基于發展數學抽象素養的課堂教學策略探究

摘 要：數學抽象概括，既是形成數學思想與方法理論的核心思維方式，又是應用數學思想與方法解決實際問題的核心素養能力。直觀想象與數據分析是數學抽象的基礎，數學建模是數學抽象后的形式化語言，而數學運算與邏輯推理均是數學形式化語言的演繹。發展學生的數學抽象素養途徑為：重視感知 促進事物層面的抽象;引導表述 促進語言層面的抽象;啟迪建模 促進形式層面的抽象;抓住精髓 促進思想層面的抽象。

關鍵詞：數學抽象;數學感知;數學表述;數學建模;數學思想

數學課程標準指出：數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。從上面敘述可以看出：數學抽象概括，既是形成數學思想與方法理論的核心思維方式，又是應用數學思想與方法解決實際問題的核心素養能力。有人把數學核心素養概括為數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等六個方面。就六大素養之間的內在聯系來說，直觀想象與數據分析是數學抽象的基礎，數學建模是數學抽象后的形式化語言，而數學運算與邏輯推理均是數學形式化語言的演繹。故本人認為，數學抽象才是數學素養中的關鍵性素養。

數學抽象，指抽取出同類數學對象的共同的、本質的屬性或特征，舍棄其他非本質的屬性或特征的思維過程。在思維進程方面，它包括“觀察發現”“分析歸納”“抽象概括”三個過程，其中“抽象概括”又必須經歷“具體到抽象的語言表述→語言到符號的形式化→形式化到數學思想”這三個思維過程。文章依據數學抽象的思維過程特征，就小學數學課堂教學如何發展學生的數學抽象素養，談談個人的認識。

一、 重視感知 促進事物層面的抽象

數學抽象是從不同形式或內容中的諸多事物中，就數量或空間形式關系抽取出共同的、本質的屬性或特征，然后用形式化的數學語言來描述這類事物，其中對數學問題的感知過程是數學抽象的前提，感知越豐富越全面，抽象才會越完善越深刻，而觀察與發現是感知的主要方式。因此，在數學概念的構建教學中，教師應從不同的角度和不同的層面來提供豐富的感知素材，讓學生去觀察，去發現，辨析它們的差異與共同點，為數學抽象奠定扎實的感知基礎。

如《分數的意義》課題，教材是通過“兩個人分一個蘋果或一個月餅”來說明分數的產生，然后“用一根香蕉是4根香蕉的1/4”和“2個面包是8個面包的1/4”的事例來詮釋分數的意義。本人認為，這樣的感知素材既單一（均是實物），又難于充分體現分數的本質內涵。因而教學中可以增設以下教學案例素材：

①8小時是一天時間的多少？②珠穆朗瑪峰的高度約為海拔8800米，福建武夷山的黃岡山的最高處約為海拔2200米，黃崗山高度是珠穆朗瑪峰高度的多少？③腐敗官員一頓飯花費人民幣約為40000元，貧困山區的孩子一年的生活總費用約為人民幣2000元，后者一年的生活總費用是前者一頓飯花費的多少？

在上面三個教學案例中，素材①是反映既看不見又摸不著且具有流失性的時間，素材②是反映我國某些地理位置的特征，素材③則是反映不同人之間的生活落差。這樣不僅能從不同的角度和不同的思想層面揭示了分數的文化內涵，同時又賦予了分數深刻的思想內涵，它能促使學生領悟：分數既可以反映同一事物局部和整體的數量關系，也可以反映相近或相關兩個事物間在數量方面的局部與整體的數量意義。對于教材中“一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體，把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數來表示”的描述，如果不增設上述事例，學生何以能理解這種抽象后外延被放大的“整體”含義。誠然，通過上述列舉的事例，雖然不能致使學生做到教材所要求的數學抽象理解，但對于發展學生在事物層面的數學抽象素養卻有著很好的促進作用。

二、 引導表述 促進語言層面的抽象

由具體到抽象的語言表述是數學抽象的首要過程，它是把一個個具體事物共同的或本質性特征抽取出來，然后用語言或文字進行表述的過程。語言表述，簡單地說，就是下定義或提出新概念。準確精煉的語言表述是建立數學模型的基礎，其中既包含有分析與比較的辨異思維，又蘊含著歸納與概括的求同思維，因而它是數學抽象的關鍵性過程。然而在實際的教學中，絕大多數教師都是用自己的講解來取代學生的理解性描述，一種能有效訓練學生數學抽象的機會則悄然流失。當然，由具體到抽象的語言表述是一種很高的能力素養，尤其是小學生，要求他們能用精練準確的語言來表述內涵深刻的知識概念，似乎不可思議，但這就是課堂教學發展學生核心素養的突破點——如何引導學生來表述知識或概念。

首先，要訓練學生的“同中辨異”和“異中求同”的比較思維，在認知構建方面能夠抓住事物共同性或本質性的內涵要點。其次，是教學學生學會提煉與概括，為對知識概念描述奠定認知與能力基礎。

如對“平行四邊形”的認識，教學中通常會給出正方形、長方形、菱形、一般的平行四邊形等圖形讓學生觀察，為了讓學生準確地把握平行四邊形的共同特征，教師就可以設置如下問題讓學生進行辨析思考：

