經管類高等數學課程教學改革探討

◎鄧小毛 （廣東外語外貿大學數學與統計學院，廣東 廣州 510006）

一、教學質量現狀

高等數學課程是經管類專業學生的公共必修課程，學生通過對該課程的學習掌握必要的數學思維和計算技巧尤為重要，也是后續數學課程和專業課程學習的基礎.然而，由于經管類專業學生數學基礎參差不齊，而數學課程卻環環相扣，因此基礎薄弱的學生很容易掉隊.此外，還有部分學生對數學課程學習的重要性認識不夠，產生了蒙混過關的想法.現在，手機互聯網發達，學生一般都攜帶手機上課，導致很多學生難以集中精神聽課.教師一味地灌輸知識點，也會使學生對數學課程失去興趣.再加上教師由于授課班級較多，無法仔細了解學生的學習情況，導致課下交流甚少，使得部分想學習的學生找不到學習的竅門.為深入貫徹落實《教育部關于全面提高高等教育質量的若干意見》，進一步推動大學數學公共課程教學改革，教師更新教學理念及改進教學方法勢在必行.

二、改進教學質量之我見

1.教學設計

在教學設計過程中，除了知識點的講授，更應該培養學生對課程的興趣，引導學生獨立思考、舉一反三和融會貫通的能力，可以主要從以下幾個方面進行改進：

（1）注重邏輯思維的培養.例如在講解多元函數可微、可偏導和連續的關系圖時，可讓學生自己畫圖添加箭頭，并引導學生思考如果箭頭添加錯了會產生什么后果.例如，如果多元函數連續能推出可微，那么由可微可推出可偏導，從而連續能推出可偏導，與已有結論矛盾，故連續不能推出可微.又如，函數連續的定義可以拆分成三個要素：函數在該點有定義，極限存在，并且極限等于該點的函數值.那么，任一要素不滿足時就會產生間斷，從而自然地引出間斷點的分類.再如，數列極限存在則其任一子數列收斂至同一極限這一性質一般是使用其逆否命題，即用該數列某一子數列無極限或者兩個子數列極限不相等證明該數列極限不存在等.這些相似的逆向思維的思路教師在講解中可以點明，讓學生發現思考的規律.

（2）善于運用舉例，使抽象的知識具體化.數學課程的學習往往從定義開始，然后從定義推出性質和定理，當性質和定理得到證明后，再運用相應的計算技巧解題.然而，由于定義、定理通常很抽象，定理和公式的推導煩瑣冗長，非數學專業的學生往往望而卻步，容易產生畏難情緒.因此，在講到一些抽象的概念和定理時，教師應善于舉例加強學生對知識的理解.例如，在講到定積分的定義時，該定義中子區間的劃分方法和子區間中ξi點的取法都是任意的，這兩個任意性是理解定積分極限定義的一個難點.此時，教師可舉狄利克雷函數的例子，在該函數中，當x是有理數時函數值為1，當x是無理數時函數值為0.考慮其在區間［0，1］上的積分，在對該區間進行等分分劃下，ξi分別取子區間中有理數和無理數，可以得到兩個不同的極限1 和0，由此得出狄利克雷函數不滿足定積分定義中“ξi點的取法任意時，極限存在且唯一”這個條件，故該定積分不存在.再如，在講二重極限與二次極限時，二重極限表示x→x0，y→y0時二元函數f（x，y）的極限，二次極限表示x→x0在先（后），y→y0在后（先）時，二元函數f（x，y）的極限.為了使學生理解兩者之間的差別，教師可以首先通過畫圖的方式指出兩種函數極限對x→x0和y→y0的路徑的不同要求，然后舉幾個具體的二元函數的例子，說明某些函數二重極限不存在，但其二次極限存在，而另一些二元函數二重極限存在，但其二次極限不存在，由此闡明兩者之間的復雜關系.舉例是數學教師在授課過程中應反復使用的教學手段.

