線性代數方程組有解判別定理的教學方法探討

陳建春

【摘要】本文針對大學線性代數課程中線性方程組解的存在性這一教學內容，從二維幾何空間內兩條直線的相對位置關系出發，闡述了兩條直線不同交會情況下，需要滿足的幾何條件與線性方程組解的判別定理中矩陣秩的關系在數學上的等價性.從幾何空間的自由度與約束度的概念出發，分析了這兩個因素對方程組解的存在性的影響.教師在教學中采用由具體到一般的教學思路，有助于學生對抽象的數學概念的理解.

【關鍵詞】線性方程組;解的存在性;約束度;自由度

【基金項目】西安電子科技大學2019教學改革重點項目資助（20901190007）

一、引 言

線性方程組是線性代數中非常重要的知識點[1][2]，涉及線性方程組解的存在性的判別以及方程組的解法等內容.由于方程組的有解判別定理的條件是采用矩陣的秩這一抽象概念表述的，所以學生較難理解和把握.對于這部分教學內容，有的教師從具體的案例出發闡述了其解法與技巧[3][4]，有的教師從教學方法方面進行了有益的探討[5][6]，但這些做法基本上都是從純數學概念的角度去分析相關問題.本文針對方程組有解判別定理，按照從具體到抽象自然過渡的思維方式，探討其教學方法.從學生熟悉的相對具體的幾何空間出發，對線性方程組的幾何意義及有解、無解、多解需要滿足的幾何條件，與線性方程組有解判別定理中抽象的矩陣秩的關系建立聯系與對比，使學生對線性方程組解的判別定理的理解有一個由具體到抽象的自然過渡.最后，關于方程的個數及未知量的個數，從幾何空間上的約束度及自由度的概念出發，直觀地解釋了二者對方程組解的存在性的影響，進一步加深學生對方程組問題本質的理解.

二、線性方程組有解判別定理

設A為一個m行n列的已知實矩陣，b為一個m維的已知實列向量，x為n維的未知列向量，則n元一次線性方程組的矩陣形式可表示為：

構造增廣矩陣B=[A|b]，則有方程組解的存在性定理如下[2]：

定理：對于（1）式所表示的n元一次線性方程組，

1.其有解的充分必要條件是rank（A）=rank（B）;

2.其有唯一解的充分必要條件是rank（A）=rank（B）=n;

3.其有多解的充分必要條件是rank（A）=rank（B）

顯然，其無解的充分必要條件是rank（A）≠rank（B），其中rank（·）表示矩陣的秩.其定義如下：

三、方程組解的存在性定理的幾何解釋

幾何平面是學生最熟悉的幾何空間之一，下面就以平面上兩條直線的相對位置關系來引入二元一次方程組的解的存在性問題，并從幾何角度解釋這種直線的相對位置關系與方程組解的實際情況之間所存在的對應關系.

設X1-X2平面上兩條已知直線l1和l2的方程為：

其中，ai，bi，ci，i=1，2均為已知實數，現在要解決的問題是尋求兩條直線的公共部分，即交點.

顯然，從方程的角度（2）式是一個二元一次線性方程組，所要解決的數學問題就是要求這兩個二元一次線性方程的聯合解.該線性方程組的系數矩陣A和增廣矩陣B可分別列出，即

如果從幾何的角度理解這個問題，就要考慮這兩條直線在平面上的相對位置關系，其存在以下三種可能性：

1.兩條直線交于一點

在幾何平面上，出現這種情況的條件是這兩條直線的斜率不相同，即

其位置關系的示意圖如圖1所示（兩條直線交于一點）.

如果從一般的線性方程組的角度考慮，這種情況對應于二元一次線性方程組（2）有唯一解.根據前述定理，線性方程組有唯一解的充分必要條件是方程組的系數矩陣的秩等于其增廣矩陣的秩，且等于線性方程組未知量的個數，即定理的第2條：

顯然，（5）式的條件與（6）式的條件是等價的.因為（5）式可以寫為

而此關系式表明rank（A）=rank（B）=2，即（6）式成立.反之亦然.

