淺談合情推理在分式教學中的應用

韓安國

摘 要：推理是初中階段學生必須掌握的基本能力之一，直接影響著學生解決問題的能力以及學習效率。人教版八年級上冊數學課本對分式的概念、性質、應用等方面的編排都體現了類比、歸納的數學思想，而合情推理是類比和歸納的綜合體現，將它應用到實際的數學課堂中，可以有效培養學生的推理能力。

關鍵詞：合情推理;初中數學;分式

邏輯推理作為不可或缺的數學能力，是六大數學核心素養之一。波利亞指出：論證推理可以用來肯定數學知識，而合情推理則可用來為猜想提供依據。可見，合情推理在數學的產生與發展過程中具有十分重要的作用。但傳統的初中教學模式下，大部分教師仍以引導學生進行論證推理，發展演繹推理能力為主，而忽略對學生進行歸納類比、聯想等合情推理能力方面的培養，也就是直接將數學知識的推理過程和結果展示在學生的眼前，沒有創設學生合情推理的機會和空間，學生無法體驗推理在數學學習中的樂趣，也使學生無法從根本上實現自身推理能力的提升。《義務教育數學課程標準（2011年版）》倡導推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中，推理包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果，在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發現結論。人教版初中數學八年級上冊數學課本在本冊導引中指出：在分式這一章你將看到，分式與分數就像姐妹一樣，有很多的特征，將類比分數學習分式。也就是說，分式的概念、性質、應用等方面的編排都體現了合情推理的思想方法，但是具體的落實過程還需要一線教師結合實際教學過程加強融合。因此，教師要聯系已有的教學方式，結合學生的認知情況，讓合情推理回歸課堂。在分式教學中有機融入類比、歸納的推理，有利于學生對新知識產生合理性的理解，便于學生歸納復雜的數學難題，從而提高學生的學習效率。

一、合情推理的內涵和意義

合情推理，是指人們運用自己在日常生活學習中獲得或積累的現有知識經驗，通過自身觀察、聯想、猜想、直覺、歸納、類比、 實驗等，非演繹的（或非完全演繹的）思維形式，構作出關于客體的合乎情理的認知過程。合情推理在初中數學學習中最常用的思維方式，就是歸納推理和類比推理。合情推理在數學教學中的科學運用，對于激活學生的創新思維，培養學生的數學意識是非常有幫助的。最近幾年的中考數學試卷中出現了一些引導學生進行合情推理的試題，目的就是要讓學生不僅要從理論上理解什么是合情推理，更要通過實踐運用，通過觀察、實驗、猜想、驗證等過程真正體驗數學知識的形成過程。

二、類比在分式教學中的融合

類比是根據某兩個對象具有一些相同或相似的屬性，其中一個對象具有某一屬性，從而推測另一對象也具有這一屬性，其實質是從特殊到特殊的推理過程。初中數學知識是一環銜接著一環，例如，在學習和探索分式之前，都需要復習和聯系已經學習過的分數，對分式概念的了解和分式性質的掌握做好充分的認知準備，通過新舊知識進行深入的類比，達到學習分式的目的。

1.類比在分式基本性質教學中的應用

師：復習分數的基本性質。

師：結合分數的基本性質，是否可以類比出分式的基本性質？

生：可以推出分式的基本性質。

師：把全班學生分為幾個小組，以小組合作學習的形式討論分式的性質，從分數的基本性質類比出分式具有哪些性質。派小組代表展現小組的思考結果。

生1：分式的分子和分母同時乘以一個不為0的整式，值不變。

生2：分式的分子和分母同時除以一個不為0的整式，值不變。

師：同學們回答得很好，下面我們一起總結分式的基本性質：

分式的分子與分母同時乘以或者除以一個不為0的整式，分式的值不變，用式子表示為：

師：分數與分式的基本性質的聯系與區別是什么？

生：分式的分母中含有字母，由于字母可以表示數，所以可以認為分數是分式中的字母取某些值時的結果，因而分式更具有一般性，分式的性質是分數的性質的推廣，因此我們從分數出發認識分式就是從具體到抽象、從特殊到一般的認識過程。

