《函數的最大（小）值與導數》教學案例

梁必文

一、案例簡介

該教學案例是針對人教版《高中數學》選修2-2第29頁—第31頁“函數的最大（小）值與導數”展開教學的。此內容學習了函數的單調性、函數的極大（小）值與導數的基礎上的思維發展。函數的最值是研究函數的目的和意義所在。通過本節案例，學習和掌握導數在研究函數中的應用方法，并與之前研究函數的最值方法進行比較，體會導數在研究函數最值中的優越性。該內容是選修2-2第一章導數及其應用的重頭戲，是研究導數的目標之一，教學的意義不言而喻。

二、教學設計

結合前一小節有關函數極大（小）值中的具體例子，比較不同類型函數的圖像特點，區分極值與最值的區別，歸納得出利用導數求函數最值的思路：只要把函數y=f（x）的所有極值連同端點的函數值進行比較，就可以求出函數的最大（小）值。最后總結歸納求函數f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步驟和注意問題。

三、教學實施

（一）知識回顧

1.極值的判定

2.求可導函數f（x）的極值點和極值的步驟

（1）確定函數的定義域;（2）求出導數f'（x）;（3）令f'（x）=0，解方程;（4）列表：把定義域劃分為若干區間，考察每個部分區間內f'（x）的符號，判斷f（x）的單調性從而確定極值點;（5）下結論，寫出極值。

3.引出最大值和最小值的概念

（二）新課探究

2.比較極值和最值的區別與聯系

（三）典例分析

1.判斷下列命題的真假

（1）函數在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個（? ?）

（2）最大值一定是極大值（? ? ）

（3）最大值一定大于極小值（? ?）

（4）函數的最大值一定是函數的極大值（? ?）

（5）開區間上的單調連續函數無最值（? ?）

（6）函數f（x）在[a，b]上的最大值和最小值一定在兩個端點處取得（? ?）

答案：（1）對（2）錯（3）對（4）錯（5）對（6）錯

2.求函數在[0，3]上的最大值和最小值

回顧上一節課求函數極值的過程，得出求給定區間函數的最值的思路和方法，并比較兩者的異同。

（四）練習鞏固

求下列函數在給定區間上的最大值與最小值

（五）課堂小結

四、教學效果與反思

通過本節課的線上教學，學生在鞏固之前求函數的極值方法基礎上，區別了函數的極值和最值，并學習和掌握了導數在研究函數中的應用方法，體會到了導數在研究函數最值中的優越性。但線上教學因客觀原因，留給學生練習的機會不多，下一步要多拓寬思路，積極尋找線上教學師生互動方法，以便給學生提供更多的訓練平臺。