從“函數的零點”出發論解題教學

王霞

【摘要】函數的零點問題是高中數學函數部分的重要內容，它作為函數方程與圖像知識的交匯點，充分體現了函數與方程的聯系，蘊含了豐富的數形結合思想.教學中，教師應基于學生已有的知識水平，讓他們通過實際體驗探究，準確理解應用零點的概念和零點存在性定理，提高解題能力和邏輯思維能力.

【關鍵詞】函數的零點;零點存在性定理;數形結合;解題教學

一、問題導出

設函數f（x）=1/2ax2-1-ln x，其中a∈R.

（1）若a=0，求過點（0，-1）且與曲線y=f（x）相切的直線方程;

（2）若函數f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.本文主要研究問題（2）.

二、解題過程分析

解法1：從函數本身出發，利用導數分析函數單調性、極值、最值，結合函數有兩個零點得出最值大于零或者小于零，從而求出a的取值范圍.

f ′（x）=ax-1/x=ax2-1/x，x>0.

①若a≤0，則f ′（x）<0，所以函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，從而函數f（x）在（0，+∞）上至多有1個零點，不符合題意，舍去.

②若a>0，由f ′（x）=0，解得x=1/a.

當01/a時， f ′（x）>0，函數單調遞增.

所以f（x）min=f 1/a=1/2-ln 1/a-1=-1/2-ln 1/a.要使函數f（x）有兩個零點，首先有-1/2-ln 1/a<0，解得0

下面利用零點存在性定理驗證：當0

零點存在性定理：一般地，若函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）上有零點.若加上條件函數y=f（x）在區間[a，b]上是單調函數，則函數y=f（x）在區間（a，b）上有唯一零點.

當01/e>1/e，

因為f 1/e=a/2e2>0，故 f 1/e·f 1/a<0，又函數f（x）在1/e，1/a上單調遞減，且其圖像在1/e，1/a上連續不間斷，所以函數f（x）在區間1/e，1/a內恰有1個零點.

第一個零點所在區間容易找到，尋找第二個零點所在區間相對較難，此時可以考慮用放縮法來處理.因為函數f（x）中含有ln x，自然想到函數不等式ln x≤x-1，

所以f（x）=1/2ax2-1-ln x≥1/2ax2-x.

令1/2ax2-x=0，得x=2/a，所以f 2/a≥0.又因為2/a-1/a=2-a/a>0，故2/a>1/a.因為f 1/a·f 2/a≤0，且f（x）在區間1/a，+∞上單調遞增，又圖像連續不間斷，所以f（x）在區間1/a，2/a上恰有1個零點.

綜上，a的取值范圍是（0，e）.

解法2：因為f（x）=1/2ax2-1-ln x有2個零點，則方程 1/2ax2-1-ln x=0有2個根，即方程a=2（1+ln x）/x2有兩個根，進而可知函數y=a與y=2（1+ln x）/x2的圖像有兩個交點.

設h（x）=2（1+ln x）/x2，h′（x）=-2（1+2ln x）/x3，有h′（x）=0且x>0，解得x=1/e.

當00;當x>1/e時，h′（x）<0.所以h（x）max=h1/e=e.當x>1/e時，

h（x）>0恒成立，利用數形結合思想，作出h（x）的大致圖像，根據函數y=a與y=h（x）的圖像有兩個交點，得0

但上述解題過程不夠嚴謹，下面需要驗證：當0a，所以要在區間0，1/e和1/e，+∞內分別找到x1和x2，使得h（x1）

小結：上述解題過程呈現了解決函數零點問題的兩種基本方法.

（1）零點存在性定理：利用導數研究函數的單調性和極值，進而得出函數的大致圖像，再結合零點存在性定理研究零點的個數問題.

（2）轉化法（數形結合）：由函數y=f（x）存在零點轉化為方程f（x）=0有解，進而“參變分離”轉化為函數y=a與函數 y=f（x）或者函數y=g（x）與函數y=h（x）的圖像交點問題.

在平時解決問題的過程中，選擇題和填空題利用數形結合較多，且無須非常嚴謹地找出零點所在區間.但在解決零點問題的綜合性題目時，必須嚴謹地找出零點所在區間，這也是解決零點問題的難點所在.所以，教師在教學過程中要循序漸進，深入淺出.

三、聯想拓展

利用放縮法尋找函數零點所在區間時，需要找到合適的函數不等式.一般地，我們可以借助曲線上某點處的切線方程來構造函數不等式，達到放縮目的.比如，函數y=ex在x=0處的切線方程是y=x+1，結合圖像得ex≥x+1;函數y=ex在x=1處的切線方程是y=ex，可得ex≥ex.又如，

函數y=ln x在x=1處的切線方程是y=x-1，結合圖像得ln x≤x-1.放縮法實際上就是將ex，ln x等函數放縮成關于x的多項式.

教師在教學中，對學有余力的學生可以適當進行拓展，補充極限知識、洛必達法則等.例如，解法1中的第二個零點的證明可以改為f（x）=1/2ax2-1-ln x+x-x=x1/2ax-1+x-1-ln x，具體過程如下：

因為x-1-ln x≥0且a>0，當x→+∞時，x1/2ax-1 →+∞，所以f（x）→+∞，

又因為函數f（x）在1/a，+∞上是增函數，且圖像不間斷，所以函數在1/a，+∞內有1個零點.

又如，解法2中利用極限思想可以避開尋找零點所在區間，具體過程如下：由a=2（1+ln x）/x2，令h（x）=2（1+ln x）/x2，當x→0時，1/x2→+∞，1+ln x→-∞，所以h（x）→-∞.當x>1/e時，h（x）>0恒成立，

且limx→+∞2（1+ln x）/x2=limx→+∞1/x2=0，所以a>0，所以a的取值范圍是（0，e）.

四、反思與升華

回顧與函數零點有關的各類問題，對于零點的考查主要有以下三個方面：函數零點的求解與所在區間的判斷，判斷零點的個數，利用函數零點求解參數的取值范圍.解題方法以轉化和數形結合為主.學生在處理這類問題時，一是直接利用零點存在性定理，二是將零點問題轉化為兩個函數圖像交點的問題.

如何讓學生理解零點存在性定理并且熟練使用，這是教學的一大難點.首先，教師要讓學生理解運用定理時條件必須完備，即函數f（x）的圖像在區間[a，b]上是連續不間斷的曲線這個條件需要寫出.其次，教師要讓學生學會找出區間[a，b]，并且明白a，b的值不唯一.當然，a，b的值有時是比較難找的，需要借助函數不等式有針對性地進行放縮.教師在教學中可以循序漸進，先講解常用放縮不等式、如何找出a，b，以及不同情況下會發生哪些變化等，進而培養學生鉆研數學的刻苦精神.

教師在具體的教學過程中，對于不同層次的學生的要求應該有所不同.學有余力的學生可以多學習極限的思想去解決零點問題，這樣可以發散思維，提高邏輯思維能力.