一道二次曲線相切問題的辨析

張勝利

【摘要】中學階段，橢圓、雙曲線、拋物線與圓的相切問題，一般要轉化為代數問題研究，同時要注意圖形的特點，不能與直線和二次曲線相切等同研究。

【關鍵詞】二次曲線 相切

高中數學中，相切問題主要研究的是直線與二次曲線的相切，解決方法是借助幾何直觀，利用二次方程的判別式為零求解（直線與圓相切直接利用幾何特征——圓心到直線的距離等于半徑）。對于二次曲線與二次曲線相切，沒有給出嚴格的定義，涉及的問題都是一些比較直觀和簡單的。但學生會誤以為相切都是二次方程的判別式為零，從而產生一些難以解釋的疑惑。下面通過一個課堂中遇到的問題辨析二次曲線相切問題的解法。

【辨析4】本例的一個變形問題為：

求圓心在橢圓長軸上且過長軸的離圓心最近頂點的圓半徑的最大值。（換一種實際應用的問法：設一個高腳杯的內部形狀是“立起來”的橢圓下半部分繞長軸旋轉一周形成的，現放置一個小球在杯子中，使得小球可以接觸到杯子內部最低點，求小球半徑的最大值）

考慮到圓與橢圓已經有了一個公共點，可以直接解方程：

與本例等價的問題還有：已知拋物線C：y2=2px（p>0），F為其焦點，點E（t，0）（t>0）。

（1）若拋物線C上存在點P，使得∠EPF為鈍角，求t的取值范圍。

（2）若拋物線C上任一點P，都有∠EPF為銳角，求t的取值范圍。

圓錐曲線與圓相切問題的背景是曲線的曲率半徑，通過上面兩個例子，我們知道，在中學范圍內，可以利用方程、不等式、函數方法解決幾何問題，但要注意代數與幾何直觀相結合，進行等價轉化。這也是解析幾何最基本的思想，教學中可以適當利用這些素材，帶領學生一起探索，從而加強學生對數形結合的認識，提高探究的能力。