2.類比在分式約分教學中的應用

活動1：把下列分數化為最簡分數：

學生搶答。

師：分數化簡的關鍵是什么？

生：找分子分母的最大公因數，然后約去。

活動2：把下列分式化為最簡分式：

學生思考嘗試解答。

師：類比分數的約分，你覺得分式的約分關鍵是什么？

生：找出分子分母相同的部分，然后約去。

師：思路很清晰！分子分母都是整式，如何去找兩個整式相同的部分？

生：我想到了公因式。

師：公因式怎么得到？

生：如果分子分母都是整式積的形式，直接提公因式;如果不是整式乘積的形式，先因式分解，再提公因式。

師：非常正確！找到分式約分的方法了嗎？

生：只需要找到分子分母的公因式，然后約去就可以了。

師：非常棒！同學們借助類比自己探索出了分式約分的方法。接下來請同學們獨立完成上述練習，體會發現的喜悅與成就感吧！

3.類比在解分式方程教學中的應用

教師：解一元一次方程的解題步驟是哪些？

學生：去分母、去括號、移項、合并同類型、化系數為1。

化簡得：3x=4（x-1）

去括號得：3x=4x-4

移項得：3x-4x=-4

合并同類項得：-x=-4，

化系數為1得：x=4。

教師：讓學生以觀察、猜測、分析作為基礎，通過類比、總結、猜想解分式方程的步驟。

學生：去分母、去括號、移項、合并同類型、化系數為1。

化簡得：90（30-v）=60（30+v）

去括號得：2700-90v=1800+60v

移項得：-90v-60v=-2700+1800

合并同項得：-150v=-900

化系數為1得：v=6

教材是學生獲得知識的重要材料，分式的教學內容中，注重學生類比能力的培養，將類比方法貫穿始終。在利用類比推理推測新知識的過程中，教師將舊知識和新知識的聯系展現在學生的眼前，給學生提供猜想推測、展示自我的機會，幫助學生獲得完整的推理體驗，進而加深學生對新知識的印象，培養學生的邏輯思維和解決問題的數學意識。

三、歸納在分式教學中的融合

歸納是觀察和綜合事物或特例的一部分特征和屬性，然后提出一般性結論和規律的過程，也就是由特殊到一般的認識過程。在分式的教學中，教師正確引導學生學會歸納推理的方法，可以幫助學生培養起合情推理能力，從而達到事半功倍的學習效果。

1.利用歸納思想導出分式的相關概念和法則

（1）分式的概念

師：觀察代數式有什么共同點？學生觀察后嘗試歸納。

生1：與分數的形式相似。

師：很好！這位同學通過類比將這類型代數式與分數聯系起來！

生2：分子分母上都是整式。

師：說得對！

生3：分母中都含有字母。

師：觀察得非常仔細！分子上有這樣的限制嗎？

生3：分子是整式即可！

教師請學生歸納總結。

生4：分子分母都是整式，分母中含有字母。

教師引出分式概念：

一般地，如果A、B分別表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

（2）分式的加減法則

歸納推理是從特殊到一般的推理，需要有較強的觀察能力、分析能力、類比能力。以上的解題過程先用歸納得到結論，再分析類比的思想，也就是既有歸納推理，又有類比推理。

2.利用歸納思想探討分式方程中參數求值的問題

當a為何值時，下列分式方程無解。

解：分式方程化為整式方程：（a+1）x=25

（1）當a+1=0時，分式方程無解，a=-1

（2）當x=5時，分式方程無解，a+1=5，a=4

（3）當x=-5時，分式方程無解，a=-6

從而歸納出a的值是-6，-1，4時，分式方程無解。

在分式教學過程中，引導學生類比分數學習分式，綜合歸納題目可能出現的各種情況，加深學生對新舊知識的銜接，激發學習興趣，有效提高學生數學學習的效率，縮短學生解決問題的時間，對學生未來的成長和發展有著十分積極的影響。

參考文獻：

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