知識重組 一線串通 技術融合

蘇國東

[摘? 要] 教材“正方形”的內容不到兩頁篇幅，教學中對內容的處理直接影響正方形在本章的地位及作用. 筆者從拓展教材、重組整合、重設題目、技術融合的角度，設計了一節別出心裁的新授課，凸顯學生的主體地位，取得較顯著效果.

[關鍵詞] 別出心裁;正方形;新授課

引言

人教版八年級教材[1]“正方形”一課的內容不到兩頁篇幅，教學中對內容是照本宣科，還是改造重組，直接影響著正方形在本章所處的知識地位和發揮作用. 筆者經過研究，設計了一節別出心裁的“正方形”新授課，經教學實踐，效果顯著.

教學案例

1. 創設情境，講授新知

（1）知識回顧. ？搖

教師在幾何畫板中制作兩個平行四邊形，邀請兩位學生上臺操作，經歷矩形和菱形的生成過程. 一位把平行四邊形的一個角拖動成直角得到矩形，一位把一組鄰邊拖動至相等得到菱形. 教師點擊動畫按鈕一步步呈現矩形和菱形的定義，如圖1.

教學分析? 對舊知不能三言兩語帶過，而是重現其生成過程，利用幾何畫板搭建學生展示的平臺，有效激發其學習興趣.

（2）正方形的定義.

教師設問：“如果把平行四邊形的角特殊化后再把邊特殊化，或把邊特殊化后再把角特殊化，會變成什么圖形？”學生充滿了好奇心. 教師邀請學生上臺嘗試操作，均得到了正方形. 仿照上述定義，師生共同得出正方形的定義，如圖2.？搖

教學分析? 有了矩形、菱形的鋪墊，進一步把邊和角特殊化就顯得合情合理了. 兩種方式殊途同歸，學生對正方形的產生過程有了深刻理解，定義也就水到渠成了. 實際上，在這個過程中已經把正方形的判定教給了學生，只欠規范表述.

（3）正方形的判定.

“能否用一幅圖簡潔表示整個變化過程？”教師引導學生一步步畫出圖3，借助圖中各種四邊形的符號在黑板上寫出三個“等式”，即正方形的判定方法：

判定1：+一個直角+一組鄰邊相等=□（定義）;

而+一個直角=□，所以“判定2：□+一組鄰邊相等=□”;

同理，+一組鄰邊相等=◇，所以“判定3：◇+一個直角=□”;

把判定2和判定3結合起來，有“判定4：□+◇=□”.

教學分析? 基于前面環節的巧妙設計，學生已能夠把親歷的變化過程表示成關系圖，得出判定方法，本環節也是對本章各種圖形判定的一次有效回顧. 用簡潔的式子更能體現各種聯系，有助于記憶.

（4）正方形的性質.

教師用集合形式表示出幾種四邊形的包含關系，讓學生填寫正方形的位置（圖4），由此得出：正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形.

因此正方形具有它們所有的性質，教師請一位學生上臺探索正方形的性質，在表1的相應空格打“√”.

學生在填表中更發現了技巧：先勾選平行四邊形的性質，由于后三種都是特殊的平行四邊形，所以平行四邊形的性質都勾選;再勾選矩形特有的性質，正方形是特殊的矩形，所以矩形的性質也都勾選，菱形也一樣處理.

最后把正方形所有的性質分類匯總（結合圖5），板書如下：

邊： ________________________角： ________________________對角線__________________________________________？搖 軸對稱性： ___________________

教學分析? 正方形的性質不是孤立存在的，本環節借助表1把各種四邊形的性質再次聯系起來，讓學生更能理解它們的聯系和區別，也對本章各種圖形的性質進行了全面梳理. 從探究填表到括號歸類，符合學生的認知規律.

2. 鞏固新知，學以致用

1. 矩形、菱形、正方形都具有的性質是（? ? ? ）

A. 四邊相等

B. 四個角都為直角

C. 對角線互相垂直

D.對角線互相平分

2. 正方形添加一條對角線后，圖形中共有________個________三角形，若添加兩條對角線，則圖形中共有____個________三角形.

3. （2014蘇州改編）如圖6，正方形ABCD中，∠ADB=______°，若AC=2，則BC=______，正方形的周長為______，面積為______.

