課堂中落實數學核心素養

張愛芳　李鶴

如何在課堂教學中提升學生的數學核心素養，是每一位數學教師面臨的新課題。本文以一節習題課為例，闡明培養學生的數學核心素養，重在落實教師引導意識。筆者在授完“函數零點存在性定理”的內容后，為了檢測學習效果，隨之布置了兩道練習題進行當堂測試。

題目呈現及解法展示

已知函數f（x）=x2-2x+m在（0，4）上存在零點，求m的取值范圍。

在巡察的過程中，發現學生甲的解題過程如下：因為原函數在（0，4）上存在零點，所以在端點處的函數值異號，解得-8

教師將學生甲的解題過程展示出來，學生乙立刻反對，指出零點存在性定理是一個充分性定理，其逆命題為假命題，只有當函數在定義域上單調時逆命題才成立，而原函數在（0，4）上不單調，因此學生甲的解法是錯誤的。正確的解法為：因為原函數的對稱軸為x=1，所以當f（x）存在一個零點時，有-8

緊接著，學生丙又給出了另外一種解法：因為原函數在（0，4）上存在零點，所以函數f=x2-2x與y=-m的圖像在（0，4）上有交點，解得-8

學生大都肯定學生丙這種解法，認為函數的零點個數與f=x2-2x和y=-m的圖像交點個數之間是等價的，教師也對這種簡潔準確的解法給予了積極的評價。

隨后，教師拋出了第兩道題：判斷函數f（x）=x3-3x+1在（0，2）上是否存在零點。

片刻后，學生丁得出函數在（0，2）上不存在零點。理由是由于f（0）·f（2）>0，不滿足零點存在性定理的條件，故不存在零點。

大部分同學同意學生丁這個結果，但也有少數同學持懷疑態度。教師再次引導學生深入認識零點存在性定理，學生已經明白零點存在性定理只是一個充分性定理，但對充分性定理的本質未能深刻認識。教師通過反例指出對于充分性定理，如果滿足定理的條件，則結論一定成立;但如果不滿足條件，結論并不是一定不成立，而是可能成立，也可能不成立。通過小組交流，學生通過幾種不同的方法，得出函數在（0，2）上存在兩個零點的結論。

拓展思路

此時，教師感覺到學生對這兩道習題錯解的主要原因是對知識的內在邏輯推理能力不足。邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的主要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質。邏輯推理的主要表現為掌握推理基本形式和規則、發現過程問題和提出命題、探索和表述論證過程、理解命題體系、有邏輯地表達與交流。《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確提出：“通過高中數學課程的學習，學生能掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題;能夠在比較復雜的情景中把握事物之間的關聯，把握事物發展的脈絡;形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神，增強交流能力。”以邏輯推理能力作為數學學科的六大核心素養之一，筆者深感學生在這方面的不足，正好可借助本節課來訓練學生這方面的能力，故而向學生拋出另一個問題：在△ABC中，已知B=2A，a=1，b=√ ，求c。

由于這道題與本節課的內容無關，學生都比較困惑，不知道教師葫蘆里賣的什么藥，不過這倒也激起了喜歡探究的學生的興趣。幾分鐘后，學生戊得出答案為2。解題過程為：因為B=2A，所以sinB=sin2A。由正弦定理，得b=2a cosA，將a=1，b=√ 代入，得，c=2。

學生己不同意學生戊的解答，認為學生戊漏解了c的一個值。他的解答過程為：因為B=2A，所以sinB=sin2A，sinB=2sinAcosA。由正弦定理和余弦定理，將a=1，b=√ 代入，化簡得c=1或c=2。

其他同學各抒己見，有的支持學生戊的結果，有的支持學生己的結果，場面一時僵持不下。一番激烈地討論后，學生終于找到了問題的原因，發現學生己在解題過程中犯了與前兩道習題相同的錯誤，沒有考慮B=2A只是sinB=sin2A的充分條件，并非充要條件，兩者不是等價變形，因而出現了“增根”的情形，通過檢驗可知，當c=1時，B=? ，A= ，雖然滿足sinB=sin2A，但B≠2A。至此，學生終于明白教師的良苦用心。

反思與體會

學生數學能力的形成與數學核心養的提升主要依賴于數學課堂，高中數學新教材《普通高中教科書數學（人教A版）》增加了必要性與性質定理的關系、充分條件與判定定理的關系等內容，體現了以核心素養為導向的高中數學教材變革的方向。培養學生的數學核心素養，重在教師的引導意識，因為教師要給學生“教什么？怎么教？”會很大程度地影響學生具備怎樣的數學素養。在平時的課堂教學中積極引導學生去思考，才能使數學核心素養得以有效的體現與落實。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書（A版）：數學（必修第一冊）[M].北京：人民教育出版社，2019.

（作者單位：甘肅省天水市衛生學校;甘肅省定西市安定區東方紅中學）