經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)在金融經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

湖北第二師范學(xué)院 劉 天

作為一個(gè)新學(xué)科，金融技術(shù)是銀行技術(shù)的組成部分。該研究的目的是對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)界某些方面的金融市場(chǎng)進(jìn)行深入的分析。專注于金融市場(chǎng)公平和證券價(jià)格的數(shù)學(xué)理論。根據(jù)國(guó)情建立數(shù)學(xué)模型；編寫(xiě)一些計(jì)算機(jī)軟件并做一些理論研究成果。固定計(jì)算；經(jīng)濟(jì)計(jì)算數(shù)據(jù)的實(shí)際計(jì)算；它為真實(shí)金融機(jī)構(gòu)提供更多技術(shù)分析服務(wù)在經(jīng)濟(jì)全球化的影響下，我國(guó)現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)有著良好的發(fā)展前景。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)是經(jīng)濟(jì)制度的一種新型數(shù)學(xué)操作法則，包括導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、微分方程等，逐漸成為金融經(jīng)濟(jì)問(wèn)題解決的有效方法，為了推動(dòng)自身的發(fā)展和促進(jìn)我國(guó)經(jīng)濟(jì)的進(jìn)步，現(xiàn)代大學(xué)生也必須對(duì)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用進(jìn)行明確。

一、微分方程的應(yīng)用

微分描述事物的變化，而積分描述事物的積累。計(jì)算是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，研究與功能有關(guān)的概念和應(yīng)用程序的多樣性和集成性。計(jì)算基于數(shù)字，根據(jù)功能和限制

局限性和微積分概念可以追溯到上古。到17 世紀(jì)末，牛頓和黎巴嫩人完成了一系列針對(duì)數(shù)學(xué)家的預(yù)備研究，各自為此目的進(jìn)行了計(jì)算。他們認(rèn)為，后來(lái)提出的新的微積分概念的理論起點(diǎn)是無(wú)限的，其理論基礎(chǔ)還不夠。柯西和維爾斯特拉斯直到19 世紀(jì)才開(kāi)始復(fù)興宇宙約束理論的新規(guī)則。

微積分是多樣性和融合的總稱，世界上的一切，從大粒子到宇宙的一部分，都在不斷變化。因此，可以在引入數(shù)學(xué)中的變量的概念之后將運(yùn)動(dòng)引入數(shù)學(xué)中。由于科學(xué)和技術(shù)的誕生和對(duì)新學(xué)科的需求，數(shù)學(xué)是在解析幾何之后計(jì)算的。計(jì)算在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著非常重要的作用。在歐幾里得幾何之后，可以說(shuō)這是所有數(shù)學(xué)中最大的發(fā)明。

在17 世紀(jì)，現(xiàn)代微積分?jǐn)?shù)學(xué)發(fā)展成為一門(mén)學(xué)科。但是在遠(yuǎn)古時(shí)代，融合與差異的思想就誕生了。在公元前3 世紀(jì)，古希臘的阿基米德征服了拋物線和弓箭領(lǐng)域。球和冠旋轉(zhuǎn)中的身體的研究區(qū)域扭曲并旋轉(zhuǎn)。重要的理論問(wèn)題是間接的。

區(qū)分理論基于作為微積分基礎(chǔ)的約束理論。微積分是分析連續(xù)函數(shù)的強(qiáng)大工具。為了能夠使用該武器，經(jīng)濟(jì)學(xué)做出了可靠的假設(shè)以滿足其使用微積分的范圍（即認(rèn)為物體無(wú)法區(qū)分的認(rèn)識(shí)）。經(jīng)濟(jì)中最常見(jiàn)的問(wèn)題之一是優(yōu)化問(wèn)題（通常是特殊的優(yōu)化問(wèn)題），有許多拉格朗日方法方程，庫(kù)恩塔克條件和歐拉方程可解決這些問(wèn)題，對(duì)經(jīng)濟(jì)的持續(xù)分析與歐拉方密不可分。

二、函數(shù)模型的應(yīng)用

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是函數(shù)。在實(shí)際生活問(wèn)題中，找到相關(guān)的因素和其中的函數(shù)關(guān)系，才能夠解決問(wèn)題。例如在分析金融經(jīng)濟(jì)中的供求關(guān)系時(shí)，需要找到商品價(jià)格、商品可替代產(chǎn)品、消費(fèi)者的消費(fèi)水平和價(jià)值觀等因素，找到其中的函數(shù)關(guān)系，分為供求關(guān)系和需求關(guān)系，在供求關(guān)系中當(dāng)商品價(jià)格越來(lái)越高，需求量也越來(lái)越大。在需求關(guān)系中，商品價(jià)格越來(lái)越高，需求量越來(lái)越小，找到其中的平衡點(diǎn)就是商品的最佳價(jià)格。

