基于大數據的初高中數學銜接教學關鍵點課例研究
——以“二次函數的圖像與性質”為例

福建省福州外國語學校 黃翔旻

筆者從多年的高中數學教學經驗中發現，剛入學的高一新生對于數學學科的學習都會存在不適應的情況，很多學生會覺得學習變得困難了，甚至開始走下坡路。其主要原因在于沒有做好初高中數學知識的銜接工作。初高中教材中存在許多知識內容脫節的問題，這些知識內容中又存在一些關鍵的教學點。關鍵教學點是指在初中數學教學過程中，某知識內容范圍內一個根本的或核心的教學點，它在教學過程中起到“奠基、示范、歸納、引領、啟迪”的重要作用。加強這些關鍵教學點教學，能夠使學生更好、更快地理解知識、掌握技能，更好地適應高中階段的學習，對于教學質量的提高有著巨大的潛在價值。目前，日新月異的大數據分析技術廣泛延伸至科技、教育、醫學等各個領域，其海量數據處理及便捷精準的篩選能力得到廣泛的認同。本研究中，筆者借助大數據分析技術，篩選確定了部分可能影響初高中數學教學的關鍵教學銜接點，并思考整理成文，與同行交流。

一、教材分析

“二次函數的圖像與性質”是人教版《數學》九年級上冊第2 課時的內容。本節課安排了以下內容：（1）了解和掌握二次函數解析式的表示方法；（2）拋物線的有關概念和性質；（3）一元二次方程與拋物線的應用；（4）運用二次函數解決實際問題。

（一）知識層面

二次函數是初中數學的主要內容之一，是培養學生數形結合思想、綜合分析能力的關鍵教學點，也是高中數學中重要的基本初等函數，起著承上啟下的作用，是初高中數學典型的銜接知識。近年來，初高中數學教材內容都做了調整，初高中數學教材從難度到知識容量差距更大，初高中教材出現了明顯的知識點缺失。初中的二次函數教學主要強調根據具體的表達式作圖、確定函數解析式、理解函數的基本性質，但是受初中生認知水平的限制，學生并不能從本質理解二次函數。但高中階段由于高中教師對初中教材并不熟悉，對學生掌握的情況存在偏差，導致教學上出現偏差，造成了教學的脫節。

（二）思維能力層面

從思維發展特征看，初中主要培養形象思維和簡單的抽象思維，主要借助具體圖像解決二次函數問題；高中階段則主要培養從抽象推理的邏輯思維到復雜抽象思維。從初中階段過渡到高中階段，學生必須要進行思維的轉換。可以通過二次函數的再學習，通過更深的層次、更廣的角度，以更嚴密的推理、更靈活的方法去分析、解決問題。

（三）學法層面

高中階段著重培養學生的數形結合思想，從二次函數的圖像出發，研究其開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性、最值及其圖像的平移變化，到利用二次函數圖像求解方程與方程組，再到利用圖像求解析式和解決實際問題。數形結合在解決相關問題時，可以化繁為簡，甚至代替代數方法解決其無法解決的問題。培養學生運用函數知識與幾何知識解決數學綜合題和實際問題的能力也是高中階段的重要內容。

（四）大數據層面

高效課堂能夠更加準確地進行學情分析。在傳統的教學中，學情分析主要源于學生的傳統書面作業、階段練習、問卷調查等方面，但這些數據并不準確可靠。通過大數據分析，對比分析學生的校本作業、課堂練習反饋數據，準確把握學情，了解學生的個體差異，發現問題，提高課堂教學效率，進一步佐證二次函數在初高中銜接過程的關鍵教學點作用。

基于以上分析，筆者認為“二次函數的圖像與性質”是初高中銜接的一個關鍵教學點。

二、課例分析

（一）課題引入：學生獨立練習

問題1：（1）二次函數解析式的表示方法：

①頂點式：___________②一般式：___________

（2）填表

拋物線 對稱軸 頂點坐標 性質y=a(x-h)2+k 直線x=___（___，___）Y=ax2+bx+c 直線X=___（___，___）當a ＞0 時，開口_____，在對稱軸右側，y 隨x 的增大而_____，在對稱軸左側，y 隨x 的增大而_____；圖象有最_____點，此時函數有最值為_____。當a ＜0 時，開口_____，在對稱軸右側，y 隨x 的增大而_____，在對稱軸左側，y 隨x 的增大而_____；圖象有最_____點，此時函數有最值為_____。

教學說明：通過對二次函數相關知識的回顧，達到復習的目的。學生通過頂點式和一般式的對比，對知識體系的來龍去脈產生整體的再認識，再結合函數圖像的性質，在頭腦中構成二次函數較為完整的概念系統。

