“直觀想象”核心素養的表現形式與培養途徑

朱鉉

摘 要：人們對“直觀想象”這一核心素養的含義理解不到位，存在片面或模糊.其實，直觀想象核心素養在中學數學中的主要表現形式為圖形直觀、空間想象和數形結合，應分別通過模型教學、找“高”訓練和數形結合來培養學生的直觀想象核心素養.

關鍵詞：直觀想象;數形結合;模型教學;核心素養

中學數學的六大核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析，其實并不是什么新的東西，人們對數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析這五大素養都能正確地理解它的含義，唯獨對“直觀想象”這一核心素養的含義理解不到位.實際上，《普通高中數學課程標準（2017年版）》給出了直觀想象的明確定義：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.其主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述、分析數學問題;建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路[1].因而直觀想象核心素養在中學數學中的主要表現形式為圖形直觀、空間想象和數形結合，那么我們應當如何培養學生的直觀想象能力呢？

一、利用平面幾何中的“基本模型”培養學生的幾何直觀

平面幾何是立體幾何和解析幾何的基礎，在平面幾何的學習過程中，學生的識圖和作圖能力得到了培養，而對圖形的辨別、拆分與重組能力就是“直觀想象”核心素養的表現形式之一.在平面幾何的學習中，有許多基本圖形以及它們所得到的結論我們稱之為“基本模型”，許多看似復雜的圖形實際上都由這些基本模型組合而成的，記憶和熟練掌握這些基本模型，并能從復雜圖形中辨認它屬于哪一類基本模型，或是由哪些基本模型復合而成，這就是直觀想象的核心素養水平達成的表現.

例1 如圖1，⊙O是ΔABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC=30°，過點B作⊙O的切線BD，與CA的延長線交于點D，與半徑OA的延長線交于點E，過點A作⊙O的切線AF，與直線BC的延長線交于點F.

（1）求證：△ACF∽△DAE;

（2）若S△AOC=，求DE的長;

（3）連接EF，求證：EF是⊙O的切線.

這里著重說明圖形的辨別與拆分，所以略去解答過程.本題的圖形看似復雜，實際上它是由以下四個基本模型復合而成的：圖2的弦切角模型，圖3的等腰梯形模型，圖4的直角三角形模型以及最常見的等腰三角形模型.這幾個基本模型是平時學習和練習過程中常見的，學生對它們可得出什么結論非常了解，只要將復雜圖形中的基本模型辨別出來并進行拆分，學生就不難找到解題的思路和方法.而對復雜圖形的辨別和拆分能力就是“直觀想象”核心素養的一種表現，日常教學過程中引導學生注重基本模型的研究，吃透基本模型，然后強化對復雜圖形的辨別和拆分能力的訓練，不僅能提高學生的解題能力，還能提升學生“直觀想象”的核心素養.

基本模型既包括定義、定理的代表圖形，又包括在生活中、練習中經常遇到的圖形，還包括由實際問題抽象出來的數學問題.在教學過程中，教師應善于引導學生整理歸納出基本類型和方法，并把類型、方法和范例合為一體形成“基本模型”來記憶和積累.當遇到一個幾何問題時，我們能辨認和拆分它們并以此為索引，在記憶貯存中提取出相應的方法來加以解決，這是培養學生“直觀想象”核心素養的一種方法.

二、利用找“高”訓練培養學生的空間想象

在立體幾何中，“高”常扮演“關鍵先生”，從簡單的三視圖到復雜的求二面角的平面角，都能見到“高”的身影，然而，我們的“關鍵先生”往往不容易找到，因此在立體幾何教學中，培養學生找“高”能力是培養學生空間想象的重要途徑，而空間想象是“直觀想象”的另一種表現，培養學生的空間想象能力就是培養學生“直觀想象”的核心素養.

例2 某四棱錐的三視圖如圖5所示，試畫出些四棱錐的直觀圖.若三視圖如圖6所示呢？

設計意圖：給出實物畫三視圖，給出三視圖畫直觀圖是培養學生空間想象非常有效的途徑，學生在不斷地構建的過程中，空間想象能力逐步培養和增強，而給出三視圖畫直觀圖的關鍵是找到幾何體的“高”所在的位置.本例通過改變側視圖和俯視圖的形狀達到訓練學生找”高”能力的目的（作畫略）.

例3 在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AP=AB=■BC，Q為BC的中點，求二面角A-PD-Q的余弦值.

本例是求二面角的常見例題，但在教授本例時，我們不應滿足于用空間向量來求二面角，而應引導學生在這一基礎上，探索采用邏輯法（演繹法）來求二面角，從而使學生的空間想象和邏輯推理能力都得到培養.

采用邏輯法（演繹法）來求二面角的關鍵是要找到一個平面到另一個平面的垂線，也就是“高”.要想找到這一條“高”我們就要找到面面垂直，利用面面垂直的性質定理來找“高”，面面垂直的性質定理告訴我們，在一個平面內作交線的垂線，必與另一個平面垂直.所以我們只要找到面面垂直，再在一個平面內向另一個平面作交線的垂線即可，通過這種訓練，學生逐步構建起線線關系、線面關系和面面關系，并逐漸明晰它們之間的關系，從而構建起自己的空間體系，符合了構建主義的學習和教育觀.

三、注重數形結合思想的滲透，培養學生的核心素養

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：利用圖形描述、分析數學問題;建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.腦科學告訴我們，人類處理圖形的能力先于且強于文字能力，所以說數形結合思想是人類將復雜、抽象問題簡單化的一種重要思想.實際上，數形結合的思想貫穿于整個中學數學，從初一的數軸到高中的函數，從初中的解方程應用題到高中的解析幾何等，數形結合的身影無處不在.

雖然大家都知道數形結合思想的重要性，但很多教師在教學過程中仍然熱衷于無圖推理，美其名曰培養學生的邏輯推理能力，殊不知數學有六大核心素養，邏輯推理只是其中的1/6，我們應當大力推行數形結合，提出“不作圖就不做數學題”的口號.比如說，在解一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的教學中，當Δ>0時，學生在解出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根后不會得出不等式的解集，這時教會并要求學生一定要畫圖，利用數形結合思想來解一元二次不等式，不僅能使學生理解解不等式的原理，還能減少學生的錯誤.同時，當Δ=0或Δ<0時，不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集如何取得，是學生的學習難點，利用數形結合思想能輕松突破這一難點.

四、結語

數學家笛卡爾早就說過：“沒有圖形就沒有思考”.美國數學家斯蒂恩斯也說：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖像，那么就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法”.通過圖形，人們能夠更直觀地理解事物的本質，這就是人們常說的“用圖形說話”.所以培養學生的直觀想象核心素養就是要讓學生學會用圖形思考，用圖形說話，能從圖形中洞察解決問題的線索.我們在教學中應當關注培養學生的圖形直觀、空間想象和數形結合，并堅定不移地貫徹在整個中學數學教學過程中.

編輯 李建軍