4.（2014?？谄谀┤鐖D7，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，則CFDE______正方形（“是”或“不是”）.

5. （2005天津改編）四邊形ABCD中，O是對角線交點，能判定它是正方形的條件是（? ? ? ）

A. AB∥CD，AB=CD，AC=BD

B. AO=CO，BO=DO，AC⊥BD

C. AO=BO=CO=DO，∠ABC=90°

D. AB=BC=CD=DA，∠A=∠B

6. 如圖8，E，F，G，H分別是正方形ABCD四邊上的動點，且AH=BE=CF=DG. 求證：四邊形EFGH是正方形.

第1題、第2題、第4題全體學生基本達標. 第3題求BC的長時學生提出了三種解法，教師利用希沃白板的克隆功能克隆出了兩幅圖供三人（三種解法）上臺講解：一位借助△ABC從斜邊算出直角邊;一位聯系第2題利用△BOC從直角邊算出斜邊;一位聯想到等面積法，利用正方形的面積S=BC2=AC·BD求出BC.

第5題各選項均有較多條件，教師以A項作示范：由“AB∥CD，AB=CD”可得平行四邊形（在上方畫？荀），添加AC=BD得出矩形（寫成：？荀+“AC=BD”=□）. 學生仿照此法完成其他選項的講解.

第6題需要綜合運用性質和判定. 作為解答題，教師先作前半部分的板書示范，讓學生規范書寫余下過程. 教師使用希沃授課助手把學生的解答拍照上傳到希沃白板中，再請該學生上臺講解，教師點評. 為了讓學生進一步體會該題的內涵，教師利用幾何畫板拖動EFGH的頂點，在變化過程中驗證它始終是正方形，并讓學生思考：EFGH的面積是否存在最大值和最小值？

教學分析? 題目質量直接影響學習效果，本環節題目經設計改編，由淺入深，又深入淺出. 把題目條件轉化為帶符號的式子，提煉出高效解法，培養學生多角度分析問題的能力，進一步提升知識應用能力.

3. 拓展運用，探究提升

（1）方法拓展.

第5題的A項、B項、C項都利用了對角線來判定四邊形的形狀，教師引導學生把對角線的方法添加到圖3中. 結合判定4——“□+◇=□”——學生認識到判定正方形還可以走對角線這條路，逐步完善關系圖（圖9）.

通過齊答和個別提問的形式完成第7題，鞏固新學的判定方法：

7. 滿足下列條件的四邊形是不是正方形？

（1）對角線互相垂直的矩形. （? ? ? ）

（2）對角線相等的菱形. （? ? ? ）

（3）對角線互相垂直且相等的平行四邊形. （? ? ? ）

（4）對角線互相垂直平分且相等的四邊形. （？搖？搖? ? ）

教學分析? 教學設計注重層次性和邏輯性：前面環節學習和鞏固了邊和角的判定方法，本環節再進一步學習對角線的方法，學生不易混淆. 第5題又為對角線做了鋪墊，使本環節更加順暢.

（2）探究提升？搖.

8. （2012呼倫貝爾改編）如圖10，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC.添加一個條件使四邊形EDFA是正方形，請至少寫出兩種添加方法. （不需要證明，可添輔助線）

教師引導學生先獨立思考，再進行組內交流，利用希沃白板的計時器計時. 學生積極性高，思路開闊，找到了多種方法. 教師提前制作幾何畫板課件，邀請幾位學生上臺進行“添加輔助線”“拖動A點”等操作并講解.

生1：添加∠A=90°. 由三個直角得到矩形，連接AD，“三線合一”得AD是角平分線，DE=DF，所以EDFA是正方形，跟第4題一樣.

生2：添加DE∥AC. 通過同旁內角也能得到∠A=90°.

生3：基于生1的做法，還可證出△AED≌△AFD，AE=AF，所以AEDF的四邊相等是菱形，加上直角就是正方形.

生4：添加E是AB的中點. 這時DE是△ABC的中位線，也能得到DE∥AC.

師：添加E是AB的中點后還有其他證法嗎？利用生1連接的AD？

生5：“三線合一”得出△ABD是直角三角形，DE是斜邊的一半，可得AE=ED，后面跟生3一樣.

