利用對稱性解二次函數中面積相等及角相等的問題

夏滿

【摘要】二次函數是初中數學中的重要內容，也是難點之一，此處知識點多，題型復雜多變，大多是二次函數結合幾何圖形進行考查.在本文中，作者基于自己的教學體會對知識點逐一剖析，供大家參考.

【關鍵詞】二次函數;對稱性;面積相等;角相等

一、知識點剖析

如圖1，在線段AB外有一點C.

（1）過點C作直線m∥AB，如圖2所示，

則直線m上任意一點D與點A，B構成的三角形的面積與△ABC的面積相等.

（2）作點C關于直線AB的對稱點C′，如圖3所示.

①過點C′作直線n∥AB，則直線n上任意一點D與點A，B構成的三角形的面積與△ABC的面積也相等;

②連接AC′，BC′，則△ABC≌△ABC′，有對應邊相等，對應角相等.

二、典例賞析

如圖4，拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，交y軸的正半軸于點C，點D為拋物線的頂點，點P在x軸上，連接PC.

（1）若∠PCB=∠CBD，求點P的坐標.

（2）在上一問的條件下，若點P在線段OB上，在拋物線上是否存在點M，使得S△PCB=S△MCB？若存在，求出點M的坐標.

解 （1）①點P在點B的左邊.

如圖5所示，過點C作直線l∥BD，此時直線l與x軸的交點即為點P1.

由拋物線的函數解析式，易得A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4），

∴直線BD的函數解析式為y=-2x+6.

∵l∥BD，∴設直線l的解析式為y=-2x+b.

將C（0，3）代入，解得b=3，∴直線l的解析式為y=-2x+3.

將y=0代入y=-2x+3，解得x=1.5，

∴P1（1.5，0）.

②點P在點B的右邊.

方法一：利用對稱性.

如圖6所示，作點P1關于直線BC的對稱點P′1，連接P1P′1交CB于點E，連接CP′1與x軸交于點P2.

∵B（3，0），C（0，3），

∴直線BC的函數解析式為y=-x+3.

設直線P1P′1的函數解析式為y=kx+b.

∵P1P′1⊥CB，∴-1×k=-1，解得k=1.

將P1（1.5，0）代入y=x+b，解得b=-1.5，∴y=x-1.5.

∵點E為BC，P1P′1的交點，∴-x+3=x-1.5，解得x=94.

將x=94代入y=x-1.5，解得y=34，∴點E的坐標為94，34.

∵點E為P1P′1的中點，∴點P′1的坐標為（3，1.5），

∴直線CP′1的函數解析式為y=-12x+3.

將y=0代入y=-12x+3，解得x=6，∴P2（6，0）.

方法二：構造全等形.

∵直線BC的函數解析式為y=-x+3，∴∠CBP1=45°.

如圖6所示，過點B作直線a⊥x軸，截取BP′1=BP1，∴△BCP1≌△BCP′1（SAS）.

∵B（3，0），P1（1.5，0），∴BP1=BP′1=1.5，∴點P′1的坐標為（3，1.5）.

設直線CP′1的函數解析式為y=kx+b，

將C（0，3），P′1（3，1.5）代入，可求得y=-12x+3，

再將y=0代入y=-12x+3，解得x=6，∴P2（6，0）.

（2）由上一問可知點P（1.5，0）.

①點M在線段CB的下方.

如圖8所示，過點P作直線m∥CB，交拋物線于點M1，M2，此時S△PCB=S△MCB（同底等高，面積相等）.

∵點P在線段OB上，∴P（1.5，0），

∴直線m的函數解析式為y=-x+1.5.

∵點M1，M2為直線m與拋物線的交點，

∴-x+1.5=-x2+2x+3，解得x1=-15+32，x2=15+32，

將x1=-15+32，x2=15+32分別代入y=-x+1.5，解得y1=152，y2=-152，

∴M1-15+32，152，M215+32，-152.

②點M在線段CB的上方.

方法一：利用對稱性.

由上一問的“對稱性解法”可知，點P關于BC的對稱點P′的坐標為（3，1.5）.

如圖9所示，過點P′作直線n∥BC，交拋物線于點M3，M4，此時S△PCB=S△MCB.

由題意可得直線n的函數解析式為y=-x+92.

∵點M3，M4為直線n與拋物線的交點，

∴-x+92=-x2+2x+3，解得x1=-3+32，x2=3+32，

將x1=-3+32，x2=3+32分別代入y=-x+92，解得y1=3+62，y2=6-32，

∴M3-3+32，3+62，M43+32，6-32.

方法二：構造全等形.

如圖10所示，由上一問的“構造全等形解法”可知，過點B作直線a⊥x軸，截取BP′=BP，則△BCP≌△BCP′（SAS）.

∵B（3，0），P（1.5，0），∴BP=BP′=1.5，

∴點P′的坐標為（3，1.5）.

過點P′作直線n∥BC，交拋物線于點M3，M4，此時S△PCB=S△MCB.

由題意可得直線n的解析式為y=-x+92.

∵點M3，M4為直線n與拋物線的交點，

∴-x+92=-x2+2x+3，

同上可得M3-3+32，3+62，M43+32，6-32.

三、結 語

二次函數中面積相等和角相等的問題，它們的解法有很多類似的地方.找角相等可利用平行線的性質“兩直線平行，內錯角相等”;找面積相等則可利用“平行線間的距離相等”.而問題的難點在于如何將其他情況利用已掌握的知識加以解決.本文給出了兩種方法：①利用對稱性;②構造全等形.對比兩種解法，我們可以發現“構造全等形解法”較為簡便，但是具有局限性，如題目中出現30°，45°，60°等特殊角時可以采用，若問題中給出的不是特殊角，該方法可能就無法使用.“對稱性解法”能解決的問題較為廣泛.兩種解法都要掌握.

【參考文獻】

[1]陳汝作，錢耀邦.初中數學解題技巧[M].上海：東方出版中心，1995.