另一個(gè)例子是在金融風(fēng)險(xiǎn)管理中使用Copula 函數(shù)。根據(jù)Sklar 理論，我們只能將隨機(jī)變量與多個(gè)變量的共同分布描述為每個(gè)變量次要分布的相對(duì)分布。

從實(shí)際應(yīng)用的角度講，這樣的分解大大簡(jiǎn)化了我們對(duì)金融問(wèn)題的分析，以及對(duì)金融隨機(jī)變量的刻畫(huà)和模型的構(gòu)建。在建模°的過(guò)程中，我們可以分別估計(jì)各個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布，然后選取合適的Copula并估計(jì)其參數(shù)。這二者是獨(dú)立的。甚至我們可以根據(jù)我們的需要，選擇不同邊緣分布與copula的任意組合。這一靈活(flexibility)使得Copula 成為建模中-類(lèi)強(qiáng)大的工具。

具體應(yīng)用舉例:

（一）CDO 定價(jià)

在CDO 定價(jià)中，核心是得到標(biāo)的資產(chǎn)池(underyingportfolio)的違約損失分布。為此，我們需要刻畫(huà)每種標(biāo)的資產(chǎn)的邊緣違約損失分布，同時(shí)也需要對(duì)它們之間的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行建模。邊緣分布比較簡(jiǎn)單，我們可以通過(guò)對(duì)每種標(biāo)的資產(chǎn)發(fā)行方的CDS 曲線，通過(guò)bootstrapping 得到其hazardrate，以及違約概率的期限結(jié)構(gòu)(前提是選取給定的LGD)。關(guān)聯(lián)性，最基礎(chǔ)的出發(fā)點(diǎn)是GaussianCopula，其實(shí)質(zhì)是用一個(gè)參數(shù)，也就是隱含相關(guān)系數(shù)(implied correlation)來(lái)刻畫(huà)整個(gè)資產(chǎn)池的dependencestructure。當(dāng)然，類(lèi)似BlackSchole 公式中常數(shù)波動(dòng)率的局限，實(shí)際當(dāng)中我們不可能指望通過(guò)一個(gè)相關(guān)系數(shù)就match 所有的市場(chǎng)上交易的indextranchequote°，因此市場(chǎng)的慣例是對(duì)每個(gè)交易的indextranche(比如，5 年到期CDX。NA。IG。8 的[3%，7%]tranche)，根據(jù)1-factorGaussianCopula得到一個(gè)隱含相關(guān)系數(shù)，所有的相關(guān)系數(shù)的集合稱為basecorrelationsurface(固定期限)或basecorrelationcube°(允許期限變動(dòng))

（二）CompositeCopula

某些情況下，如CDO2(這種產(chǎn)品在2008 年之后基本。上逐漸絕跡)我們可能需要對(duì)不同的標(biāo)的資產(chǎn)選取不同的邊緣分布。比如對(duì)于某些較大的資產(chǎn)池選用正態(tài)分布，而對(duì)于較小的資產(chǎn)池選用更加準(zhǔn)確的二項(xiàng)分布，甚至是通過(guò)卷積得到的理論上的精確分布。而dependencestructure 依然選用GaussianCopula。這就產(chǎn)生了所謂的CompositeCopula 或者QuasiCopula。注意在這種情況下邊緣分布可以是非參數(shù)或半?yún)?shù)的而非一-定要有解析形式，比如通過(guò)kernel 得到的分布形式。

（三）資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)(PortfolioRisk)

通常是通過(guò)PCA 將系統(tǒng)分解為幾個(gè)主要的風(fēng)險(xiǎn)因子，對(duì)每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子的邊緣分布進(jìn)行估計(jì)，然后通過(guò)Copula 來(lái)對(duì)因子之間的dependence 進(jìn)行建模。注意，通常在這類(lèi)應(yīng)用中，因子的個(gè)數(shù)也就是Copula 的維數(shù)不能太高，否則會(huì)引入過(guò)多參數(shù)從而影響模型的健壯性。另外，如果因子之間的關(guān)聯(lián)偏離正態(tài)分布較明顯，一個(gè)方法是使用ICA 來(lái)替代PCA，這樣接下來(lái)就不用再次估計(jì)Copula，因?yàn)镮CA 所得到的因子是相互獨(dú)立的，或者說(shuō)這時(shí)的Copula 退化為簡(jiǎn)單的乘積函數(shù)。

