基于啟發(fā)式教學(xué)思想的數(shù)學(xué)命題教學(xué)設(shè)計

梁佩雯 楊豫暉

【摘要】基于啟發(fā)式教學(xué)思想，以“平行線的判定”為例，結(jié)合數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的三個階段（命題獲得、命題證明、命題應(yīng)用），進行教學(xué)設(shè)計及其理論分析.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)命題教學(xué);啟發(fā)式教學(xué);教學(xué)設(shè)計;平行線的判定

【基金項目】數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與實施，廣東省研究生示范課程研究項目（2018SFKC40）.

一、引言

在初中教學(xué)階段，加強數(shù)學(xué)命題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)十分重要的任務(wù).數(shù)學(xué)命題教學(xué)是指教師通過挖掘命題內(nèi)核，遵循學(xué)生數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的三個階段，即命題獲得、命題證明、命題應(yīng)用，設(shè)計出符合數(shù)學(xué)命題內(nèi)在邏輯及學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)活動，進而將數(shù)學(xué)命題穩(wěn)定融入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中.

啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)必須依托數(shù)學(xué)學(xué)科的特點（嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓浴⒏叨鹊某橄笮?、?yīng)用的廣泛性）和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊性（數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維活動）.啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)思想的實質(zhì)是指教師在教學(xué)過程中，能結(jié)合數(shù)學(xué)命題產(chǎn)生的思維活動過程，從學(xué)生實際即學(xué)生的知識含量、認(rèn)知水平、思維方式出發(fā)，采用設(shè)問置疑、引發(fā)猜想等方式，力求創(chuàng)設(shè)“不憤不名，不悱不發(fā)”的教學(xué)情境，使學(xué)生產(chǎn)生在認(rèn)知與情感上的“饑餓感”，進而誘發(fā)學(xué)生主動思考、動手探究，并能用語言表達(dá)思維過程，最終習(xí)得知識，形成技能，提高能力，積累經(jīng)驗.

事實上，啟發(fā)式教學(xué)早已滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，但將啟發(fā)式教學(xué)融入數(shù)學(xué)命題教學(xué)中成形的理論和模式較少，而單獨研究啟發(fā)式教學(xué)或數(shù)學(xué)命題教學(xué)的成果已十分成熟.因此，本文試圖探討基于啟發(fā)式教學(xué)思想的數(shù)學(xué)命題教學(xué)方法，以期為初中數(shù)學(xué)命題教學(xué)提供一定的借鑒和參考.

二、基于啟發(fā)式教學(xué)思想的數(shù)學(xué)命題教學(xué)設(shè)計思路

以啟發(fā)式教學(xué)思想作為數(shù)學(xué)命題教學(xué)的指導(dǎo)思想，其目標(biāo)指向?qū)W生思考的過程和思考的方法，而不是問題的結(jié)果和統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)答案.根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，教師可以設(shè)計不同的教學(xué)模式.不同的數(shù)學(xué)命題教學(xué)模式主要區(qū)別在于命題獲得階段，而啟發(fā)學(xué)生思考的關(guān)鍵則體現(xiàn)在每個思維階段的提問環(huán)節(jié).

本文在張昕、韓龍淑、屈俊等提出的教學(xué)設(shè)計流程圖的基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)學(xué)命題的特點、結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)形式及學(xué)習(xí)的心理過程，建立如下流程圖.

需要指出的是，本文基于啟發(fā)式教學(xué)思想的數(shù)學(xué)命題教學(xué)設(shè)計流程圖，是基于初中階段“平行線的判定”這一節(jié)課構(gòu)建的，同時，該流程圖還明確了教學(xué)設(shè)計的分析過程、教學(xué)的設(shè)計過程、教學(xué)過程的啟發(fā)關(guān)鍵點，包括在命題獲得階段創(chuàng)設(shè)憤悱的問題情境和在命題證明階段進行思維策略的指導(dǎo)，將設(shè)計“平行線的判定”這節(jié)課的思考與實施過程進行提煉，以期為中學(xué)數(shù)學(xué)教師對啟發(fā)式教學(xué)本質(zhì)的把握提供案例式的參考.

三、基于啟發(fā)式教學(xué)思想的平行線的判定定理教學(xué)設(shè)計

1.確定數(shù)學(xué)命題教學(xué)的目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對“平行線的判定”這節(jié)課的兩點要求：①掌握基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行;②探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等（或同旁內(nèi)角互補），那么這兩條直線平行.其核心內(nèi)容是三條判定定理的學(xué)習(xí)，非常適合在命題證明時向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的思維策略.本文確定的教學(xué)目標(biāo)包括：①認(rèn)識“∵”“∴”，初步學(xué)會用符號語言表示推理過程;②在“利用三角尺和直尺畫平行線”的活動中，發(fā)現(xiàn)判定定理1，體會其作為基本事實的合理性;③利用轉(zhuǎn)化思想探索判定定理2和判定定理3;④能初步運用三條定理進行簡單推理和解決數(shù)學(xué)問題.

