高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題方法探究

馬自強(qiáng)

摘 要?導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要部分，是新加入的必修內(nèi)容，其和函數(shù)知識(shí)、實(shí)際問題解決等高中階段需要掌握的知識(shí)之間存在緊密聯(lián)系。導(dǎo)數(shù)和各種數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合，誕生了諸多題型，該類題型大多新穎且巧妙，因此成為了考試的常見題，但也讓學(xué)生在解題的時(shí)候頗為苦惱。在教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生理解吃透導(dǎo)數(shù)概念并將其應(yīng)用在解題中，能夠顯著提升數(shù)學(xué)解題的效率，并促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的深化融合。本文基于此先闡述導(dǎo)數(shù)概述，然后分析高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題方法，供相關(guān)工作者參考。

關(guān)鍵詞?高中數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù);導(dǎo)數(shù)解題

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2020）32-0113-02

隨著新課改的推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不再單單注重學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，而是更關(guān)注學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和思維開拓。高考的命題方式多變，但導(dǎo)數(shù)解題的相關(guān)方法知識(shí)點(diǎn)一直是重點(diǎn)之一，其時(shí)常和函數(shù)、方程、數(shù)列等內(nèi)容相結(jié)合，然后變換出新穎的題型，考驗(yàn)學(xué)生的導(dǎo)數(shù)解題能力。導(dǎo)數(shù)問題往往巧妙而精細(xì)，學(xué)生在解題的時(shí)候不能籠統(tǒng)地分析，而需要充分思考，發(fā)散思維，以足夠的耐心去分析得出答案。在這一過程中，學(xué)生的自主思考和獨(dú)立解題能力都能得到鍛煉。

一、高中導(dǎo)數(shù)概述

高中數(shù)學(xué)教材上有提到，導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)著函數(shù)的變化趨勢(shì)，在學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的時(shí)候，就可以用到函數(shù)求導(dǎo)，讓一些看似復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，從而輕松地解答出來。高中的導(dǎo)數(shù)教學(xué)，主要是培養(yǎng)學(xué)生用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣思維。這些年，高考中導(dǎo)數(shù)問題和題型越發(fā)常見，這也變成學(xué)生需要跨過的阻礙難關(guān)，學(xué)生要就問題來思考是否有求導(dǎo)的必要，尋找突破點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題方法來得到答案。

二、高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題的方法策略

（一）導(dǎo)數(shù)解題應(yīng)用于函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性求解一直是高考中的常見題型，其就是函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)遞增或遞減的變化趨勢(shì)。如果學(xué)生沒有學(xué)過導(dǎo)數(shù)來解題，往往需要畫圖或者求出相鄰兩點(diǎn)的差，這些方法復(fù)雜且浪費(fèi)時(shí)間，而且一不小心就容易出錯(cuò)。而導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)掌握，則給學(xué)生提供了函數(shù)問題解答的另一條路徑。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，學(xué)生只用針對(duì)特定函數(shù)求導(dǎo)，特定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)數(shù)值<0，則函數(shù)為單調(diào)遞減，相反則是單調(diào)遞增。對(duì)比導(dǎo)數(shù)和其他解題方法，很簡(jiǎn)單能看出導(dǎo)數(shù)解題更簡(jiǎn)潔明了，有助于學(xué)生快速解題。

例如，教師給學(xué)生一道題目y=x+Inx，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A（0，+∞）;B（-∞，-1），（1，+∞）;C（-1，0）;D（-1，1）

教師引導(dǎo)學(xué)生采用導(dǎo)數(shù)方法來解題，解析：函數(shù)y=x+Inx的定義域?yàn)椋?，+∞），令，得x>0，所以，學(xué)生就可以求出答案是選A。

（二）導(dǎo)數(shù)解題應(yīng)用于不等式問題

高考的另一熱點(diǎn)問題就是不等式，和函數(shù)一樣，其解題方法也是多種多樣，但導(dǎo)數(shù)仍是其中最簡(jiǎn)單清晰的解題方法。因此，在遇到不等式題目的時(shí)候，教師主要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來解答。而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決不等式題目的原理就是把不等式問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，再以導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化成函數(shù)單調(diào)性研究。這樣，只要判斷函數(shù)值和是否滿足條件就能判斷不等式成立與否。

例如，若函數(shù)y=f（x）在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf（x）>-f（x）恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證af（a）>bf（b）。

教師引導(dǎo)學(xué)生用導(dǎo)數(shù)解題，已知，構(gòu)造函數(shù)，則，從而F（x）在R上為增函數(shù)。因?yàn)閍>b，所以F（a）>F（b），即af（a）>bf（b）。解題的時(shí)候教師引導(dǎo)學(xué)生由條件移項(xiàng)后，可想到是一個(gè)積的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），求導(dǎo)就能完成證明。

（三）導(dǎo)數(shù)解題應(yīng)用于函數(shù)最值問題

高中函數(shù)問題中，最值是最常見也最重要的學(xué)習(xí)和考點(diǎn)內(nèi)容。導(dǎo)數(shù)解題方法應(yīng)用于函數(shù)最值問題，能給學(xué)生解題提供一條更為簡(jiǎn)單的途徑。而各種題型中，最典型的是二次函數(shù)的最值問題，相比于數(shù)形結(jié)合解題，導(dǎo)數(shù)解題要更加快捷且不易出錯(cuò)。

例如，教師給學(xué)生一道題目：函數(shù)的最小值是多少？

A.2 B.0 C. D.6

這類題是較為簡(jiǎn)單的，不需要對(duì)參數(shù)的變化范圍分類討論，只要依照導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性，就能夠求得二次函數(shù)最小值。學(xué)生解題的時(shí)候，令，則，，，因而在區(qū)間上為減函數(shù)，當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)y最小值是。這道題目解答的時(shí)候載體為三角函數(shù)，先換元，把三角問題轉(zhuǎn)為二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值問題。

（四）導(dǎo)數(shù)解題應(yīng)用于實(shí)際問題解決

除了函數(shù)和不等式問題之外，導(dǎo)數(shù)解題還可應(yīng)用于實(shí)際問題的解決。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生時(shí)常會(huì)遇到生活相關(guān)的問題，這些實(shí)際相關(guān)的問題可實(shí)現(xiàn)函數(shù)或等式問題的轉(zhuǎn)化，然后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來簡(jiǎn)化題目，從而清晰直觀地求出答案。

例如，教師給學(xué)生一道問題是已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本是元。求：要使生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本最低，應(yīng)當(dāng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

學(xué)生在解答這道題目的時(shí)候，設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本為y元，則，，令y=0，得到x₁=1000，x₂=-1000（舍去）。當(dāng)時(shí)，y取的極小值。因?yàn)楹瘮?shù)只有一極值點(diǎn)，因此函數(shù)在這點(diǎn)取得最小值。所以，要使平均成本最低，需生產(chǎn)1000件產(chǎn)品。在解這道題目的時(shí)候，思路主要是依照題目給出的條件來列出目標(biāo)函數(shù)，然后以導(dǎo)數(shù)來最值求解。

三、結(jié)語(yǔ)

總而言之，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、不等式、函數(shù)最值等問題解決方面得到普遍應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生梳理清晰解題思路，快速地解題獲得答案。在日常作業(yè)和測(cè)試中，教師積極引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握導(dǎo)數(shù)解題方法，強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)知識(shí)應(yīng)用，能夠大大節(jié)省解題時(shí)間，簡(jiǎn)化步驟，提高解題效率和準(zhǔn)確度，并達(dá)到全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)能力的效果。

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