模式識別在數學概念教學中的運用

招欣

【摘要】根據模式識別理論，數學概念是一種數學模式.在數學概念教學中，若教師發揮模式識別在情境創設、概念獲得、概念鞏固中的作用，則不僅有助于學生獲得數學概念，而且有助于學生理解數學本質意義.

【關鍵詞】數學教學;概念;識別

數學概念是反映事物本質屬性的思維形式，是一類事物的內在、固有的屬性，而不是個別、表面的屬性.作為一類事物的特征，數學概念也是一種數學模式.根據模式識別理論，數學概念的教學一般要經歷從大量對象中識別特征，從眾多特征中尋找聯系與區別，區分本質特征和非本質特征，歸納、概括本質特征，解構本質特征，建構本質特征，變換本質特征或非本質特征的過程，可以使學生鞏固頭腦中的相關數學概念.

一、模式識別方法在情境創設中的運用

（一）創設跨學科單元的情境，豐富模式的意義

在教學中，教師可以根據概念特點設計跨學科單元的教學情境來引入數學概念.比如，教學向量的數量積概念時，教師可以從力的分解引入;教學正四面體的概念時，教師可以設計甲烷的化學結構情境.不同數學模式之間的聯系促使數學知識形成一個有機整體.例如，在教學“倍”的概念時，教師可采用數形結合模式，將抽象的數學概念“倍”轉化成形象的圖形，使學生在體會與運用中深諳模式識別的意義.

（二）創設典型情境，為模式識別提供原型

數學概念是一種特殊的思維形式，反映了數學對象本質的屬性.

創設典型情境的目的不在于引導學生識別某一個對象，而在于引導學生識別某一類客體共有的基本特征.例如，在教學二元一次方程的概念時，教師給出題目：在長為20 cm、寬為16 cm的長方形紙片的四角分別剪去大小相等的小正方形，做成一個無蓋長方體盒子，設小正方形的邊長為x cm，求（1）剪去的面積y與x的關系表達式;（2）盒子的表面積a與x的關系表達式;（3）盒子底面積s與x的關系表達式;（4）盒子較大的一個側面積m與x的關系表達式.

“通過觀察未知數的個數以及指數、表達式的項數，你有什么新發現？”，然后引導學生識別出一元二次方程的特征“形如y=ax2+bx+ca≠0，僅含一個未知數，且未知數的最高次數是2”.

學生識別出一元二次方程模式的本質特征后，便建立起一元二次方程的原型y=ax2+bx+c，而非y=x2.

（三）創設探究的數學情境，引導概念特征的識別過程

數學概念的抽象性導致學生對一些數學概念的理解存在一定困難，且教材對數學概念的形成與由來往往介紹較少，因此，學生在數學概念的學習中往往易產生畏懼甚至排斥的心理.考慮到學生的認識過程是由具體形象逐漸過渡到抽象這一特點，教師可以創設相關情境，啟發學生從具體形象的實例中識別出概念的特征并歸納概括，引導學生進行模式識別的操作.在此過程中，教師應讓學生根據自身經驗和實踐操作學習數學概念，而不是直接獲得教師給予的純粹的“數學概念”.

例如：在軸對稱圖形的教學中，教師先出示一組圖片，如京劇臉譜、蝴蝶、昆蟲標本、建筑物等，讓學生觀察這一組圖片有什么共同特征，追問“你還能列舉出具有這種特征的物體嗎？”.學生在觀察中很快會發現這些物體都是對稱的.接著，教師以蝴蝶圖片為例，通過多媒體演示蝴蝶圖片沿中心線翻折的過程，以此讓學生歸納概括出對稱圖形的共同本質特征.如果學生發現不了，那么教師可以從圖形的形狀、大小及位置關系方面提問，進一步啟發學生思考.至此，學生對軸對稱圖形的本質特征進行了識別.

教學建議：數學概念產生的途徑很多，有的數學概念源于生活實際問題，有的數學概念源于數學自身體系，更多數學概念源于這兩者的結合.因此，在概念教學的情境創設過程中，教師需要以概念自身的產生背景為基礎，圍繞概念的本質創設情境，引導學生在數學情境中排除非本質、次要因素，識別歸納出概念的本質屬性，初步建立概念表象，并在學生識別的過程中，啟發學生找準識別角度，把握識別方向.

二、模式識別方法在概念獲得中的運用

（一）多角度識別概念的本質特征

由于分析的角度不同，同一個數學概念表現出的含義也就不同.如在教學角的概念過程中，教師可以通過“組成角需要什么條件？”這一問題引導學生識別出角的特征.為了讓學生全面、準確地把握角的概念的本質，教師可以用旋轉的角度引導學生對角的概念進行進一步解構.教師將射線的旋轉過程以動態的鐘擺來呈現，射線旋轉過程中掃過的面積即角的內部，也稱角內;類推平面其余部分則為角的外部，也稱角外.如此，教師就從靜態和動態兩個方面實現了對角的概念的解構.

（二）識別概念的外延

識別概念的外延即識別該概念所反映的全體對象.概念外延的識別可為進一步明確概念的本質奠定基礎.