2.啟發(fā)學(xué)生經(jīng)歷思考的節(jié)點

在學(xué)習(xí)這節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，以及平行線的定義.同時，學(xué)生之前接觸的是一步推理，而且是在因果關(guān)系比較明顯的情況下進行的推理.而平行線判定定理的推導(dǎo)需要先通過角的關(guān)系，進而找到符合判定定理的條件，因此涉及兩步推理，學(xué)生需要思考的問題會復(fù)雜一些.

因此，教師在教學(xué)的過程中應(yīng)當(dāng)注意引導(dǎo)與啟發(fā)學(xué)生思考，滲透轉(zhuǎn)化的思維策略，即通過“同位角相等，兩直線平行”的學(xué)習(xí)，可以轉(zhuǎn)化為證明“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”的方法，同樣的，“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”的證明也可以通過轉(zhuǎn)化為前兩條判定定理進行求證.轉(zhuǎn)化的思想是本節(jié)課要教給學(xué)生的一種重要的思維策略.

3.教學(xué)預(yù)設(shè)

活動1：復(fù)習(xí)舊知.

提問1：我們上一節(jié)課已經(jīng)知道了平行線，同學(xué)們請看，這是一組平行線嗎？

追問：你是怎么確定它是平行線的呢？（隱性提問：如何證明兩直線平行呢？）

【設(shè)計意圖】激活“平行線的定義”這一節(jié)點，同時為本節(jié)課的要點“如何證明平行線”埋下伏筆.

活動2：獲得判定定理1

通過畫平行線的活動引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生“同位角相等，兩直線平行”的猜想，此時教師應(yīng)肯定學(xué)生的猜想，使學(xué)生獲得命題，而后滲透符號語言的表達(dá)，為后續(xù)命題的證明做好準(zhǔn)備.該活動達(dá)成教學(xué)目標(biāo)1和2.

提問2：請同學(xué)們拿出直尺和三角板，應(yīng)用直尺和三角板在練習(xí)本上嘗試畫出平行線，畫完后小組討論，看看你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

請多名小組代表回答，由教師總結(jié)：①三角板是沿著同一條直線移動;②這條直線與平行線之間的夾角是同位角;③由于這兩個角都是三角板中的一個角，所以同位角相等.

追問：在畫平行線的活動中，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)確定這兩條直線是一組平行線時，那么其同位角是相等的.反過來說，如果我們能確定有一組同位角相等，能不能證明這兩條直線相互平行呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生猜想：同位角相等，可以證明兩條直線平行.

【設(shè)計意圖】經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動產(chǎn)生命題猜想，進而得到啟發(fā)：同位角相等，可以證明兩直線平行.

PPT展示平行線的判定定理1及板書符號語言：

∵ ∠1=∠2，

∴l(xiāng)1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

【設(shè)計意圖】經(jīng)歷畫平行線的活動獲得判定定理1，體會這是一個基本事實.同時，初步讓學(xué)生學(xué)會用符號語言表示推理過程，從中體會數(shù)學(xué)的簡潔美，也為后續(xù)判定定理2和判定定理3的推理做好準(zhǔn)備.

活動3：獲得并證明判定定理2

通過思考題猜想“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”并證明.在證明猜想的過程中學(xué)生會產(chǎn)生由一步推理提升到兩步推理的認(rèn)知困難，此時是滲透轉(zhuǎn)化思維策略及啟發(fā)學(xué)生逆向思維的關(guān)鍵.該活動達(dá)成教學(xué)目標(biāo)3.

【PPT展示】思考：如果∠1=∠3，能證明AB∥CD嗎？

提問3：既然我們已經(jīng)知道了同位角和平行線之間的關(guān)系，看圖，哪名同學(xué)能幫老師找到圖中所有的同位角呢？

追問1：除了同位角，我們還學(xué)過內(nèi)錯角，能否繼續(xù)找出圖中所有的內(nèi)錯角呢？

追問2：你認(rèn)為內(nèi)錯角與平行線之間是否也存在關(guān)系呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生猜想：內(nèi)錯角相等，可以證明兩直線平行.

【設(shè)計意圖】獲得命題猜想并試圖證明，學(xué)生開始思考，出現(xiàn)啟發(fā)關(guān)鍵.

緊接著，教師通過問答的方式，先幫助學(xué)生理清解題思路，再要求學(xué)生作答.

【預(yù)案】

問：題目中需要我們求證的是什么？答：AB∥CD.

問：要證明兩條直線平行，需要尋找什么？答：同位角相等.

