深化開放題教學 培養學生高階思維

蘇子灃

（閩清縣白中鎮中心小學，福建福州350806）

數學高階思維“常發生在元認知、問題解決、應用與創造性活動中，學生的思維經歷聯系與轉化、抽象與擴展、批判與監控的過程。”［1］教師培養學生的高階思維能力是重要任務，也是課堂教學的重點問題。恰當應用開放題進行教學，有助于學生形成和發展數學高階思維。小學數學開放題有條件開放題、方法開放題和結論開放題等。現以人教版小學數學教科書中開放題的教學為例，談談教師如何深化開放題教學，培養和發展學生的數學高階思維能力。

一、經歷聯系與轉化過程，用條件開放題培養學生高階思維

條件開放題就是問題中所提供的條件太多、太少或隱含，導致學生無法直接根據已有條件解決問題。解決條件開放題，學生要根據題目中的所有數學信息進行分析、找出信息之間相互影響和相互制約的關系（即聯系），并把題目中的信息根據需要進行適當變化（即轉化），以便用所學知識順利解決問題。學生通過觀察、推理、聯想、抽象或概括等思維過程排除多余條件、發現隱含條件，建立知識間的聯系，對已有經驗適當加工或改造，就能在問題解決的過程中發展數學高階思維。

六年級下冊P57有這樣一道習題：用1:200的比例尺，畫出你家房子的平面圖。每個學生家的房子形狀未必相同，所畫的平面圖也就可能大不一樣。有的大，有的小。要畫平面圖，學生需要知道相關數據才行，但題中只有一個比例尺。仔細分析一下，學生可以發現題目中的隱含條件是這個圖形最多只能是長為29.7厘米、寬為21厘米的長方形（A4紙大小）。教學時，教師要引導學生用整體的觀點進行審題、找出隱含條件，發現這些信息中的聯系，再根據比例尺1:200畫房子的平面圖，從而把實際問題轉化為已知比例尺和實際距離求圖上距離的數學問題。畫圖前，教師要引導學生實際測量房子的相關數據，再根據實際數據和比例尺算出圖上的數據；畫圖時，教師要引導學生根據房子的造型構思圖形，做到胸有成竹，再根據實際情況畫圖并及時修訂，最后展示平面圖、交流畫圖情況。

數學高階思維要求學生能根據問題信息及時轉換思路、把問題轉化為新問題，而且要求學生能主動發現數學對象之間的相互聯系。學生及時建立知識間的聯系是問題轉化的關鍵。數學對象之間建立的聯系越豐富、越深刻，學生分析問題和解決問題時的思維轉化就越靈活。學生把解決實際生活中的開放性問題所用的相關知識聯系起來，使開放性問題轉化為測量、計算圖上距離等問題，實現對已有知識網絡的整理和重組。學生對知識的聯結越強，解決開放題越順利，高階思維的形成與發展就越有可能。

二、經歷抽象與擴展過程，用方法開放題培養學生高階思維

方法開放題就是學生要解決的數學開放性問題的方法并不唯一，而是多種多樣。學生的不同思路可能會出現不同或相同的解題方法，學生的相同思路也可能會出現相同或不同的解題方法。學生可以從開放題的不同解題方法中抽取共性進行描述，從而形成正確認識（即抽象）；學生也可以從開放題最容易發現的方法開始思考，并擴大思維方向，以便從不同角度發現不同方法，直至舉一反三地應用到類似問題解決過程中（即擴展）。解決方法開放題，學生要在抽象與擴展中透過現象看本質，發現、概括出一般規律，并進行知識的遷移、推廣和應用，使學生在用不同思路解決問題的過程中發展高階思維。

五年級下冊P82有這樣一道習題，要求填空：

解決這道開放題時，有的學生通分，發現用20做公分母時，沒有符合條件的分數；用40做公分母時，，符合要求的分數是；用60做公分母時，符合要求的分數是1360、1460（或730）……有的學生把分數化成小數，發現，介于0.2和0.25的兩位小數有0.21、0.22、0.23、0.24，化成分數分別是介于0.2和0.25之間的小數有0.201、0.202、0.203、0.204……把這些小數化成分數，可以得到很多符合要求的分數。不同的解題方法，所用的知識不同，解決問題的過程也不同，學生的收獲也不同，構建的問題解決模型不同，積累的解決問題經驗也不同。學生可以把解決第一個問題所建構的數學模型和積累的相關數學活動經驗遷移應用到第二個問題解決過程中。

培養學生的抽象思維是數學教學的共識，將經過抽象得到的數學知識進行廣泛應用同樣重要。“某種程度上，擴展也可看成是一種抽象，它是將抽象得到一般對象化到了更高的抽象層次。抽象思維與擴展能力相輔相成，共同為數學高階思維領航”。［2］學生從不同角度思考問題，用不同方法解決問題，并在不同角度或方法之間進行靈活轉化，最終殊途同歸。當然，學生解決方法開放題需要辯證地看待不同方法之間的優劣，甚至可以適當進行方法比較與優化。

三、經歷批判與監控過程，用結論開放題培養學生高階思維

結論開放題的結論不確定，可以有多種答案。看問題的著眼點不同，探索出的結論可能也不同。學生需要根據已有信息探索符合條件的可能結論。如果學生對信息通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、推理和概括并獲得結論后，教師要引導他們學會批判和監控，也就是對已有結論要敢于質疑，幫助學生在識別、分析和評價結論中監控、調節思維過程。學生在批判和監控自己或同學的數學方法與數學結論的過程中能有效發展高階思維。

六年級上冊P93有這樣一道開放題：

學生根據題目中的信息提出了一些數學問題，如：1.獲二等獎的有多少幅？2.獲三等獎的有多少幅？3.獲三等獎的比二等獎多多少幅？4.獲一等獎和二等獎的一共有多少幅？5.獲一等獎和三等獎的一共有多少幅？6.獲二等獎和三等獎的一共有多少幅？7.獲獎的一共有多少幅？8.沒獲獎的一共有多少幅……交流時，學生對問題有了爭議，焦點在獲三等獎的人數究竟用125×16%×（1+4%），還是用125×（16%+4%）表示。教師引導持不同觀點的學生進行辯論，他們分別闡述了自己的想法和理由：持前一種的觀點學生認為，比較量是獲二等獎的人數，4%是相對獲二等獎的人數（即125×16%）而言的；持后一種觀點的學生認為4%是相對125幅畫而言的，并且指出如果用他們的方法，計算結果會出現小數，不符合生活實際情況。最后，持前一種觀點的學生主動否定了自己的想法，支持了后一種觀點。教師順其自然地引導學生要靈活、準確地認識比較量，由此有效發展了高階思維。