（四）EquityBasketDerivatives 的定價(jià)

與CDO 有些類(lèi)似，只不過(guò)標(biāo)的資產(chǎn)換成了一籃子股票而非債券或CDS。這時(shí)依然可以用Copula 來(lái)描述不同股票價(jià)格之間的關(guān)聯(lián)性。

三、極限理論的應(yīng)用

金融數(shù)學(xué)的一個(gè)核心理論是極限理論，它是金融數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論概念，在經(jīng)濟(jì)管理活動(dòng)中具有重大作用，相比較傳統(tǒng)分析方法，但你們能夠更加的體現(xiàn)出事物的消長(zhǎng)情況與經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的發(fā)展規(guī)律。普遍運(yùn)用于金融分析，后來(lái)分析金融復(fù)利，計(jì)算年金等收益問(wèn)題時(shí)，都可以利用極限理論，主要是工作人員利用機(jī)械理論建造數(shù)學(xué)模型，無(wú)論是需求模型還是成本模型，都可以將活動(dòng)中的變量轉(zhuǎn)化為計(jì)算了常量，使經(jīng)濟(jì)活動(dòng)分析結(jié)果清楚明了。該方法是市場(chǎng)上用于金融分析最科學(xué)的方法。

四、導(dǎo)數(shù)與微分理論的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)比較常見(jiàn)的理論，同樣它可以利用在金融分析中。它與極限理論一樣，能夠建立數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行金融經(jīng)濟(jì)預(yù)算。比較長(zhǎng)就能有以下幾種。

（一）邊際和彈性

邊際是金融中一種常用的概念，它是經(jīng)濟(jì)的變化率。也就是說(shuō)，企業(yè)風(fēng)險(xiǎn)的派生稱為保證金。使用意義的經(jīng)濟(jì)利益稱為有限利益方法。通過(guò)使用這種方法，我們通常可以降低總成本，平均費(fèi)用；不太重要的方法。總收入平均收入;微不足道的收入；毛利，平均利潤(rùn)通過(guò)獲取函數(shù)和方程式總結(jié)變量之間的關(guān)系。例如，通過(guò)使用分析銷(xiāo)量和利潤(rùn)變化的方法來(lái)識(shí)別方程式，對(duì)企業(yè)最重要的要求是最小的收入等于最小的成本。運(yùn)營(yíng)最大化利潤(rùn)的充分條件是邊界收入的變化率小于成本的變化率。將這兩個(gè)結(jié)論結(jié)合起來(lái)就是最大利潤(rùn)的原則。

（二）彈性與彈性分析

彈性概念在很大程度上反映了經(jīng)濟(jì)變化對(duì)另一種經(jīng)濟(jì)變化的反應(yīng)程度。首先我們要提出具體的問(wèn)題，再把彈性進(jìn)行相關(guān)的定義，再找到供求和需求的價(jià)格彈性。列出方程，得出結(jié)論。

金融分析中，大多數(shù)函數(shù)關(guān)系都可以利用導(dǎo)數(shù)和微分進(jìn)行計(jì)算，在應(yīng)用金融分析的時(shí)候，我們可以通過(guò)方程得到準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，從而算出金融經(jīng)濟(jì)中的最低成本，找到最佳方案，尤其是在進(jìn)行彈性研究時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)理論計(jì)算產(chǎn)品的供需關(guān)系，找到最合理的價(jià)格區(qū)間，計(jì)算出最低成本和最小值問(wèn)題，得到最大利潤(rùn)，進(jìn)而總結(jié)出最佳資源配置方案。

五、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，傳統(tǒng)的金融分析方法已經(jīng)不適合現(xiàn)代社會(huì)市場(chǎng)，互聯(lián)網(wǎng)帶動(dòng)了國(guó)家經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，也帶動(dòng)了企業(yè)的信息變革與收益分配，我們應(yīng)該選擇先進(jìn)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)分析方法來(lái)彌補(bǔ)之前市場(chǎng)的漏洞與不足。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性能夠給金融市場(chǎng)帶來(lái)變革將其與經(jīng)濟(jì)分析方法相融合，能夠提高企業(yè)收益分配的準(zhǔn)確性與合理性政策的科學(xué)性，對(duì)解決收益問(wèn)題，促進(jìn)市場(chǎng)發(fā)展具有重大作用。