“知識樹”的植根過程

董香鳳

摘 要：以“解直角三角形知識樹”為例，敘述了如何運用建構主義學習觀的理論，以學生為主體進行知識樹的嘗試研究，不斷內化生成與完善知識樹。讓學生整體感知知識與方法，提高學習能力，真正發揮知識樹的功效。

關鍵詞：知識樹;建構主義;直角三角形

一、初步嘗試知識樹

作為一名數學老師，我深切感受到很多學生由于知識掌握零散，只能在數學題海中苦命掙扎的茫然與痛苦。于是我投入了很大的熱忱去畫了一棵棵知識樹，可學生反應淡漠，不感興趣，一堂課下來沒有印象。

二、探討反省知識樹

為什么理想與現實之間有如此大的差距呢？解鈴還須系鈴人，要發揮知識樹的功效就必須請教學生。于是我就銳角三角函數一章的知識樹與學生進行了探討。我出示的知識樹如下：

學生積極批判，認為這棵“知識樹”存在的問題如下：

1.只對本章內容進行概括，和課本目錄差不多，沒有揭示知識的內在聯系，缺乏方法指導。2.每章內容都畫一棵樹，初中三年大大小小的樹很多，記憶麻煩。3.這棵樹是老師繪制的，沒有從學生已有的知識生根。

針對這些，我進行了深刻反思。首先，我這棵樹存在先天性不足，受到教材與章節的制約，過于偏重知識，忽略方法，學生實踐的意義不大。其次，我忽略了“心理上的建構”，自以為是地把知識樹從外部強行嵌入給學生，致使這棵樹缺乏生命力。

三、品種改良知識樹

于是全班師生決定一起努力，重新繪制一棵知識樹。這棵樹研究的對象是“解直角三角形”。考慮到必須具有代表性，因此準備打破章節順序，從定義、知識、策略與步驟這四大“主干”入手去繪制這棵知識樹。終于凝聚了全班師生心血的新知識樹產生了：

四、內植生成知識樹

1.知識樹的“內部植入”

為了讓學生以自身的經驗為土壤，把它內植于自己的思維中，我讓學生從定義、知識、策略、步驟四個方面思考，進行深層探究，討論的廣度與深度完全出乎了我的意料。現總結如下：

（1）從定義的角度，如果沒有現成的直角三角形必須構造直角三角形，方法主要有三種：通過作垂線段得到直角三角形。利用勾股定理構造直角三角形。根據直徑所對的圓周角是直角，通過構造圓來構造直角三角形。

（2）從知識的角度，對于普通三角形，學生談到邊的關系、角的關系、特殊線段。另外還補充了等腰三角形的知識，讓人驚喜的是還有學生從軸對稱的角度指出等腰三角形其實就是由兩個全等的直角三角形構成的，從而揭示了兩者的聯系。在此基礎上，我適時進行了點撥，所有正多邊形邊長、邊心距的問題，都可以轉化成等腰三角形，從而通過解直角三角形來解決。

（3）從解題策略的角度，結合多年來的中考數學試題，學生探討了這些策略。學生指出用得較多的是“轉化”和“數形結合”的數學思想方法。要善于畫圖，善于發現圖中相等的角、互余的角，從而實現三角函數值的轉化。有同學還指出直角三角形中的“轉化”與圖形的相似一脈相承，但是用三角函數的知識更簡略。這里特別要指出的是學生還總結出解直角三角形問題中經常出現的兩個基本模型圖：

在已知∠ABD=α，∠ACD=β，BC=m的條件下，求AD的長度。可以假設AD的長度為x，根據圖1，得到方程tan（90°-α）x+tan（90°-β）x=m;根據圖2，得到方程tan（90°-α）x-tan（90°-β）x=m。這兩幅圖正是很多解直角三角形應用問題轉化成數學問題的模型圖。很多學生感覺找到了這樣的模型圖就以逸待勞，研究興趣也更加濃厚了，其實已經開始有了建模的思考與探究。

（4）從解題步驟的角度，這對于我們解直角三角形應用類問題尤為重要。第一步：審題，把實際問題轉化成數學問題;第二步：分析，尋找或構造直角三角形，尋找條件與結論之間溝通的橋梁。參照這樣的解題步驟，我們的解題格式也將越來越規范。

2.知識樹的生成發展

“學以致用”，這棵知識樹在學生自主參與的繪制與探討中已經很好地植根于心中，但它進一步的成長卻依賴于我們在解題中對它的理解與感悟，為此我們進行了針對性的訓練。典型例題如下：

例1.如圖3，A、B、C三點在正方形網格線的交點處，若將△ACB繞著點A逆時針旋轉得到△AC′B′，則tanB′的值為（）

切入點：聯系知識樹，從解題策略角度看屬于基本模型圖1，因此可作AD⊥BC于點D，通過建立方程，求出AD，再利用銳角三角函數的知識求出AB。

五、培植完善知識樹

學生很喜歡知識樹，可也很納悶：這些知識方法其實并不陌生，為什么以樹的形式表現出來時，印象就特別深刻呢？原來人的右腦又稱“圖像腦”，它是感性而直觀的，在工作時就像拍照片一樣，其工作效率遠遠超過我們常用的左腦，學生為了抓住右腦的這種特性，又集思廣益，把自己認為有價值的基本圖形都搜集起來，然后篩選出最具有代表性且能促進解題的基本圖形，最終形成了下圖的“解直角三角形知識樹”。

為了鞏固學生對這棵樹的印象，我們還舉行了繪制知識樹的比賽，這棵枝繁葉茂的大樹終于深深扎根在了每一個學生的心中。

回首知識樹的演進過程，我們發現要在學生心中種植一棵知識樹，首先，必須體現實效性，這取決于教師對知識方法的理解與融會貫通。其次，無論是這棵樹的產生還是使用都必須有學生的參與，需要學生經歷“建構”這個由外到內的轉化過程。教師只能適當指引，而不能強行嵌入。最后這棵知識樹的發展又依賴于學生的智力參與，不斷使用、反省、完善。這棵知識樹只是一個開始，我們將繼續走下去，進行更多知識樹的發現之旅，相信不久的將來我們將看到學生心中佳木成林！

參考文獻：

[1]萊斯利·P·斯特弗.教育中的建構主義[M].上海：華東師范大學出版社，2002.

[2]涂榮豹.數學教學認識論[M].南京：南京師范大學出版社，2003.