08）.

[2]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社， 2011.