“畫”“話”“化”：提升學生數學學習能力的有效策略
——以《認識三角形》一課為例

江蘇張家港市樂余中心小學 黃振華

核心素養是學生終身發展必備的品格和關鍵能力，“能力為重”顯然是核心素養中的“核心要素”。素養是行為能力，培育學生的核心素養要通過能力發展的渠道。數學關鍵能力是小學生數學素養的基礎部分，數學知識是數學能力形成的載體，也是學生數學素養形成的載體。

筆者曾執教過四年級下冊的《認識三角形》，在教學中，筆者重視從“畫”“話”“化”三個方面培養學生的數學能力。

一、畫——在操作中感知

蘇教版數學四年級下冊專設了一個 “畫圖”策略的教學，其實學生對“畫圖”并不陌生，一年級的“比多比少”、二年級的“表內除法”、三年級的“和倍問題”……隨著年齡的增長、經驗的增加，用圖能表現的知識、解決的問題越來越多，學生的學習經驗也越來越豐富。遇到數學問題，畫一畫，能明晰題意、厘清關系、凸顯特征、比較異同。《認識三角形》這一課，筆者設計了三次畫三角形的教學環節。

1.初畫——隨意畫

畫自己心目中的三角形，學生一定能畫對嗎？答案是“不一定”。學生大體有這樣幾種畫法：用三角尺描；畫三條相交的邊；先畫一個角，再連線；先畫三個點，再依次連起來。這個時候，學生作品的選擇十分講究。筆者找了幾幅作品，有正確的例子，有錯誤的例子。著重從圖1中的下面那個三角形展開討論，將學生的注意力集中到三角形的邊和角上來。學生發現邊不夠直，角是圓的，邊與邊沒有連到一起。在判斷圖1中第一個圖形是否是三角形時，他們看得非常仔細，一個小小的缺口都看出來了。圖2中擦去的那一段留下的痕跡，成了一個極好的教學資源，筆者適時追問：為什么要擦去這一段？讓學生深刻感受到 “圍成三角形的三條線段需要首尾相接”。

圖1

圖2

欣賞作品之后，提出問題“到底什么樣的圖形才是三角形呢？”將學生的關注點再次聚焦，接著筆者在黑板上畫三角形，首先明確三角形的邊是線段，故意畫了兩條，請學生上來畫第三條。實際上，這時第三條線段的端點所在的位置已經固定了，必須要和原來兩條線段的端點重合，所以尺只有一種放法。為了凸顯“首尾相接”，筆者特意改變尺的位置，學生說不行，三角形的邊和邊必須要相交，而且是端點和端點重合。至此，三角形概念的形成就水到渠成了。

2.再畫——定點畫

第二次畫三角形是定點畫（如圖3），一是為了說明三角形的三個頂點不能在一條直線上，二是為了引出高的概念。這里設計了一次小組交流，任選3個為頂點，到底能畫出幾種三角形？小組交流后有不同的見解，在集體交流中可以聽到思維碰撞的聲音。

圖3

三點在同一條直線上圍不成三角形，學生已達成共識。問題：假如我就想讓B、C、D作為頂點能圍成三角形，可以怎么做？學生自然想到將C上移。觀察畫出的三個三角形，同桌討論：什么沒變，什么變了？目的是引導學生發現C點不斷變化，它到BD邊的距離也在不斷變化，從而引出“高”的概念。

3.三畫——同底等高畫

第三次畫三角形，是在最后的鞏固拓展階段，將書上習題進行了改編，提高了畫三角形的要求，規定在方格紙中畫一個底5厘米、高3厘米的三角形（如圖4）。學生嘗試，找到多種同底等高的畫法，然后引導學生發現：底不變，三角形的第3個頂點的位置在同一條直線上，而這條直線與底所在的直線是一組平行線。利用平行線間距離處處相等的原理，得到可以畫出不同形狀的同底等高三角形。其間，穿插了解直角三角形高的特點和畫法教學，以及鈍角三角形高的特點。通常學生只能想到兩三種畫法，課件的輔助教學打開了學生的思路，移動的高（平行線之間的垂直線段）使教學更為直觀、形象，學生更易理解。

圖4

二、話——在表達中完善

在學習本課之前，學生對三角形究竟有多少認識呢？大多數學生僅限于能從一些平面圖形中挑出三角形，少部分學生可能還會將三棱柱之類立體圖形也認作三角形。在四年級上冊，進一步認識了角之后，教材中安排了一些習題，測量三角形三個內角的度數，并算出內角和。學生對三角形的內角和是180度有了初步的感知，但并未得出這樣的結論。那么，如何讓學生在本課的教學過程中，完善之前對三角形的印象，歸納出三角形的定義和特征呢？師生、生生之間的交流和補充是有效的教學方式。