例如：在三角形的認識教學中，學生在生活中已經初步形成三角形的概念，若要使學生建立更加全面的三角形的概念，則識別三角形的外延就顯得十分重要.在教學中，教師可以出示不同類別的三角形，啟發學生思考：每個三角形的三個角分別是什么角？你能根據發現的特點把這些三角形分類嗎？學生便由此建立角的概念.

（三）通過識別新舊概念間的聯系與區別實現概念的獲得

現代認知心理學認為，數學概念的獲得過程是新概念與認知結構中原有相關概念內容相互作用后進一步完善認知結構的過程.因此，教師在概念獲得的過程中引導學生識別新舊概念之間的聯系與區別，并從中明確新概念的本質屬性就顯得格外關鍵.值得一提的是，這里為新概念做鋪墊的舊概念知識必須是與新概念有關聯的知識，如此才有識別的意義，即模式識別中的新舊概念之間關系的識別.

例如：在教學小學數學中“比”這一概念時，教師可以將學生已經掌握的“除法”概念與“比”概念進行比較，啟發學生識別兩個概念的同與異，從而建立“比”的概念.又如在教學“抽象的空間幾何中的直線垂直”這一概念時，教師可以將“平面幾何中直線垂直”的概念與其相比，引導學生在識別二者之間關系的基礎上獲得空間垂直的概念.

教學建議：在概念獲得的過程中，學生在頭腦中形成的數學概念是學生在識別特征的基礎上歸納出來的，而不是教師強行灌輸的，這一做法符合學生的認知發展規律.因此，在概念獲得的教學過程中，教師可以引導學生從不同的角度識別概念屬性，完成概念本質特征的識別，促進學生完成模式的建構.另外，教師可以以學生認知結構中的原有概念為新概念識別的起點，幫助學生在舊概念的基礎上建構新概念，從而完成新概念的獲得.

學生在此過程中需要學會用符號語言、圖形語言、幾何語言將數學概念表示出來，將數學符號賦予相應的數學概念.這也是學生符號意識發展的重要表現之一.

三、模式識別方法在概念鞏固中的運用

（一）對模式進行變式

變式改變的是對象的角度、方法或非本質特征的表現形式，從而突出那些隱藏的、易被學生忽視的本質要素.概念建立后，教師可以根據學生識別過程中的難點、易混淆點設計相關練習.

練習1 圓的認識

分別指出圖1中圓的直徑和半徑.在教學中，教師設置幾個與半徑、直徑相似的線段讓學生識別，進一步鞏固學生關于直徑、半徑概念的內涵與外延.概念變式有標準變式和非標準變式兩類.標準變式從某種程度上來說有利于學生準確把握概念，但同時會縮小概念的外延，使學生的思維變得狹隘.而非標準變式可以彌補這一缺陷，利用概念非本質要素的變更來突出其本質屬性.

（二）對模式進行轉換

在概念鞏固的過程中，轉換數學概念模式并將其與其他數學概念模式相聯系，有助于學生在認知結構中已有的模式上拓展相關模式.

練習2 圓出于方

師：“圓出于方”的古語你們聽過嗎？如圖2，我們可以通過如下的操作來近似得到圓.假設一個正方形的邊長是 6 cm，那么在這個正方形里最大的圓的直徑是多少？

生：圓的直徑就是正方形的邊長，就是6 cm.

師：如果不告訴你任何信息，你能找出一枚硬幣的直徑嗎？

生：硬幣四周緊貼正方形，硬幣直徑就是正方形的邊長.

學生識別圓這一概念往往不能一次成功，其過程是螺旋上升式的.教師要引導學生進一步挖掘概念背后隱藏的數學本質，使學生頭腦中不斷修正、擴展并提升模式.

（三）對模式進行完善

一個階段的學習完成之后，教師要引導學生將學習過的概念進行整理歸納，識別概念與概念之間的聯系與區別，從而使促進學生掌握完整的概念模式.比如，學生在學了“比”的全部知識后，教師可以引導學生歸納整理“比”的概念，“比”與除法、分數的聯系與區別，“比”的基本性質，以及根據“比”的基本性質化簡“比”.這一系列模式的建立能很好地解決求比例尺和比例分配的關系.通過這一過程形成的相關概念的模式網絡使學生在理解概念的基礎上加深對數學本質的感悟.概念模式不斷被完善，學生才能得心應手地應用概念解決實際問題.

教學建議：在鞏固概念的過程中，為了加深學生對概念的認識，教師需要變換概念的非本質屬性以對概念模式進行變式，進一步使學生在變化中識別概念中不變的本質.另外，在一個階段的教學完成后，教師需要有意識地引導學生將學過的概念進行整理，并在新舊模式間建立起聯系，使完善的模式儲存于學生的頭腦中，從而為學生的靈活運用概念奠定基礎.

【參考文獻】

[1]曹才翰，章建躍.中學數學教學概論（第3版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 徐文彬.數學概念的認識及其教學設計與課堂教學[J].課程·教材·教法，2010（10）：39-44.

[3]曹才翰，張建躍.數學教育心理學（第3版）[M].北京：北京師范大學出版社，2015.