基于數學核心素養下單元整體設計研究性學習課例

摘 要：《普通高中數學課程標準（2017年版）》中明確提出了高中數學教學要提升和發展學生的數學核心素養。將以“橢圓及其標準方程”為例，以數學核心素養的落實為出發點設計教學過程，使數學學科素養在課堂教學中得以落實。

關鍵詞：橢圓的定義;橢圓的方程;數學學科;核心素養;研究性學習

一、教學內容與學生學情分析

本節課的主要內容是抽象橢圓的定義、推導橢圓的標準方程，本節課不僅是圓錐曲線的起始課，還是解析幾何知識體系的構建中具有承上啟下作用的一節課。本課時通過實際例子感受研究橢圓的必要性，對實際例子的分析，直觀感知出橢圓的幾何特征，進而抽象出幾何形式下的定義。讓學生動手畫橢圓，充分運用幾何畫板動態展示等環節的設計，有助于提升學生的直觀想象和數學抽象等素養。

本節課將通過讓學生動手畫橢圓的小實驗，再直接操作來感知橢圓上的點滿足的幾何條件，然后在此基礎上抽象定義、推導方程，符合學生的知識體系構建的發展規律。此外，推導橢圓標準方程的過程中，將出現含兩個根號的方程化簡，學生之前很少接觸這類化簡，對學生而言具有一點的難度，這是本節課的難點。

二、教學目標

（1）簡單了解圓錐曲線的發展過程，體驗其文化價值，提升學生的直觀想象核心素養。

（2）通過小實驗動手畫橢圓，直接感知橢圓的幾何特征，進而抽象橢圓的定義，提升數學抽象和邏輯推理等核心素養。

（3）依據橢圓定義推導其標準方程，提升數學建模、數學運算等核心素養。

重點：（1）橢圓的定義;（2）橢圓的標準方程。

難點：橢圓定義的抽象及其標準方程的推導。

三、教學過程展示

1.了解橢圓的實際應用及發展歷史

學生活動1：觀看嫦娥1號優美的橢圓運行軌道以及生活中常見的橢圓圖例。

【設計意圖】通過精彩的視頻展示，讓學生了解橢圓在我國航天領域的應用并導入新課題，指出學生在日常生活體驗中對橢圓的感性認識是錯誤的，引起認知沖突，從而激發學生的學習興趣和求知欲，并引出本節課的學習內容。

教師活動1：介紹橢圓的起源與發展

（1）圓錐曲線的雛形：梅內克繆斯從計時沙漏中發現圓錐曲線。

（2）阿波羅尼奧斯提出“用平面從不同的角度截同一個圓錐可以得到三種圓錐曲線”。

【設計意圖】了解橢圓的發現過程，激發學生的學習興趣，讓學生體驗橢圓發展歷程，在這一過程中也可以提升學生的直觀想象素養。

2.引導學生嘗試實驗，形成概念

提出問題：橢圓在科技、生產等方面應用廣泛，我們能否用手畫出橢圓呢？

學生活動2：數學實驗

取一條長度為30 cm的細繩，把它的兩端固定在紙板上的兩個定點（兩個定點之間的距離小于30 cm），用筆尖M把細繩拉緊，在紙板上移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？若將兩個定點之間的距離調整到30 cm，畫出的軌跡又是什么圖形？距離調整到35 cm呢？思考：

（1）在畫圖過程中，細繩兩頭的位置是固定的還是運動的？

（2）在畫圖過程中，細繩的長度是否改變？說明了什么？

（3）在畫圖過程中，細繩長度與兩定點距離有什么關系？

（4）改變兩個定點之間的距離，橢圓的形狀是否發生變化？當兩個定點的距離與繩長相等及大于繩長時，畫出的圖形還是橢圓嗎？還能畫出圖形嗎？

發現：細繩長度大于兩個定點的距離時，軌跡為橢圓;細繩長度等于兩個定點的距離時，軌跡為線段;細繩長度小于兩個定點的距離時，軌跡不存在。

教師：在筆尖M運動過程中，什么是不變的？

學生1：無論筆尖M運動到何處，繩長是不變的。

教師：若把兩個定點分別記為F1、F2，那么橢圓上的點M滿足什么特征？

學生：MF1+MF2為定值。

教師：讓學生通過觀察幾何畫板軟件，驗證當橢圓上的點M運動時，MF1+MF2為定值。

教師：請同學們回憶一下圓的定義，類比圓的定義，根據上面的實驗結果，如何定義橢圓？

生1：我們把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數的點的軌跡叫作橢圓。

生2：不夠嚴謹，還需補充一個限制條件：這個常數大于F1F2，否則點的軌跡是線段或不存在。

教師：生2補充得特別完整！

【設計意圖】學生的直觀想象、數學抽象等核心素養也可以進一步提升。此外，學生在動手畫橢圓的過程中，對橢圓的幾何性質產生初步的直觀感受，比如橢圓是一個封閉的對稱圖形，細繩長度不變時兩個定點的改變對橢圓扁平程度的影響等，為后續學習橢圓的幾何性質埋下直觀鋪墊。