例如，在判斷學生第一次畫的圖形是否是三角形時，筆者出示了幾個畫對的三角形，又出示了錯例，接下來組織討論：

師：你們覺得這位同學畫的是三角形嗎？

生（齊）：是！

師（放大圖形）：確定嗎？

生1：我覺得不是，它的一條邊不直。

生2：它的兩條邊沒有相交。

生3：它的角是圓的，三角形的角應該是尖的。

師：那他畫的另一個是三角形嗎？

生：也不是，右下角也沒有連上。

師：那到底什么樣的圖形才是三角形呢？

生1：有3個角。

生2：有3條邊，而且邊是直的。

生3：邊和邊要相交。

一開始學生都認為這是三角形，在隨后的討論與交流中，個別學生的表達可能是片面的、不完整的，但是學生之間的互相補充使得他們的注意力自然而然地聚焦到了邊、角和頂點上來。此時，筆者順勢在黑板上畫出三角形的兩條邊，讓一個學生畫第三條邊，大家都明確了要將畫出的兩條線段的端點用第三條線段連起來，“首尾相接”雖然學生不能想到，但是要點都已經完全掌握。

認識并學會畫高之后，筆者提出問題：如果要請你介紹三角形的高，你會怎樣說呢？學生的表達十分精彩：三角形的高說白了就是一條垂直線段；三角形的高一般用虛線表示，不能忘記標直角符號；畫三角形的高就和我們剛學的畫點到直線的垂直線段方法一樣；一個三角形有3條高，它們相交于一點；不同的底有不同的高。經過上述教學環節，學生對高的認識在交流中越來越完整、越來越完善。

在數學課上，學生的表達欲得到了充分的尊重，學生的思維也在一步步完善、一步步提升。

三、化——在溯源中建構

如何正確畫出三角形的高是本課的難點，好在這一課屬于提前教學，是在剛剛學完畫點到直線的垂直線段的基礎上教學高的畫法，只要稍加點撥就能勾連學生的已有知識經驗和新知的聯系。既然畫高與畫點到直線的垂直線段有直接聯系，那么何不就從點到直線的垂直線段說起？當學生明確在同一直線的B、C、D點無法圍成三角形時，筆者拋出問題：想個辦法，讓B、C、D能圍成三角形。果然，學生提出將C點移到高一點的位置。筆者順次改變了三次C點的位置，圍出了三個高度不同的三角形。此時討論：這三個三角形什么沒變，什么變了？學生說了很多，當學生說到B、D沒變，C點變了的時候，筆者進行了以下教學：

師：C點怎么變了？

生：C點越來越高了。

師：C點越來越高，說明C點離BD邊的距離越來越——

生：遠了。

師：以這個三角形為例，如果每個方格邊長1厘米，你能說出C點到BD邊的距離是幾厘米嗎？

生：5厘米。

在筆者的追問下，學生上臺找到了那條垂直線段，這條垂直線段的長度就是C點到BD邊的距離。這個教學過程激活了學生的已有經驗，指出三角形的高和底的概念，順理成章，同時讓學生清晰地認識到三角形的高是一條垂直線段。

此時隱去方格紙再來找三角形的高，能找到的同學并不多，那是因為受到了另外兩條邊的干擾，當筆者利用課件隱去另外兩條邊后，學生明顯產生了共鳴：原來畫高的方法和畫點到直線的垂直線段的方法是一樣的，甚至有學生說出了前面老師講到的畫垂直線段的口訣：貼、靠、移、畫、標。這樣的處理，成功地將新知與舊學相勾連，化難為易，化未知為已知，學生對高的認識、畫高的技能都追溯到了源頭，本課的難點也就迎刃而解了。

筆者認為：畫、話、化，是培養學生學習數學關鍵能力的三大手段。

畫，即畫圖，不僅包括本課例中的按要求畫圖，還包括將題意用“圖”來表示，如用符號、示意圖、線段圖來表示題目中的數量關系。在這個變抽象為直觀的過程中，培養的不只是學生“畫”的能力，更多的是理解能力、觀察比較的能力，以及分析和思考的能力。

話，即對話，交流。課堂之上，師生、生生，甚至是生本之間，時刻存在著對話。智慧的教師會交出話語權，甘愿退居幕后，讓學生在對話中不斷修正、補充和完善對知識的理解。學生在課堂上有了“話語權”，他們才愿意說、敢于說、善于說。而對話的過程，正是思維不斷碰撞的過程。有效的對話，會讓學生的思維不斷深入，讓表達愈發完整，是培養學生思維能力和表達能力的重要手段。

化，即轉化，化難為易、化繁為簡、化抽象為直觀、化未知為已知，通過追本溯源將相關的數學知識“打造”成一條知識鏈，甚至構筑成知識網絡，這無疑是學好數學的優質方法。學習的過程是一個從簡單到復雜的過程，但復雜的問題實際上是若干個簡單問題的累加，所以學習的過程又可以看作是將復雜的問題轉化為簡單問題的過程。如本課例，利用課件，將畫三角形的高的過程與畫點到已知直線的垂直線段的過程實現了無縫對接，成功勾連了兩個知識點之間的關系，為以后進一步認識平行四邊形和梯形的高又打下了扎實的基礎。這樣的設計更是為了讓學生體會到“轉化”的意義，意在培養學生數學學習能力。

國際學生評價項目 （PISA）2012年對數學素養是這樣定義的：數學素養是個體在各種情況下形成、使用、詮釋數學的能力。具體包括數學交流、數學表達、符號使用、數學思維和推理、數學論證、建立模型、提出和解決問題、使用輔助工具和技術八大能力。核心素養不是紙上功夫，而是“躬行”能力。在教學實踐中，讓學生在需要的時候“畫一畫”，在恰當的時機 “話一話”，在遇到困難的時候 “化一化”，正是培養學生數學學習能力，提升學生核心素養的有效教學手段。