拓撲空間中五類特殊點的比較

汪開云

【摘要】本文主要比較拓撲空間中的聚點、孤立點、內點、邊界點以及外點，從孤立點的角度深入分析它們之間的區別與聯系.針對實際教學過程中學生容易出現的三個誤區，建議在一般拓撲學的教學過程中，教師不僅要引導學生厘清這五類特殊點的定義，還需要加強對孤立點的講解，從而加深學生對孤立點的理解.

【關鍵詞】拓撲空間;聚點;孤立點;內點

【基金項目】陜西師范大學教學改革研究項目（19GGKJG04）.

一、引 言

在一般拓撲學的教學內容里，聚點、孤立點、內點、邊界點以及外點是拓撲空間中五類特殊的點.這五類點在數學分析、實變函數課程里也經常會遇到.在作者的實際教學過程中，有不少同學在學習一般拓撲學時，搞不清楚這五類點之間的區別與聯系，從而造成理解誤區，尤其是關于孤立點的理解.由于一般拓撲學本科生的教材涉及孤立點的內容較少，學生容易忽視這類點，因此，本文主要從孤立點的角度深入分析它們之間的區別與聯系.

二、拓撲空間中的聚點與孤立點

設X是集合，AX.我們用（X）記X的冪集，即（X）表示X的所有子集構成的集族.用A′記A的補集.

定義1 設X是一個集合，τ（X）.若τ滿足：

（1），X∈τ，

（2）若A，B∈τ，則A∩B∈τ，

（3）若τ1τ，則∪A∈τ1A∈τ，

則稱τ是X的一個拓撲，稱偶對（X，τ）是一個拓撲空間.

定義2 設（X，τ）是一個拓撲空間，稱τ中的元素為拓撲空間（X，τ）中的開集;一個

開集的補集稱為拓撲空間（X，τ）中的閉集.

例1 設X是一個集合，令τ=（X），則τ是X的一個拓撲，稱為X的離散拓撲，稱拓撲空間（X，τ）為離散空間.

定義3 設（X，τ）是一個拓撲空間，x∈X，UX.若存在一個開集V使得x∈VU，則稱U是點x的一個鄰域.

定義4 設（X，τ）是一個拓撲空間，AX.若點x∈X的每一個鄰域U，有U∩（A-{x}）≠，則稱點x是A的一個聚點.集合A的所有聚點之集稱為A的導集，記作d（A）.A與d（A）的并A∪d（A）稱為集合A的閉包，記作A-.若x∈A且x不是A的聚點，則稱x為A的一個孤立點.集合A的所有孤立點之集記為i（A）.

注1 從定義4可以看出d（A）∩i（A）=且Ad（A）∪i（A），即A中的點要么是A的聚點，要么是A的孤立點.

命題1 設（X，τ）是一個拓撲空間，AX，則A-=A∪d（A）=d（A）∪i（A）.

下面我們用聚點和孤立點之間的關系來證明一般拓撲學中閉包的一個常用的等價刻畫.

命題2 設（X，τ）是一個拓撲空間，AX，則x∈A-當且僅當對于x的任何一個鄰域U，U∩A≠.

證明 必要性：由x∈A-，則x∈d（A）或者x∈i（A），所以對于x的任何一個鄰域U，U∩A≠.

充分性：如果存在x的一個鄰域U，U∩A={x}，則U∩（A-{x}）=，所以x∈i（A）.若對于x的任何一個鄰域U，U∩A≠{x}，則U∩（A-{x}）≠，所以x∈d（A）.綜上兩種情形，則x∈d（A）∪i（A）=A-.

三、拓撲空間中的內點、邊界點以及外點

定義5 設（X，τ）是一個拓撲空間，AX.若A是點x∈X中的一個鄰域，則稱點x是A的一個內點.集合A的所有內點構成的集合稱為A的內部，記作AO.

誤區1 在實際教學過程中，不少同學有內點一定是聚點，不是孤立點的誤區.下面的例子說明了在一般情形下，內點不一定是聚點，可能是孤立點.

例2 設X是至少含有兩個元素的集合.考慮離散空間（X，（X）），則對任意的x∈X，x是x的內點，但是xd（{x}），從而x∈i（{x}）.

注2 （1）從定義5和命題1可以得到AOAA-=d（A）∪i（A），即A的內點要么是A的聚點，要么是A的孤立點.

（2）從定義5和命題2容易驗證AO=A′-′.

