范德蒙德行列式在行列式計算中的應用

侯麗芬

【摘要】范德蒙德（Vandermonde）行列式是一類重要的行列式，本文結合實例討論了范德蒙德行列式的計算，以及如何將一些特殊的行列式化為范德蒙德行列式進行計算，以減小計算量，提高計算效率.

【關鍵詞】范德蒙德行列式;行列式計算

行列式的計算是線性代數中的重要內容，范德蒙德行列式是一類特殊的行列式，它具有獨特的標準形式及簡明的計算結果.本文從范德蒙德行列式的計算結果出發，結合行列式的計算性質，討論了將一些特殊的、類似于范德蒙德行列式的行列式轉化為范德蒙德行列式進行計算，最終化繁為簡，使解題達到事半功倍的效果.

下面結合實例說明一些特殊行列式的計算方法.

1.直接利用范德蒙德行列式的結果計算

分析 該行列式是一個四階范德蒙德行列式，其中a1=1，a2=2，a3=3，

2.利用行列式的性質計算

（1）提取公因式法

分析 該行列式中各列元素都分別是一個數自上而下按升冪順序排列，方冪次數都是從1到n.如果分別提取各列的公因數，則方冪次數便成為從0到n-1，得到一個標準的n階范德蒙德行列式，其中a1=1，a2=2，…，an=n.

（2）行、列變換法

（3）升階法

例4 計算n階行列式

分析 根據n階行列式Dn的特點，通過加邊的方法添加一行一列.在第n

行與第n-1行之間加入含有an-1i（i=1，2，…，n）的一行，再加入相應的一列1，b，b2，…，bn，構造一個（n+1）階范德蒙德行列式Dn+1間接求出Dn.

解 加邊，作（n+1）階范德蒙德行列式.

（4）拆項法

例5 計算n階行列式

（5）拉普拉斯展開法

例6 計算行列式

（6）行列式乘積變換法

例7 計算n階行列式

分析 由行列式的乘法規則可以將Dn化為兩個范德蒙德行列式的乘積.

【參考文獻】

[1]王萼芳，石生明.高等代數（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]鄭大川，吳瑞武.線性代數與概率論[M].北京：中國農業出版社，2012，01.

[3]楊艷麗.范德蒙行列式及其應用[J].數學學習與研究：教研版，2015（9）：136-137.

[4]牛海軍.范德蒙行列式在行列式計算中的應用[J].中國科教創新導刊，2008（17）：140.