（二）課例探究：先獨立思考，再分小組討論，最后反饋信息

問題2：如圖是二次函數y=ax2+bx+c 的圖像，對于下列說法：①ac ＞0，②2a+b ＞0，③4ac ＜b2,④a+b+c ＜0，⑤當x ＞0 時，y 隨x 的增大而減小，其中正確的是___________。

教學說明：通過具體的實例，強化學生對二次函數知識的認識，特別是強調解決函數問題中常用的數形結合的思想；同時提升學生的靈活分析能力，拓展學生對一元二次方程根與系數關系的應用。

教學說明：通過本題進一步鞏固二次函數的性質，培養學生數學化歸思想和轉化的能力。根與系數的關系在初中階段教學中被弱化，但在高中階段是重要的解題工具，設計此題有助于學生掌握此知識點。

（三）課題應用：利用二次函數解決實際問題

問題4：某商場銷售一種進價為10 元的日用商品，經調查發現，該商品每天的銷售量y 件與銷售單價x 元滿足y=-10x+400，設銷售這種商品每天的利潤為W 元。

（1）求W 關于x 的函數解析式。

（2）在保證銷售量盡可能大的前提下，若該商場每天想獲得2000 元的利潤，應將銷售單價定為多少元？

（3）當每天的銷售量不少于50 件，且銷售單價至少為32 元時，該商場每天獲得的最大利潤是多少？

教學說明：通過設置問題情境，讓學生經歷二次函數解決代數實際問題的完整過程，即“尋找問題中的變量—分析自變量與函數—建立二次函數模型—利用二次函數的性質或者圖像特征解決問題”。同時，通過限制自變量的范圍達到二次函數從整體到局部的研究，符合高中階段的要求。

（四）課題拓展：供學有余力的學生做

問題5：已知二次函數y=2x2+bx-1(b 為常數)。

（1）若拋物線經過點(1,2b)，求b 的值。

（2）求證：無論b 取何值，二次函數y=2x2+bx-1 圖像與x 軸必有兩個交點。

（3）若平行于x 軸的直線與該二次函數的圖像交于點A、B，且點A、B 的橫坐標之和大于1，求b 的取值范圍。

教學說明：強調二次函數與一元二次方程的內在聯系，建立一元二次方程根的問題與拋物線與x 軸交點問題對應的等價命題，有利于用代數運算來解析幾何圖像問題，發展了學生應用數形結合思想解決問題的能力。

三、教學建議

在新課程標準下，高中數學與初中數學相比在教材內容、教學要求、教學方式、思維層次以及學習方法上都有很大的差異。只有處理好上述差異，才能有效解決初高中數學銜接的問題。因此，教學設計特別針對以下三個方面進行了處理。

（一）從概念層面

概念學習是最基本的學習，是數學知識的重要組成部分。有效的概念教學是學生認知水平的基礎，是提高學生知識應用能力的關鍵。初中階段的二次函數大多是研究定義域為全體實數且系數不含有參數的問題，而高中階段研究的二次函數定義域是某個區間且系數中含有參數的問題。本節課的教學設計注重在學生所學知識的基礎上，由特殊函數到系數含參數的函數，從整體的、固定的二次函數到局部的、變化的二次函數，由易到難一步一步引導學生探索二次函數的規律。同時，為了讓學生能夠了解高中的數學知識，教師在授課時可以穿插介紹有關定義域和值域等概念，這對于學生今后了解高中知識有很重要的作用。

（二）從圖像層面

二次函數的圖像是初中數學教學的重點與難點，也是解決初中階段二次函數問題的關鍵，與高中函數問題有著緊密的聯系。在教學設計中，要讓學生對函數圖像有充分的認識，數形結合才能做到由淺入深，從具體到抽象。為了更好地研究參數對函數的影響，本節課借助幾何畫板功能，直觀展示函數的變化，幫助學生在圖像或區間發生改變時進行理解，達到信息融合的效果。

（三）從實際應用層面

近年來，中考、高考內容注重與生活實際緊密結合，通過設置真實的問題情境，考查學生靈活運用所學知識分析解決實際問題的能力。初中階段主要考查學生在實際應用中找出對應關系，利用二次函數的圖像和最值解決問題；高中階段考查的問題雖然相同，但定義域發生了變化，問題更有深度，更貼近生活。在本節課的設計中，筆者特別加入了應用問題的銜接，為高中階段的學習做準備。

（四）從大數據層面

為了方便收集、整理學生課堂練習數據，實施教學評價。在課前，筆者利用網絡平臺設計了一份針對本節課的課堂練習網閱卷，課后對學生課堂質量進行監控，方便進行數據分析。