定義6 設（X，τ）是一個拓撲空間，AX.若點x∈X的每一個鄰域U，有U∩A≠且U∩A′≠，則稱點x是A的一個邊界點.集合A的所有邊界點構成的集合稱為A的邊界，記作（A）.

注3 從定義6和命題2可以得到AO∩（A）=且AO∪（A）=A-=d（A）∪i（A），即A的邊界點要么是A的聚點，要么是A的孤立點.

誤區2 在實際教學過程中，不少同學也有邊界點一定是聚點，不是孤立點的誤區.下面的例子說明了邊界點可能是孤立點.

例3 設是實直線，令A=（-∞，-2）∪{0}，則0∈（A）.但是存在含0的開鄰域（-1，1），使得（-1，1）∩（A-{0}）=，從而0∈i（A）.進一步，我們可以計算出d（A）=（-∞，-2]，i（A）={0}，AO=（-∞，-2）以及（A）={-2，0}.

定義7 設（X，τ）是一個拓撲空間，AX.若點x∈X是A′的內點，則稱點x是A的一個外點.集合A的所有外點構成的集合稱為A的外部，記作e（A）.

命題3 設（X，τ）是一個拓撲空間，AX，則e（A）∩A-=.

證明 假設e（A）∩A-≠，則存在x∈e（A）∩A-，所以x是A′的內點，即A′是x的鄰域.由命題2，則A′∩A≠，矛盾，所以e（A）∩A-=.

定理 設（X，τ）是一個拓撲空間，AX，則

X=e（A）∪A-=e（A）∪d（A）∪i（A）=e（A）∪AO∪（A）.

證明 我們只需證明X=e（A）∪A-即可.顯然e（A）∪A-X.由命題3知e（A）∩A-=.對任意的x∈X，若xA-，則存在x的一個鄰域U，使得U∩A=.于是UA′，從而A′是x的鄰域，即x∈e（A），所以X=e（A）∪A-.

注4 上面的定理說明拓撲空間（X，τ）中所有的點，對A來說可分為聚點，孤立點以及外點三種，還可分為內點，邊界點以及外點三種.故可表示如下：

X中的點（對A來說）聚點，孤立點，外點，或內點，邊界點，外點.

事實上，在一般拓撲學中，一個有趣的結果就是十四集定理，即對于任何拓撲空間中的任意一個子集，經過取補集、閉包、內部三種運算至多只能產生14個不同的集合，而上面的集合A在實直線中經過取補集、閉包、內部三種運算恰能產生14個不同的集合.由于AO=A′-′，所以對集合A，我們僅考慮取補集與閉包產生的14個不同的集合，它們分別如下：

四、子空間

定義8 設（X，τ）是一個拓撲空間，YX.Y的拓撲τ|Y={U∩Y|U∈τ}稱為相對于拓撲τ而言的相對拓撲;拓撲空間（Y，τ|Y）稱為拓撲空間（X，τ）的一個子空間.

為方便起見，從現在開始，我們設Y是拓撲空間（X，τ）的一個子空間，AY.另外，在表示A在不同拓撲空間的孤立點之集（閉包、導集、內部、邊界）時，我們會在相應符號的下角標處標上拓撲空間加以區別，例如，我們用iX（A），iY（A）分別表示A在X與Y中的孤立點之集.

注5 易見，iY（A）=iX（A），進而我們有dY（A）=dX（A）∩Y與A-Y=A-X∩Y.

誤區3 在實際教學過程中，一些同學有AOY=AOX的誤區.下面的例子說明了在一般情形下，AOY≠AOX.

五、結 語

從學生容易出現的三個誤區可以看出，厘清拓撲空間中這五類特殊點的定義至關重要，尤其孤立點是容易造成理解誤區的關鍵.實際上，在一些數學研究方向中，如分析、數理邏輯、集論拓撲以及Ramsey理論等，孤立點都扮演著至關重要的角色.例如，Cantor集是實直線R的完備集，即沒有孤立點的閉集.在Ramsey理論中，對于實直線R的完備集，Blass證明的劃分定理，解決了Galvin提出的著名猜想.因此，建議教師在一般拓撲學的教學過程中，不僅要引導學生厘清這五類特殊點的定義，還需要加強對孤立點的講解，從而加深學生對孤立點的理解.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]程其襄，等.實變函數與泛函分析基礎（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]熊金城.點集拓撲講義（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]程吉樹，陳水利.點集拓撲學[M].北京：科學出版社，2008.