（3）注重知識點的歸納與總結.高等數學課程以微積分這一數學分支為主線，由淺入深，循序漸進.階段性的學習之后，教師應引導學生運用發散性思維思考，將知識點進行串聯和歸納，從而做到融會貫通.例如，在計算幾何體的體積時可能會用到定積分或二重積分，這兩種積分的原理均是基于微元分析法，只是計算截面面積時的差異造成了積分形式的不同.又如，一元函數隱函數方程的求導既可以從一元復合函數出發，使用隱函數求導法則求解，又可以將其看作二元函數使用多元函數的鏈式法則進行公式求解.再如，廣義積分的計算可像常義積分那樣用類似“牛頓－萊布尼茨公式”的形式進行統一，只是廣義積分增加了對特定點極限的討論；一元函數的極限運算法則、夾逼定理同樣適用于多元函數的極限求解，但是一元函數的洛必達法則不適用于多元函數等.對知識點的總結和歸納能大大提高學習效率，需要反復地進行實踐.

（4）了解經管類專業學生的需求，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.在經管類專業學生的培養計劃中，在學習高等數學課程的同時，微觀經濟學等課程中已經要用到高等數學中的知識了.例如，在講解邊際成本、邊際收益等概念，及使用彈性分析法分析商品需求對價格及消費者收入的相對變化率時，需要使用一元函數和多元函數的導數的概念和計算；在經濟管理活動中的經濟效益最大化，如何組織生產使得投入最少、成本最低、利潤最大等最優化問題，都需要用到一元及多元函數的極值和最值的求解.為此，教師針對其專業課程中需要的知識點應及早為學生進行講解，并在教學過程中結合經濟管理領域中的應用案例進行數學建模引導和實踐，使學生逐步建立從現實問題中提煉數學模型并進行求解檢驗的能力.

2.教學過程

教師作為課堂教學的組織者，應把控好教學過程的各個環節，使學生能跟得上教學進度，同時能滿足不同學生的學習需求.在高等數學的教學過程中應重視如下幾點：

（1）注重課程預習環節.由于課程預習往往采用自發自主的形式進行，這就導致不同學生對預習這一環節的重視程度不同.部分對課程感興趣的學生在上課前會提前預習，并帶著問題來聽課.部分學生則不愿意自主學習，對新課的學習主要依賴于教師的課堂授課.預習習慣的培養是讓學生發揮主觀能動性、提高學習能力的一個重要途徑.因此，教師應該采用線上與線下相結合的教學模式，可充分利用雨課堂、中國大學慕課等線上教學平臺上豐富的教學資源，靈活選擇與課程相關的內容推送給學生，使其提前進行預習.可以將線上數學作為課堂教學的一個補充手段，并布置少量的思考題讓學生進行練習.在教學開始之前，教師要與學生充分溝通預習過程中遇到的困難和問題，在課堂教學中做到有的放矢.

（2）在課堂教學內容的選擇中應注意難度適中、邏輯清晰.教師應對教學大綱中需要學生掌握的內容進行重點精講，對某些不做要求的定理的證明和某些補充的性質，可以作為課外學習內容，引導學生自己去查閱相關的文獻，供學有余力的學生進一步拓寬知識面，培養其學習興趣和科研素養.教師在授課過程中應注重與學生的互動，不要一味灌輸知識點和例題，要使學生保持良好的注意力.在講解新的內容時教師應適當設置停頓，允許學生有思考的時間，并合理設置問題，等大部分學生都明白了之后再開始講述下一個知識點.學期末進行平時成績核算時，可以對學生課堂表現進行量化，思維活躍、積極回答問題的學生應適當給予平時成績加分.