問：題目中是否告訴我們同位角相等？題目中給出的條件是什么？答：沒有.題目中已知的條件是∠1=∠3.

問：這是一組什么角？答：內(nèi)錯角.

問：既然沒有告訴我們相關(guān)條件，你能否從這個圖中找出一些隱含的條件呢？

……

【設(shè)計意圖】學(xué)生首次接觸兩步推理，教師通過問答的方式幫學(xué)生厘清證明思路，讓學(xué)生感知推理證明的思維方式，同時滲透轉(zhuǎn)化的思維策略，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

活動4：獲得并證明判定定理3.

自主探索并證明判定定理3，進一步體會轉(zhuǎn)化思想的意義.該活動達(dá)成教學(xué)目標(biāo)3.

提問4：請同學(xué)們繼續(xù)思考，剛才我們已知當(dāng)同位角相等和內(nèi)錯角相等時，兩直線平行，那同旁內(nèi)角與平行線是否也存在關(guān)系呢？

【預(yù)設(shè)】學(xué)生產(chǎn)生“同旁內(nèi)角相等或同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”兩種不同猜想.

【PPT展示】思考：如果∠1+∠4=180°，能證明AB∥CD嗎？

提問5：小組內(nèi)相互討論，并用不同的方法進行證明.

教師巡視并指導(dǎo)，然后請小組代表作答，展示兩種證明過程.

【設(shè)計意圖】在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上讓學(xué)生獨立發(fā)現(xiàn)命題并證明，再次強化轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用.

活動5：命題應(yīng)用與強化.

解決一道思考題強化學(xué)生頭腦中新獲得的命題.該活動達(dá)成教學(xué)目標(biāo)4.

【PPT展示】思考題：如圖所示，∠D=53°，∠1=127°，∠2=53°，請說明直線EF與DG，AB與CD的位置關(guān)系.

提問6：請同學(xué)們小組內(nèi)討論交流，嘗試用多種方法進行證明，看看哪個小組能做得又多又好.

學(xué)生討論交流，教師巡視并指導(dǎo)，要求同學(xué)們獨立寫出至少兩種證明過程，然后找1名小組代表展示其中一種證明方法，其他方法則作為課后作業(yè)進行補充.

【設(shè)計意圖】通過一題多證強化學(xué)生頭腦中新形成的新知.

四、基于啟發(fā)式教學(xué)思想的數(shù)學(xué)命題教學(xué)設(shè)計應(yīng)注意的問題

通過“平行線的判定”這節(jié)課的設(shè)計以及流程圖的構(gòu)建，筆者認(rèn)為教學(xué)啟發(fā)的關(guān)鍵出現(xiàn)在命題獲得和命題證明兩個階段，抓好啟發(fā)的本質(zhì)和關(guān)鍵，不僅能幫助學(xué)生學(xué)到真正有用的數(shù)學(xué)知識，還能幫助他們提高能力，形成智慧.

第一，數(shù)學(xué)教學(xué)是以數(shù)學(xué)知識為“物質(zhì)基礎(chǔ)”的，數(shù)學(xué)教師必須揭開數(shù)學(xué)教材中知識邏輯體系的面紗，展露數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的思維過程.在分析過程中，教學(xué)目標(biāo)的確定應(yīng)體現(xiàn)該命題有梯度的推理和證明過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，保證學(xué)生動腦思考的積極性.

第二，創(chuàng)設(shè)猜想、置疑的情境是啟發(fā)式教學(xué)思想的起點，也是學(xué)生獲得命題的關(guān)鍵.在此之前，可以先激活學(xué)生頭腦中已有的相關(guān)知識，只有原有的知識網(wǎng)絡(luò)啟動之后，新的結(jié)點才能更好地被大腦接收.學(xué)生在問題情境中產(chǎn)生了認(rèn)知缺口，教師需以提問的方式引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生主動思考，體驗邏輯推理的思維過程.比如在證明定理2的過程中，需要運用逆向思維及兩步推理，對于學(xué)生來說具有挑戰(zhàn)性，教師可通過提問方式幫助學(xué)生梳理思路，由學(xué)生自己完成推理過程，進而再自主探索定理3并進行證明.學(xué)生只有經(jīng)歷了主動思考過程，才能學(xué)會推理方法，提升數(shù)學(xué)的理性精神.

第三，命題證明階段是提供思維策略啟發(fā)的關(guān)鍵.“思維策略的指導(dǎo)即教給學(xué)生模式性、策略性的內(nèi)容，讓學(xué)生學(xué)會在做任何事之前不沖動、先思考、講策略，進而體驗事半功倍的樂趣”.在“平行線的判定”課例中，證明判定定理2和3的過程滲透了轉(zhuǎn)化的思維策略，不僅能啟發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生從中學(xué)習(xí)解決問題的不同方法，還能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維品質(zhì).

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