①它們一共有幾條邊？兩組對邊具有什么特點？②相鄰兩邊一定相等嗎？③四個角相等嗎？對角呢？

如果學生能從這些圖形中歸納出“兩組對邊互相平行”“兩組對邊分別相等”“兩組對角分別相等”這三個共同特征，那么他們就能較為準確地說出“平行四邊形”的概念內涵。可能在表達方面欠嚴密，如“平行四邊形是兩組對邊互相平行的圖形”，也可能欠精煉，如“平行四邊形是對邊平行、對邊相等、對角相等的四邊形”。這些表述，在概括方面雖有欠缺，但它正是學生數學抽象能力發展的真實反映，教學中只要稍加引導，學生的抽象概括能力自然會得到提升。

三、 啟迪建模 促進形式層面的抽象

建模，即建立數學模型。所謂數學模型，就是應用數字、符號、圖形并依據數理邏輯與方法來描述數學問題，其特征是形式簡潔，其作用是為形式演繹和邏輯推理提供捷徑。建模是數學問題在形式層面的抽象，與前面的語言表述相比，它更概括，更精煉，更簡約。如“分數”，它是反映所有事物的局部與整體的數量關系。可見，建模是更高級的抽象，也是構建數學理論的重要形式和方法。

啟迪學生正確地建立數學模型，關鍵在于引導學生領悟或把握數學模型的構建原理與方法。關于原理與方法，它可能是某種數學原理，如計算長方形面積公式為“長×寬”;也可能是某種物理原理，如運動問題中的“速度=路程÷時間”，還可以是某種數量關系，如“1小時等于60分鐘”等，不同的數學問題，其建模的原理與方法也有所不同，完全依賴于學生的知識基礎。所謂啟迪建模，就是指教學中注重啟發學生依據數理原理與方法并用數學語言來描述數學問題。如對于構建小數模型，首先，要讓學生知道“是否是小數和小數的位數與所取的計量單位有關”。如“12厘米”的整數，如果取分米為單位，“12厘米”就是“1.2分米”，如果取米為單位，“12厘米”就是0.12米。其次，要讓學生把握計量單位的進位制與換算方法，如1元=（100×1）分=100分，屬于百進位制，那么1分=（1÷100）元=0.01元，注重引導學生把握其中的換算要領。當學生領悟了上述構建小數模型的原理與方法，那么學生對所有牽涉小數的生活事物，都能夠用小數模型表示。另外，在后面的小數加減法列豎式運算中，學生自然會領悟對位思想。尤其在以后的乘除運算結果的小數點取位方面，學生不僅能較好地掌握小數點的取位方法，而且能很好地理解其取位原理。

數學建模普遍用于解決生活中實際的數學問題，也就是數學老師常說的“解應用題”。為什么大多數學生解應用題的能力較低，其中最主要的原因就是不能正確地列出計算式或數學方程，其根源就是數學建模思維訓練教學沒到位。知識概念形成中的數學建模是解應用題中數學建模的基礎。只有打實基礎，靈活應變的綜合建模思維活力才能得以誘發。

四、 抓住精髓 促進思想層面的抽象

數學學科的核心素養可以概括為三句話：能用數學眼光去觀察世界，能用數學思維去分析世界，能用數學語言去描述世界。指導并促進這種行為的是數學思想，其中包含數學觀念與數學方法。從數學抽象的角度而言，它既是對數學知識體系的融會貫通，又是對數學方法的提煉與概括，更是對數學思維的統攝與活化。因此，數學思想的領悟是數學抽象最高層次的產物，也是數學抽象的精髓。如由長方形的面積公式來推演平行四邊形面積公式、三角形面積公式、梯形面積公式乃至圓面積公式，其中所采用的數學方法均是“割補法”，而依據的數學思想則是“化歸思想”，即將未知的，陌生的，復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的，熟悉的，簡單的問題。這種“化歸思想”貫穿于整個數學課程體系，不僅可以用來研究數學問題，而且可以用來研究其他學科問題和分析與解決諸多的日常生活實際問題，這何以不是數學的核心素養。

小學數學知識內容雖粗淺與簡單，但其中蘊含著豐富的數學思想。如《認識小數》課題，教材列舉“水果3.45kg、一支鉛筆0.85元、身高1.2米”等幾組數據來介紹小數，其意圖就是引導學生在歸納這幾組小數內涵的基礎上來推知其他生活中的小數，這其中就蘊含著“歸納推理”的數學思想。又如“分數加減法”，它分“同分母分數加減”和“異分母分數加減”兩種情形，其中就蘊含著“分類討論”的數學思想，而把“異分母分數”轉化為“同分母分數”就是數學“化歸”思想。如果教師在教學中能就這些數學思想或方法加以點撥或啟發，那么學生既能較好地領悟數學課程基本的研究方法和思維方法，又能融會貫通地把握數學知識與方法間的內在聯系，這就是思想層面數學抽象的價值。

如何助進學生在數學思想層面的抽象，關鍵在于創設相應的教學問題。如促使學生領悟“函數思想”，教學中可以就三角形面積公式，讓學生分別計算“高相同而底邊不同”或“底邊相同但高不同”的多個三角形的面積，在比較分析的基礎上抽象出“面積隨底邊或高度的變化而變化”的“函數思想”。

文章是以“數學事物→數學內涵→數學模型→數學思想”的數學抽象進程來闡述數學抽象素養培養的途徑與方法，但其中實際牽涉到數據分析、直觀想象、邏輯推理與數學運算等諸多數學素養，正好說明了數學抽象這種素養的核心價值，這也正是文章課題形成的緣由所在。

參考文獻：

[1]高茂軍.核心素養引領下的課堂教學革新[M].天津教育出版社，2018.

[2]林日福.基于數學核心素養的教學研究[M].西南師范大學出版社，2018.

作者簡介：

王慧玲，福建省三明市，福建省三明市寧化縣實驗小學。