從一道考題的多解看初中數學幾何解題能力的培養

摘 要：在各地歷年的中考數學試卷中，幾何題的分量都是很重的，大多數的壓軸題都是幾何題或與幾何相結合的綜合題。因此，加強學生幾何解題能力的培養，對提高教學質量、提升中考成績有十分重要的意義。培養學生的幾何解題能力，應從提高對幾何基本圖形和基本結論熟悉程度，加深對定義、定理、公理、判定、性質的理解，善于發現圖中的隱含圖形，掌握基本的幾何變換和數學基本方法以及幾何證明的常見分析方法等六個方面著手。

關鍵詞：中考試題;基本圖形;基本變換;基本方法

在2019年廣西貴港市中考的數學試題中，有下面這道題目：

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，將△ABC繞點C順時針方向旋轉得到△A′B′C，記旋轉角為α，當90°<α<180°時，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交于點E。

（1）如圖1，當∠CA′D=15°時，作∠A′EC的平分線EF交BC于點F。

①寫出旋轉角α的度數;

②求證：EA′+EC=EF。

這道題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉變換，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形的三邊關系等知識，綜合性強，難度大，方法靈活，有多種不同解法。

（1）②的思路一：在EF上截取EG=EC，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGF≌△CE A′即可。

（1）②的思路二：過C作CG∥A′D交EF于G，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGF≌△CE A′即可。

（1）②的思路三：延長ED到G，使DG=DE，先證△CEG為等邊三角形，再證△CG A′≌△CE F即可。

（2）的思路一：連結A′F，由△CGF≌△CE A′可知C=CF，從而可證△A′CF為等邊三角形，進而可證A′E同時平分∠FE B′和∠F A′B′，從而△A′EF≌△A′E B′，于是得B′與F關于A′D對稱，只要求出AB′即可。

（2）的思路二：過A′作A′M⊥B′E，得△A′ME和△A′M B′分別為含有45度和30度角的特殊直角三角形，通過計算證明B′E=EF，進而可得到B′與F關于A′D對稱，只要求出A B′即可。

（1）②的思路一、思路二用到了數學中最常用的截長法，其中思路二用到了“角平分線+平行線”得到的隱含等腰三角形，（1）②的思路三用到了數學中最常用的補短法，（2）的思路一用到了角平分線、全等三角形等基本圖形（模型），（2）的思路二用到了特殊直角三角形的基本圖形（模型），并且所有的思路中都用到了角平分線、等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形、全等三角形等基本圖形的判定和性質。通過對本題多種解法的分析不難發現，培養和提高初中生的幾何解題能力要從以下幾方面入手。

一、熟悉幾何基本圖形和基本結論是培養幾何解題能力的前提

幾何基本圖形和基本結論是幾何知識的重要組成部分，是所有幾何解題的前提，角平分線、中線、高、點到直線的距離、動點到兩定點距離之和的最小值、等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、垂徑定理、過圓外一點作圓的切線、全等三角形、相似三角形等基本圖形及其結論，既是考試考查的重點，又是所有解題的基本依據，我們要熟練掌握。

A.2 B.3 C.4 D.5

這些題目表面看起來很復雜，但實質都是考查幾何基本圖形及其結論。第一題考的是角平分線、平行四邊形、等邊三角形等圖形的性質，第二題考查的是相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定與性質以及正方形的性質。只要掌握相似三角形和全等三角形的基本圖形和基本結論，問題不難解決。

二、理解定義、定理、公理、判定、性質是培養幾何解題能力的基礎

理解定義、定理、公理、判定、性質，不僅要熟記定義、定理、公理、判定、性質的結論，還要熟記定義、定理、公理、判定、性質的條件、適用范圍、注意事項等，它是幾何解題的基礎。

本題中，不少考生因沒有在意弧長公式中圓心角的意義，結果將120度直接代入計算，答案就錯了。

三、善于發現圖中的隱含圖形是培養幾何解題能力的關鍵

隱含圖形是指等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形等特殊圖形在整個圖形中表現出來的一部分，如“角平分線+平行線”隱含有等腰三角形，“中點+垂直”隱含有等腰三角形，“角平分線+等腰”隱含有垂直平分，三角形含有30度和45度角則隱含可構造特殊直角三角形等。解題時如果我們能充分發現這些隱含圖形，非常有利于問題的分析和解決。

本題（2）的關鍵是 “角平分型全等三角形隱含著BD是等腰三角形的高”，從而想到連結AP并延長BD交AP于E，然后過P作PF⊥AC于F即可構造“雙垂直型相似”，利用相似列比例式即可解決問題。

四、掌握基本的幾何變換是培養幾何解題能力的橋梁

幾何變換是平面幾何的重要內容之一，是研究幾何關系的基本方法。平移、旋轉、軸對稱是初中幾何的基本變換，熟練掌握這些變換是培養和提高幾何解題能力的橋梁。

例4.（廣西貴港2018-26）已知：A、B兩點在直線l的同一側，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM，將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP=90°不變，BP邊與直線l相交于點P。

類似這些與面積有關的問題，都要用到割補法等數學基本方法.其中（1）還要注意到圖中的隱含圖形——等級邊△AOD，才能求出有關的圓心角;（2）要分割成兩個扇形和兩個三角形面積的和與差;（3）用到的是非常典型的平行軸分割的方法以及二次函數最大值的模型。

六、掌握幾何證明的常見分析方法是培養幾何解題能力的重點

幾何證明的分析方法很多，如綜合法、分析法、反證法、枚舉法（窮舉法）、完全歸納法、不完全歸納法，但最常用的方法有綜合法、分析法和分析綜合法。熟練掌握這些常見的分析方法是我們探求解題途徑的重點和關鍵。

分析法是從求證的結論入手，以公理、定理為根據，尋求所必須的條件，再從所需條件出發，一步一步地尋求到所需的條件為已知條件時，命題即得證，這種方法也叫“執果索因”法;而綜合法是從已知條件為出發點，以公理、定理為依據，一步步推導出欲證的結論，這種方法也叫“由因導果”法;分析綜合法將分析法和綜合法結合起來，即先從結論入手看需要什么條件，再從已知出發看可導出什么結論，如果這兩者正好一致，問題即可解決，這種方法也叫“兩頭湊”的方法，通常情況下我們都用這樣的分析方法。如前面例3的（1）：

這個分析問題的方法就是分析綜合法。

在培養學生幾何解題能力的過程中，除了加強學生對幾何基本圖形和基本結論的熟悉，對幾何定義、定理、公理、判定、性質的理解，引導學生善于發現圖中的隱含圖形，掌握好數學基本方法和基本的幾何變換以及常見的分析方法外，還要學會對幾何結論進行分類，掌握幾何難題突破的一般程序等。如對幾何結論，我們可以從線段平行、垂直、相等、不等以及角相等、不等等方面進行分類;而對幾何難題的突破，可從完善圖形（重新畫圖）、標識等量、發現隱含圖形、挖掘圖形關系（全等或相似）等方面入手。

下面通過兩個具體例子來體會一下：

當然，我們強調對數學圖形、數學結論、數學方法和幾何變換的掌握，不是簡單地把它們背下來就可以了，而是要在實際應用中理解、體會，學會舉一反三、觸類旁通，不斷提高解題的能力。

作者簡介：黃江泉，1965年11月出生，男，漢族，籍貫：廣西桂平，大專學歷，中學高級教師職稱，特級教師。