2.兩條直線完全重合（多個交點）

在幾何平面上，兩條直線完全重合發生的條件是這兩條直線不僅斜率相同，而且截距也相同，即

其位置關系的示意圖如圖2所示（兩條直線交于多點）.

從線性方程組的角度出發，這一情況對應于二元一次線性方程組（2）有無窮多解.根據前述定理，線性方程組有無窮多解的充分必要條件是方程組的系數矩陣的秩等于其增廣矩陣的秩，且小于方程組未知量的個數，即定理的第3條：

（7）式的條件等效于（8）式.因為（7）式可以寫為下面三個關系式：

上式中，當ai，bi，i=1，2至少有一個不為0時，意味著rank（A）=rank（B）=1<2，即（8）式成立.反之亦然.

3.兩條直線不相交（平行）

在幾何平面上，兩條直線不相交發生的條件是這兩條直線的斜率相同，但是截距不同，即

其位置關系的示意圖如圖3所示（兩條直線不相交）.

從線性方程組的角度去理解，這一情況對應于二元一次線性方程組（2）無解.根據前述定理，線性方程組無解的充分必要條件是方程組的系數矩陣的秩與其增廣矩陣的秩不相等，即定理的第1條的逆否形式：

顯然，（9）式的條件等效于（10）式.因為（9）式可以寫為下面三個關系式：

上式中，當ai，bi，i=1，2至少有一個不為0時，意味著rank（A）=1≠rank（B）=2，即（10）式成立.反之亦然.

四、線性方程個數與未知量個數對方程組解的影響的幾何解釋

在線性方程組（1）中，方程的個數為m，未知量的個數為n.一般情況下，m和n的大小關系是任意的，當m=n時，我們稱該方程是恰定方程組;當m>n時，稱其為超定方程組;當m

1.方程個數m對線性方程組解的影響

m的大小體現了方程組約束條件的多少，每一個方程都是一個約束條件.顯然，約束越多（m增大），方程組有解的可能性減小，反之則增加.

從幾何空間理解，設m=n=2，則（1）式是二維幾何平面的兩條直線.若n=2不變，m增加到3，即增加一個方程，則表示在二維幾何平面上增加了一條直線.新的方程組表示三條直線的公共交點，顯然原來兩條直線交于一點的可能性將趨于減小.

2.未知量個數n對方程組解的影響

n的大小體現了自由度的大小，每一個未知量都代表著一個自由度.顯然，自由度增大（n增大），方程組有解的可能性增大，反之則減小.

從幾何空間理解，設m=n=2，則方程（1）代表二維幾何平面上的兩條直線.若m=2不變，n增加到3，即增加一個自由度，則空間擴展為三維幾何空間，方程組中的每個方程不再代表二維幾何平面上的直線，而是代表三維幾何空間上的平面.新的方程組表示兩個平面的公共交點，顯然原來兩條直線交于一點的可能性將趨于增加.

五、總 結

針對一般n元一次線性方程組解的存在性及有解判別定理中矩陣秩的關系這一抽象概念，通過將其與幾何空間上多個直線（或平面）能否相交的相對位置關系及需滿足的條件做對比，讓學生直觀理解線性方程組解的存在性的幾何意義及有解判別定理的本質含義;從約束度和自由度與方程個數及方程未知量個數的對應，從幾何角度解釋了其對方程解的影響.使學生完成由熟悉的知識到一個新的知識的自然過渡，提高學生對該部分知識學習的興趣，加深學生對方程組問題的理解.

【參考文獻】

[1]同濟大學.工程數學：線性代數（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]劉三陽，馬建榮，等.線性代數（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]趙彥暉，王艷.直接構造基礎解系或通解的線性方程組解法[J].高等數學研究，2018（3）： 43-47.

[4]金曉燦，王海俠，張麗琴.線性方程組課堂教學的應用案例[J].數學學習與研究，2016（11）： 8-10.

[5]張學福.線性方程組解的結構的分類教學[J].數學學習與研究，2014（11）：68-69.

[6]趙曄.線性方程組教學方法初探[J].新課程學習（下），2014（11）：116.