3.根據定義，推導方程

（1）回顧方法

教師：觀察所畫的橢圓，感知它有什么樣的特征？

生：橢圓是具有對稱性，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。

教師：事實上，通過觀察能“感知”橢圓的某些性質，觀察所獲得的這些結論是否正確？這些性質是所有橢圓的共同特征嗎？我們怎樣更客觀地認識橢圓的性質？

生：我們之前學習了圓的方程，通過方程的代數特征研究了圓的幾何性質，我們可以類比圓的學習，用方程的形式刻畫橢圓，通過橢圓的方程代數特征來研究橢圓的幾何性質。

教師：回答得特別好！

（2）推導過程

教師：請同學們寫出橢圓上的點滿足的關系式。

教師：這個方程含有兩個根號，形式比較復雜，數學追求簡潔美，我們如何把它化簡一些？也就是說是否可以把根號去掉。

教師：同學們有不同的建系方法嗎？

生：以F1，F2所在直線為y軸，以線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立直角坐標系。

教師：此時橢圓的方程是什么？如何獲得？

生1：類似于方案一的推導過程整理可得，此時橢圓的方程是+=1（a>b>0）

教師：能否類比焦點在x軸的標準方程，直接寫出焦點在y軸的標準方程？

生2：利用式子的對稱性直接調換x，y的位置，即可獲得焦點在y軸的標準方程。

教師：我們把中心在原點、焦點在坐標軸上的橢圓的方程叫作橢圓的標準方程，橢圓的標準方程有兩種不同的形式。

【設計意圖】橢圓標準方程的推導是本節課的一個難點，也是提升學生運算素養的良機，不能照本宣科地按照教材簡單帶過，當學生都意識到在定義條件下列出的橢圓的方程有化簡的必要時，如何實現化簡顯得尤其關鍵。在化簡方程的具體過程中，學生并沒有單一地遵循教科書的化簡方法，而是提供了不同的化簡方式，尤其是推導焦點在y軸的標準方程時，在老師的啟發下，學生能夠類比焦點在x軸的標準方程，直接獲得焦點在y軸的標準方程，讓學生認識到類比不僅是一種溫故知新的學習方法，更是解決數學問題的有效途徑。在這一環節中，學生的計算思維得到發散，運算素養得以提升，難點逐步突破。通過兩種形式的標準方程的對比，加深了學生對橢圓定義及其標準方程內在聯系的理解，突出本節課的重點。

4.經歷回顧，課堂小結

教師：本節課學習了哪些知識？運用了哪些數學思想與方法？

生：（1）本節課學習了橢圓的定義及其標準方程：

①焦點在x軸時

②焦點在y軸時

（2）研究方法：坐標法;數學思想：數學結合思想、類比思想。

【設計意圖】讓學生進行課堂小結，回顧本節課所學知識及數學方法，可以幫助學生梳理知識結構，掌握知識的內在聯系，促進學生的知識體系構建，有助于培養學生自我獲取知識的能力。

5.作業布置（略）

四、教學反思

六大數學核心素養不是絕對的分割，而是相對統一的，每一個核心素養之間既是對立的，又相互交融，它們形成一個密不可分的有機整體。解析幾何的學習關鍵是提升學生的直觀想象、數學抽象、數學建模、數學運算等核心素養。本節課通過橢圓在科技、生產等方面的應用，對橢圓發展歷史的初步了解，激發學生的學習熱情;接著通過學生動手畫橢圓，觀看幾何畫板的動態展示，得到橢圓上的點滿足的幾何條件，類比圓的定義，抽象歸納橢圓的定義;再根據橢圓的定義，利用坐標法推導橢圓的標準方程。在這個過程中，使學生認識到數學源于生活，用于生活，體驗數學的應用價值和文化價值。對橢圓概念的歸納，提升了學生的數學抽象、數學建模能力，用坐標法推導橢圓的標準方程，滲透數形結合思想、類比思想，提升了學生的數學運算、邏輯推理能力，使數學核心素養在課堂教學過程中落地生根。

作者簡介：翁小柳（1980.6—），女，籍貫：海南萬寧，學歷：大學本科，職稱：中學一級，主要研究方向：高中數學教學。

編輯 李建軍