師：很好，生1、生2、生4都用到了“□+一組鄰邊相等=□”，生3、生5都用到了“？荀+一個直角=□”（教師在板書）. 還有同學挑戰嗎？

生6：連接AD，前面的同學已證出AE=AF，DE=DF，故AD垂直平分EF. 我添加EF平分AD（圖11）. 這時AEDF是平行四邊形，然后對角線垂直就是菱形，加上直角就是正方形.

師：他從平行四邊形入手，還用上了剛學的對角線的判定方法. 非常精彩?。ㄅ_下陣陣掌聲）

教學分析? 通過一道添條件的開放性問題，貫通了從矩形、菱形到正方形轉化的知識脈絡，學生思如泉涌，創新意識強，通過交流展示、一題多解，將整堂課的氛圍推向了最高潮.

4. 課堂小結，深化理解

通過教師引導，學生自主分享的方式進行小結，根據分享的內容，用希沃白板的思維導圖工具逐一呈現，如圖12.

教學分析? 梳理本課知識框架，總結解題方法. 思維導圖工具能幫助師生將思考過程變得可視化，提升環節參與度.

設計與反思

1. 明確要求，拓展教材

教材內容不足兩頁（P58～59），指出了正方形各邊、各角相等，具有矩形、菱形的性質，要求學生表示出各種四邊形的關系，沒有具體表述各種性質判定. 《標準》[2]的內容定位是探索并證明正方形的性質判定，正方形具有矩形、菱形的一切性質，層次較高但內容不夠具體. 《考綱》[3]的考查內容則比較詳細，對本課的各種性質判定基本都做了明確表述. 《標準》《考綱》對矩形、菱形的要求和表述則基本一致.

可能考慮到正方形在小學已有接觸，相關性質判定在前三種圖形中已給出證明和應用，所以教材在這一課花的筆墨較少，但教學和考核標準與前三種圖形是一致的，這決定了本課需要拓展教材，定出詳細具體的教學內容.

2. 重組整合，一線串通

結合前三種圖形對應的教材內容和《標準》《考綱》的要求，確定了本課各種性質和判定的具體內容. 若按傳統順序“給出定義、總結性質、證明判定”來教，一是不具備連貫性，二是相當于照搬矩形、菱形的教學，花費的時間更多. 另外，考慮到教材對各種四邊形的關系也作了要求，故需重組內容.

經研究，正方形的定義及推導過程就是它的各種判定，按“定義、判定、性質”的順序更連貫. 正方形作為最特殊的四邊形，定義推導應從平行四邊形開始，要涵蓋前三種圖形并總結各種四邊形的關系，因此本課必須整合本章內容. 最終確定為“從平行四邊形變成菱形、矩形再變成正方形”，通過這一過程，把各種四邊形的定義、判定、性質及關系一線串通.

3. 切合目標，重設題目

本課的教學目標是掌握正方形的定義、性質和判定，了解各種四邊形之間的關系，能正確運用性質判定解決相關問題. 教材包括的一道例題、六道練習題，對圖形性質和判定的運用考查力度、范圍不足，不可照搬，部分需重新設計.

擇優選用教材題目，如第2題、第6題、第7題源于P59例5、P62習題14、P60練習3;第5題原創，一題考查多種圖形判定;其余選自或改編中考題和經典考題. 以達到內容全面覆蓋教學，難度有層次提升，解法能發展能力、體現思維素養的目的.

4. 技術融合，凸顯主體

《標準》指出“應重視學生在學習活動中的主體地位”. 本課結合幾何畫板、希沃白板、希沃授課助手等新媒體新技術搭建平臺，設計了多項以學生為主體的教學活動：在新知環節讓學生參與探究圖形變化、填表歸納;在練習環節拍照展示，鼓勵學生合作交流、一題多解.

學生在學習中增強了表達能力和創新應用意識，培養了勇于探索質疑的寶貴精神，提升了核心素養和關鍵能力. 新媒體新技術創設出了新的課堂教學模式，讓課堂具有更強生成性，煥發出生命活力.

參考文獻：

[1]李龍才等. 義務教育教科書·數學八年級下冊[M]. 北京：人民教育出版社，2013.

[2]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]廣州市教育研究院. 2019年廣州市初中畢業生學業考試指導書·數學[M]. 廣州：廣東教育出版社，2019.