（3）布置練習后應加強反饋.練習是學習數學類學科的一個重要的環節，只有通過一定量的練習才能保證對所學內容的深入理解.首先，教師應讓學生明白做習題的重要性，同時在授課過程中應積累設計習題的經驗，除了選擇課本中的習題之外，還要為學生提供設計合理的習題，讓學生進行補充練習.其次，應根據課堂教學安排合理設置練習的時間，如在每堂新課之前，練習一兩個典型習題對上次課的內容進行鞏固；在課程結束之時設置一兩個與新課內容緊密聯系的習題，讓學生運用新課的內容進行快速求解.教師應走下講臺，及時查看學生的解題情況，發現學生的知識盲點和理解誤區，并及時進行講解和糾正.最后，課后練習批改完后，應在每次上課前對學生作業中出現的共性問題進行總結，其中學生使用不同解法求解同一道題目的情況應重點說明.對個別作業問題比較多、態度不認真的學生要予以提醒，同時從作業中抽取若干優秀的作業發到課程的微信群組中供大家查閱，使學生之間互相學習交流.

（4）作為平時成績中重要的一部分，教學中應進行課堂測驗.小測驗通常是在整章內容學習結束后進行的，以此督促學生對所學內容進行全面的復習，同時是對教學效果的一個摸底.小測驗為教師自主命題，因此可以采用多樣化的命題形式，如在每次小測卷末適量添加主觀題，讓學生談談對定積分定義的理解、一元函數和二元函數極限的異同點、積分中值定理的幾何意義等，考查學生對定義、定理的理解和掌握程度.在教學中抽取適當的時間進行一到二次小測驗，通常能很好地反映學生真實的學習情況，防止到學期末才“臨時抱佛腳”的現象的發生，也能讓教師從測驗結果中總結出上一階段教學中存在的問題，對學生掌握不好的內容進行查漏補缺.

3.教學中溝通

教師教學的對象是學生，只有充分了解學生的情況，才能使其學有所得.加強教學質量的另一個重要環節是加強與學生的交流，及時獲得教學效果的反饋，主要可以從以下幾個方面著手：

（1）師生交流的首要前提是平等.有些學生在學習過程中遇到問題后，怯于發問，采取回避的態度，導致不懂的內容越來越多，最后對課程逐漸失去興趣.對于這類學生，教師應當主動給予學生在學業上的督促和關心.教師在與學生的溝通過程中，需要注意溝通技巧，真誠交流.若教師高高在上，動輒予以責備批評，就會使學生難以真正敞開心扉、與教師訴說心聲.

（2）保持師生溝通渠道的通暢.教師在首次上課時應為學生留下聯系方式和合適的交流時間等信息，使學生有問題時能及時與教師聯系.同時，教師也應創造合適的機會主動聯系學生，如運用課間、課后時間了解學生的學習動態，在微信群組中對學習過程中遇到的困難等共性的問題發起討論，對一些重要的課程補充資料和思考題可以采用群發的形式，讓更多的學生參與到閱讀和思考中，使學生能暢所欲言.同時，對個別學生的問題教師要及時進行答疑回復.答疑這一過程，對不同的學生應該采用不同的方式，對于基礎較弱的學生，教師應該仔細地把問題的細節說清楚；對于理解能力較強的學生，與其幫其解答習題，不如引導其思考，厘清其思路中混淆的地方，然后讓他自己得到問題的答案.

（3）調動學生的積極性，讓學生參與到教學活動中，這包括鼓勵學生不拘泥于課堂形式，多思考和回答問題.當學生答錯問題時，教師應積極啟發，引導其對正確答案的思考.此外，教師可讓理解力較強的學生上講臺講解例題及進行習題示范，或者讓學生分組進行知識點的歸納和比較等.多種多樣的教學手段使課堂能始終處于生動活潑的學習氛圍中.

綜上所述，通過合理的教學設計、有效的過程管理和積極的溝通交流，學生能更加高效地掌握高等數學的知識體系和基本解題技巧，順利渡過從中學數學到大學數學思維模式的轉變.對教師而言，最重要的是保持一顆對教學熱忱的心，真正關心、愛護學生，在教學過程中給予學生鼓勵，因材施教，使學生建立起對數學類學科的長久興趣，并通過數學課程的學習培養良好的邏輯思維和唯物主義觀點，建立正確的世界觀，這對經管類專業學生是大有裨益的.